〔读书笔记〕《牛津通识读本：数学》

《牛津通识读本：数学》

读后感：

不知道到底是数学思想更重要还是计算更重要

没有思想，数学学习就成了苦涩的修行，丢了本质

不学计算，考试就过不了

何以得兼？

书中摘记(未完待续)：

但如果你几年没有做数学，你就失去了数学的习惯，很难再重拾了。

是否能将他们的专长用于解决极其困难的问题，则在很大程度上决定于细致的规划：选取一些可能会结出丰硕成果的问题，知道什么时候应该放弃一条思路（相当困难的判断），能够先勾勒出论证问题的大框架继而再时不时地向里面填充细节。这就需要对数学有相当成熟的把握，这绝不与天赋相矛盾，但也并不总是会伴随着天赋。

上面所说的最后一条素质，从根本上要比惊人的大脑运转速度更加重要。数学中绝大多数影响深远的贡献是由“乌龟”们而不是“兔子”们做出的。随着数学家的成长，他们都会逐渐学会这个行当里的各种把戏，部分来自于其他数学家的工作，部分来自于自己对这个问题长时间的思考。

我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇气、坚定和耐心，对他人完成的艰难工作的广泛了解，在正确时间专攻正确领域的运气，以及杰出的战略性眼光。

当然，这些都是不可能的。因为我们不知道如何能站到宇宙之外——这种想法几乎在措辞上就是矛盾的——我们能够用的证据只能来自于宇宙之内。那么，什么样的证据有可能说服我们空间是弯曲的呢？

我们都知道线或面被弯曲是什么意思，但空间本身就是自在之物。即便我们能够在一定程度上对三维空间弯曲的概念赋予意义，与曲面的类比还是揭示出，我们自己不可能观察到空间是否弯曲，除非跳到第四维中去观察。在那里也许我们会发现宇宙是一个四维球体（我在第五章中解释过的概念）的表面，这个球面至少听起来是弯曲的。

我曾经说它作为模型是很有用处的。但是，既然我们所居住的实际空间是三维空间，高维几何究竟有什么用处呢？

讨论到现在，如果说有什么事情看起来很明显的话，那就是任何形状的维数总是一个整数。你要是说需要两个半坐标来确定一个点——即便是个数学的点，这会是什么意思呢？

通过分析许多类似的公司，你可能会确定出空间中的某个区域，认为购买此区域中的股票是不错的主意。

对数学来说，这个心理学要素的影响已远远超出几何学的范围。投身于数学研究所能得到的乐趣之一就是，随着专业领域的经验越来越丰富，你能够发现自己“仅仅观察”就能得到越来越多问题的答案，不一定非得是几何问题，而这些问题你以前可能要艰难思考上一两个小时。

当然，这远比三维的图像化要困难——比如，我无法直接回答，四维立方体旋转是什么样子，而三维的我就可以说出来——但是，这也明显要比五十三维的图像化要容易，要是它们都不可能的话也就谈不上谁比谁容易的问题了。有一些数学家专攻四维几何，他们四维空间图像化的能力得到了极大拓展。

于是我可以“仅仅观察”到，五维立方体又是由这样的两个四维立方体组成的，依旧是对应顶点相连，总共有32+32+16=80条边（每个四维立方体有32条边，其间有16条边连结它们），恰与我之前得到的答案相同。于是，我具有了某种初步地将四维和五维图像化的能力。（如果你对“图像化”这个词感到困扰，可以换一个词，比如“概念

高维几何又是一例最好从抽象角度来理解的概念。让我们不去担心二十六维空间的存在等等，而去考虑它的性质。你可能会疑惑：这东西连是否存在都不确定，怎么可

在不涉及无穷的情况下，我不去证明它的面积是12，而是满足于证明它的面积不是别的任何数。图形的面积是我所不能证伪的那个数。

Ar1移动图形，图形面积不变。（更正式的说法：两个全等的图形面积相等。）Ar2如果一个图形完全包含于另一个之内，那么第一个的面积不大于第二个。Ar3矩形的面积通过它的长宽相乘得到。Ar4将图形切成若干部分，则各部分面积之和等于原图形的面积。Ar5图形向各方向扩张为原来的2倍，则图形面积变为原来的4倍。

这又是抽象方法大有用处的一个例子。让我们不要关注面积是什么，而是关注面积能够做什么。

数学家经常谈论“在极限时”或者“在无穷时”的情况如何，但他们都很明白，他们并没有把这种说法完全当真。如果强迫他们说出确切意思，他们就会转而谈论近似。

在模型里，我们就有可能进行完全精确的计算

数学想要取得原创性进展：关注内部矛盾运动，关注外界生活实际(各门学科)向它提出的问题和需要

对于数学，不要问它是什么，而要问它能做什么

遇到难题时我们应该把它转换为多个较为简单的问题