多元一次方程组

早在初中时，我们就学习过多元一次方程组的求程。

所谓多元一次组指的是含有有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1方程组。

一个简单的例子：

学校的篮球数比排球数的2倍多3个，足球数与排球数的比是2:3，三种球共48个，求三种球各有多少？

假设篮球个数为x1，排球个数为x2，足球个数为x3，

根据题目有以下的关系式成立：

图1. 多元一次方程组

对于多元一次方程组，最常用消元法来进行求解。

思路是经过各个方程组之间的线性运算，消去一些未知数，最终得到一个未知数的方程。

根据该方程解出未知数，再代回其它方程得到其它未知数的值。

整个过程非常繁琐，一不小心就会出错；

矩阵运算

在学习了矩阵运算之后，这一求解过程可以化为矩阵运算而大大简化；

跟初等数学里面学习的加、减、乘、除运算规则一样，伟大的数学家们也为矩阵运算制定了一些规则。

对于矩阵的加、减，限于文章篇幅，在此不作赘述。

对于矩阵的乘法，有以下的规则：

设有一个m行s列的矩阵表示为，

一个s行n列的矩阵表示为 ，

则矩阵Ａ左乘于矩阵Ｂ所得到的矩阵Ｃ是这样一个矩阵：

　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即C=

　　(2) C的第i行第j列的元素由A的第i行元素与B的第j列元素对应相乘，再取乘积之和。

比如，两个矩阵：

Ａ、Ｂ矩阵

计算，从规则(1)，可以知道C是2行3列的矩阵。

每个元素的数值由规则(2)计算得到，比如：

第0行0列的数值为：

c00=1*1+2*-1=-1；

第0行1列的数值为：

c01=1*2+2*1=4；

依次算出各元素的数值，并表示为矩阵，得到：

C=AB

对图1的多元一次方程组，我们做一些变形，

并把未知数表示为3行1列的矩阵，可以得到：

矩阵表达

表示为：，然后就可以经过矩阵运算求解方程组。

左右两边同时左乘Ａ的逆矩阵，得到：。

Ｎ年前，matlab还能随意使用，做矩阵运算非常只是几条命令的事情，非常简单。

在被matlab抛弃的日子里，虽然对matlab还怀有深深的眷恋，无奈落花有意、流水无情；

我只能退而求其次用python来排遣寂寞。

利用，以下python脚本，

import numpy.matlib
import numpy as np
A=np.array([[1,-2,0],[0,3,-2],[1,1,1]])
Y=np.array([[3],[0],[48]])
X=np.matmul(np.linalg.inv(A),Y);

求得，［x1,x2,x3]=[23, 10, 15]；

矩阵运算在电路计算、分析中的应用

在线性电路中，首先通过电路理论得到电路的线性方程组。

把线性方程组的求解转换为矩阵运算。

再用python编写脚本进行矩阵运算，就可以算出电路中的各电气参数；

如下图的电路分析题目，求解i1和i2；

电路分析实例

根据网孔电流法，有：

网孔电流法列出方程组

化简得到：

化简后的方程组

编写python脚本，

import numpy.matlib
import numpy as np
A=np.array([[30,-20],[-20, 80]])
Y=np.array([[-10],[20]])
X=np.matmul(np.linalg.inv(A),Y);

计算得到[i1,i2]=[-0.2, 0.2]；

总结

本文旨在介绍矩阵的概念、矩阵运算的规则，以及与多元一次方程组的关系。

并以一个简单的电路为例，介绍电路计算过程；

矩阵运算以及电路分析远不限于此，

另外通过符号的矩阵运算，可以得到电参数的解析表达式并对其化简，可以大大简化滤波电路的分析计算。