芝诺悖论的解读

芝诺是古希腊著名的数学家，哲学家。他以“芝诺悖论”而闻名于世。为了论证老师巴门尼德的“运动具有不可分性”的观点，他提出了“二分法悖论”与“阿基里斯追不上乌龟”等悖论。二分法悖论如下：

“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。

我们先来解一下这个悖论：假设这个人走完第一个1/2的路程用的时间为t1，走完第二个1/2的路程用的时间为t2，走完第三个1/2的路程用的时间为t3，等等。那么这个人走完全程所用的时间应该是t1+t2+t3+……。因此，悖论所谓的“永远不能到终点”的“永远”，实际上就是指t1+t2+t3+……这个时间和为无穷大。也许古希腊的人认为无穷多个时间之和一定是无穷大，故而说永远不能抵达终点。事实上，用现代微积分理论，可以轻松算出t1+t2+t3+……这个时间和是一个有限数，即在有限时间内可达终点。于是悖论中的“永远不能抵达终点”之说就站不住脚了。换句话说，芝诺悖论可以用微积分理论给以解释——即这个人在有限时间内可以抵达终点，这与我们实际经验相一致。同样地，阿基里斯追不上乌龟的悖论也可以用微积分理论给以解释。

虽然这两个悖论可以用微积分理论来解释，但没有人敢轻易说“芝诺的悖论是错误的”。毕竟他的思辨精神仍然给人启发，毕竟这些悖论的后面藏着如此玄妙的数学理论——微积分理论。