优化 | 随机取N个点，这些点落在同一个半圆（球）的概率

『运筹OR帷幄』原创

作者：覃含章

编者按

本文讨论「随机取N个点，这些点落在同一个半圆（球）的概率」的解。从相对简单的二维情形出发（初等方法可解），并将这个问题的解推广到任意高维的情形。

这是个比较经典的问题，在高维情形也有推广。我们先从容易培养直觉的二维情形出发（也可能是题主主要关心的情况），再把结果推广到高维情形。解法参考了这本书[1]中相关的内容 ，这个问题和组合数学、凸分析、概率论都有一点关联，所以我感觉值得写一写，对这类问题感兴趣的同学可以好好研究这本叫做Stochastic and Integral Geometry的书。

我们首先也指出，题目所要求的概率一般来说和取点具体的分布无关，只要取点过程是独立同分布（i.i.d.），且点的分布关于一点（设为零点，也可以认为是圆心）是对称的即可。

● 参考文献 ●

[1] Schneider, Rolf, and Wolfgang Weil. Stochastic and integral geometry. Springer Science & Business Media, 2008