构数式2x+3y的思考

构造式2x+3y

例如：

5=2+3

6=2*0+3*2或者2*3+3*0

7=2*2+3

8=2*4+3*0

11=2*4+3*1

13=2*2+3*3

17=2*4+3*3

25=2*2+3*7或者2*5+3*5或者2*8+3*3或者2*11+3*1

观察我们就可以直观地看到质数与2和3的幂次有种奇妙的关系。当然这里面也有特例比如25=+，35=+等很多特例。3的幂次尾数刚好是1,3,7,9以及3的奇数倍数3(2n+1)的尾数是1,3,5,7,9，所以质数与3有千丝万缕的关系。那么我们以3的幂次为尾数，2的幂次为填充数，因为质数尾数是1,3,5,7,9那么一个质数减去相应尾数的3的幂次肯定得到一个10n的整数，那么就可以构造一个质数式子：+10n。像+10n，+2y，3x+，+这种式子不具备一般意义，因为你一样很难排除尾数1,3,5,7,9的合数，虽然他们可以得到很多质数。

证明

2x+3y (x∈N，y∈N，2x+3y≠0)表示所有2以上的自然数

当y=2n+1(n∈N)为奇数时

2x+3y=2x+3*(2n+1)=2(x+3n)+3，

∵x∈N，n∈N,2x+3y≠0

∴令x+3n=b，b∈N

∴2(x+3n)+3表示≥3的所有奇数

∴当y=2n+1(n∈N)为奇数时，2x+3y (x∈N，y∈N，2x+3y≠0)表示所有≥3的奇数

当y=2n(n∈N)为偶数时

2x+3y=2x+3*(2n)=2(x+3n)，

∵x∈N，n∈N,2x+3y≠0

∴令x+3n=b，b∈N

∴2(x+3n)表示≥2的所有偶数

∴当y=2n时，2x+3y (x∈N，y∈N，2x+3y≠0)表示所有≥2的偶数

∴2x+3y (x∈N，y∈N，2x+3y≠0)表示所有2以上的自然数

我们来看下构数式的合数形式

例如一个合数是两个质因数的乘积那么

(2+3)*(2+3)展开得到

4+6+6+9

一个合数可能有两个或者更多的因数，那么我们拿个3个因数的来说明

(2+3)*(2+3)*(2+3)

∵2x+3y (x∈N，y∈N，2x+3y≠0)表示所有2以上的自然数

令(2+3)*(2+3)=c，而c又可以表示为(2+3)

∴(2+3)*(2+3)*(2+3)

=(2+3)*(2+3)

令(2+3)*(2+3)=d，而d又可以表示为(2+3)

∴(2+3)*(2+3)*(2+3)=(2+3)

所以(2+3)形式的乘积是分形乘积式，高阶可以运算换简为低阶直到1阶依然可以用同一种表达式表示。

所以一个合数不管是几个因数相乘都可以换简为(2+3)*(2+3)这种形式，也就是说(2+3)*(2+3)是合数的一般表达式，跟方程式是不是有点像。

2x+3y (x∈N，y∈N，2x+3y≠0)表示所有2以上的自然数，如果这个自然数是个合数，也就是2x+3y是通过(2+3)*(2+3) 乘法分配律得来的。

令x=c*a，y=c*b

N = 2x+3y

= 2(c*a)+3(c*d)

=c*(2a+3d)

C和2a+3d就是n的因子了。

质数是无法进行质因数分解的数，所以以上情况质数是不符合的。所以对于质数p =2x+3y，2x与3y不能有公约数即2x与3y互质，也就是2x和3y不能进行乘法分配律得到

(2+3)*(2+3)这种因子式，即我们要确保2x+3y这个方程不能因式分解。

因此质数判别式为

P=2x+3y

{x∈N+，y=2n+1,n∈N，(2x,3y)=1,(x→y，(x-3a,y+2a)=1)，(y→x，(y-2a,x+3a)=1),a∈N+}

1. X∈N+，因为2,3不属于质数，所以得确保2x不能为0。

2. 而p是质数就是奇数，所以3y必须是奇数，因此y=2n+1,n∈N。

3. (2x,3y)=1确保2x与3y的互质，这样2x和3y就不能直接提取公因数。

4. x→y,(x-3a,y+2a)=1和y→x，(y-2a,x+3a)=1是两个判别式。

如果要满足2和3是质数，那么只是2x和3y的定义域不同，本质是一样的。

P=2x+3y

{x∈N，y=2n+1或者0,n∈N，2x+3y≠0，(2x,3y)=1,(x→y，(x-3a,y+2a)=1)，

(y→x，(y-2a,x+3a)=1),a∈N+}

这样当x=0，y=1时，P2=3，

当x=1，y=0时，P2=2。

接下来解释下判别式(x→y，(x-3a,y+2a)=1)，(y→x，(y-2a,x+3a)=1)我们先来看个合数，就比如11*13=143

143分解为2x+3y的形式有

2*1+3*47； 2*4+3*45 ；2*7+3*43

2*10+3*41； 2*13+3*39 ；2*16+3*37

2*19+3*35 ；2*22+3*33 ；2*25+3*31

2*29+3*29 ；2*31+3*27 ；2*34+3*25

2*37+3*23 ；2*40+3*21； 2*43+3*19

2*46+3*17； 2*49+3*15 ；2*52+3*13

2*55+3*11 ；2*58+3*9 ；2*61+3*7

2*64+3*5 ；2*67+3*3 ；2*70+3*1

从上面的分解式可以清楚地看出，x值每增加3时y值就对应的减少2，也就是3y每减少6，2x就增加6。可见x和y之间是可以相互流动的，流动的值是6的倍数。这种现象定义为数值之间的流动，x→y表达x向y流动。其中的13，39，22，33，52，13 ，55，11直接就是因数11和13的本身以及他们的倍数。其他的x，y不是因数的倍数的组也可以通过x和y之间的流动变成2*13+3*39，2*22+3*33 ，2*52+3*13，2*55+3*11从而提取公因数，进而得到11*13。一个合数的因子是在2x与3y之间的数值流动产生的。

也就是说，只要是合数H=a*b，那么无论2x+3y如何变化，它都可以得到H=2xa+3ya的形式。反之只要是质数，那么它的所有P=2x+3y中的x和y都无法流动形成H合数=2xa+3ya这种形式，即2x与3y不管怎么流动都是互质的。我们来看看(x→y，(x-3a,y+2a)=1)这个判别式x→y表示x向y数值流动了，(x-3a,y+2a)指x每减少3a那么y就对应的得到了2a，而在这样的流动中如果出现了它们有了公因数时，那么就意味着它是合数(如上面的11*13的例子其他的x，y不是因数的倍数的组也可以通过x和y之间的流动变成2*13+3*39，2*22+3*33 ，2*52+3*13，2*55+3*11从而提取公因数，进而得到11*13)。所以质数是不可以出现这种情况，也就是说质数的所有2x+3y的组合是不可以出现x→y或者y→x流动时产生2x与3y有了公因数，即质数的所有2x+3y组合中的2x与3y是互质的。判别式(y→x，(y-2a,x+3a)=1)这个判别式的y→x表示y向x数值流动了(y-2a,x+3a)指y每减少2a那么x就对应的得到了3a，而在这样的流动中如果出现了公因数，那么也就意味着合数出现了。

例：

P=2x+3y

{x∈N+，y=2n+1,n∈N，(2x,3y)=1,(x→y，(x-3a,y+2a)=1)，(y→x,(y-2a,x+3a)=1),a∈N+}

令y=1,这样在(2x,3y)=1时，我们只需满足x≠3n。

x=1，p=2+3=5

x=2，p=4+3=7

x=3，不满足(2x,3y)=1所以x=3，p=6+3=9是合数

x=4，p=8+3=11

x=5, p=10+3=13

x=6, 不满足(2x,3y)=1 所以x=6，p=12+3=15是合数

x=7，p=14+3=17

x=8，p=16+3=19

x=9，不满足(2x,3y)=1所以x=9，p=18+3=21是合数

x=10， p=20+3=23

x=11， 不满足(x→y，(x-3a,y+2a)=1)，当a=2时，x-3a=11-3*2=5，y+2a=1+2*2=5，x-3a与y+2a不互质，所以x=11，p=22+3=25是合数

x=12，不满足(2x,3y)=1所以x=12，p=24+3=27是合数

x=13，p=26+3=29

x=14，p=28+3=31

x=15，不满足(2x,3y)=1所以x=15，p=30+3=33是合数

x=16，不满足(x→y，(x-3a,y+2a)=1)，当a=3时，x-3a=16-3*3=7，y+2a=1+2*3=7，所以x=16，p=32+3=35是合数。

x=17，p=34+3=37

x=18，不满足(2x,3y)=1所以x=18，p=36+3=3是合数

为了避免这种流动，第一反应是给2和3加上幂数，于是就有了如下是三个式子

P=+

请先注意这个式子，这个式子在前面对质数符合得很好。

例

x=1，y=1，p=5

x=2，y=1，p=7

x=1，y=2，p=11

x=1，y=3，p=29

x=2，y=3，p=31

x=3，y=3，p=35 反例

x=3，y=1，p=11

x=3，y=2，p=17

x=1，y=4，p=83

x=2，y=4，p=85 反例

x=3，y=4，p=89

x=4，y=4，p=97

x=4，y=1，p=19

x=4，y=2，p=25 反例

x=4，y=3，p=43

x=5，y=1，p=55 反例

x=5，y=2，p=41

x=5，y=3，p=59

符合得算是很完美了，起码比梅森素数和费马数还完美，个人觉得，这个式子可能存在与质数更深层次的关联，有兴趣的可以研究下，请务必注意这边不能只排出尾数为5是合数，我并没有证明其他就一定是质数。剩下的两个式子是

P=-

P=-

这两个式子同样会产生大量的质数与反例。

希望这系列文章你们会喜欢。希望可以给喜爱质数的朋友带来一些帮助，以上的内容都是我的想法，未经权威部门的认证。我已经投稿了相关数学杂志希望能有所回应，在此提前贴文是因为我怕以后没时间了。谢谢你们能够耐心地看完。