杨振宁先生数理工作漫谈：单位圆定理及其他

作者 | 林开亮(西北农林科技大学理学院)

来源 | 和乐数学，本文是2021年10月17日林老师在第十届全国数学文化论坛学术会议上所作的报告。

杨振宁 1969 年致 M. Kac 的一封信：

随后，基于耦合强度改变时没有重根这一点，我们做了一种物理学家式的“证明”。我们很快就认识到，这种做法是不正确的，至少在六个星期的时间里，我们都在为试图证明这个猜想的徒劳无功而感到沮丧。……我记得在 12 月初，您把所有耦合强度都相同这种特殊情形下的证明告知我们。这个证明正是您现在所写的与Pólya的工作相关的那部分。您的证明很巧妙，但是我们不满足于这种特殊情形下的结果，一心想要解决一般情形下的问题。

尔后，12 月 20 日左右的一个晚上，我在家里工作,忽然领悟到，如果使, , 成为独立变量并研究它们相对于单位圆周的运动，就可以利用归纳法、通过类似于您所用的那种推理得到完整的证明。一旦有了这个想法，只消几分钟就可以把论证的所有细节写出来。……

这一切我都记得很清楚，因为我对这个猜想及其证明感到很得意。虽然说这算不上什么伟大的贡献，但是我满心欢喜地视之为一颗珍珠。

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Kac 证明的特例

杨振宁的顿悟

杨振宁和李政道“状态方程和相变的统计理论：I. 凝聚理论”

解决这个问题时，允许逸度取复数值。虽然只有实的逸度值才有物理意义，但是只有进入复平面才能完全揭示出热力学函数的解析行为，从而找到凝聚态气态和相变区域的一种描述。

杨武之的数学启蒙

我有个很有名的定理，叫做“单位圆定理”。单位圆定理是说，在物理中很有用的一类多项式，它们的根都在单位圆周上。我之所以会想到考虑多项式的根，是因为在我很小的时候，我父亲（杨武之，清华大学数学教授）就教给我两个漂亮的定理，其中之一是代数基本定理，它说每个非常数的多项式有复数根。（另一个是正17边形可以尺规作图，恰好与对称有关。)

季理真访谈，《杨振宁眼中的科学和科学家》

杨振平的回忆：

1951 年圣诞节, 我去普林斯顿大哥家度假, 他那时刚刚证明了单位圆定理. 我大学尚未毕业, 数学和物理的基础都不是很强, 他兴致极高地跟我讲单位圆定理. 虽然我完全不明白他说什么, 可是他当时的极端兴奋给我留下了不可磨灭的印象.

他说他在这个问题上苦思良久没有结果, 曾经去请教高等研究所著名数学家 Von Neumann 教授. Von Neumann 亦不知如何措手. 六个星期以后, 他终于解决了困难, 得到了全部证明. 他当时还说, “这恐怕将是我一生中能证明的最美的定理.”多年以后, 我提起他的这句话, 他已经完全不记得了, 可能是因为他做了更重要更美的工作.

杨振宁因为他在统计力学中的各项突出贡献而获得 1999 年美国物理学会颁发的 Onsager 奖, 颁奖词如下:

他在统计力学和量子流体理论方面基本而重要的贡献, 这包括单位圆定理, 在非对角长程序和磁通量量子化方面的精心杰作, Bose-Einstein 凝聚理论, 以及一维和二维统计力学模型热力学特性的精确计算.

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一生中最漫长的计算:

1951 年初, 我开始深入研究 Ising 模型的问题。……沿着这个方向，1951 年正月，我得到结论：利用隐藏在 Onsager 方法中的其他信息，我可以计算出自发磁化。于是我着手做了一个冗长的计算，这是我的物理学生涯中最长的一个计算。它曲曲折折，处处都要用到一些技巧，一路上碰到数不清的障碍。然而，过不了几天，总会发现一些新诀窍，指明新的路子。我很快就感到自己处在一个迷阵里，搞不清楚经过这许多峰回路转之后，究竟是否比出发时更接近原定的目标。这种感觉是非常令人沮丧的，好几次我差不多要放手不干了。但是每次总有些什么东西把我拉回来，通常是一个新的诀窍使事情豁然开朗，哪怕只是照亮了其中的一个局部。

经过大约6 个月的断断续续，所有的片段终于突然融合在一起，产生了奇迹般的各项相消的情形。我睁大眼睛盯着简单得出奇的结果，即这篇文章的 (96) 式。因为我的计算中有些极限过程不太严格，我把等式按参数 的幂级数展开，并与先前 Van der Wareden, Ashkin, Lamb 得到的展开（他们的结果精确到 ）进行比较。一直比较到 ，我才感到放心：两者完全一致。

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Yang–Baxter 方程

吴大竣–杨振宁字典

真情妙语铸文章

教学引出的发现

Simons 的作用

I’ll tell you a funny story about Yang. After I was there inthe first yearI was there, he invited me up to his office. He was very pleased that the math department was going to—that I was there and we were going to build a good math department. So, he wanted to show me what he was doing, and he covered the board for an hour.I didn’t understand a word. But I nodded in various places and said thanks and went back to my office.The next year, the same thing. And well, I went back to my office.

But the third year, he started writing on the board, and I finally realized what he was doing. He was inventing some mathematics which was already done 40 years earlier, and I said, “「Stop, stop, stop what you’re doing. That’s already done, and you’re not doing it right」.”

He said, ”I’m not doing—it’s already done?” he said, ”Well why would the mathematicians have done this?” I said, ”Well, it was natural.” And it was, it was just a natural outgrowth of where mathematics was going in an area called fiber bundles. So, it meant connections in fiber bundles and so on. So, I told him that, and then he said, ”Well, would you give us a seminar on this stuff?” So, I said sure. It was about six sessions over lunch. It was his organization, senior physicists, so it was the best class I ever had. It was the smartest guys I ever had in a class.

来源：Simons访谈 https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/45111

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对称支配力

杨振宁教授的工作中还有许多有待数学家发掘的宝藏，比如李政道–杨振宁关于多项式零点的单位圆定理。

我们可以很公正地说，杨振宁教授对于人类了解自然界的贡献可以与 Newton，Einstein 和 Dirac 相提并论，被世人铭记。

除了上面提到的四种力，杨振宁教授还创造了一种力，就是激励中国的年轻人成为科学家的动力。正因为他，我们也为自己是中国科学家而感到自豪。

丘成桐, 规范理论与几何

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杨振宁先生学术思想研讨会

致谢

• 感谢中科院数学所严加安院士给我这个机会在数学文化论坛做报告, 这个题目也是严先生建议的.

• 感谢宁夏大学会务组各位老师的热情款待和周到安排.

• 感谢各位同仁来听报告, 请大家多多指教！