关于费马质数Fn=2^2^n+1的思考

关于费马质数

的思考

排版真是要命，文章底部有图片版不会乱。

说到自然数一般分法为

1. 奇数与偶数

2. 合数与质数，合数又分为奇合数和偶合数

其中的质数便充满了奇幻色彩，因为人们对它知之甚少的缘故，现在我们就来一探究竟。

质数：2，3，5，7，11，13.....等，质数是不可质因数分解的数。一看质数我们的第一感觉就是杂乱无章，无迹可寻的。但是孪生素数还是引起了我的注意，5和7,11和13,17和19通过直观的观察我们不难发现这几个孪生素数的和都是3的倍数，也就说质数应该与3有着某种关系。

于是我便画出了如下图：

质数的3n+1,3n-1型分布

观察发现，好像3*(2n+1)也就是3的奇数倍跟质数没有关系，于是我们可以再次把3*(2n)也就是6n单独拿出来。

于是就有了下图

质数的6n+1,6n-1型分布图

其中标红色就是质数，这下清晰多了。

观察得知7，13，19，25，31等横向相差为6。7，37，67，97等纵向相差30。

我们定义6，12，18，24，30等6n的数为基点，6n+1的数如7，13，19，25，31等为上数，6n-1的数如：5，11，17，23，29等为下数。这种上下分布的我们定义为关于6n的上下±1富集。以下我们都不把2和3作为质数讨论，因为他们不在这个规则里，或者说我们先把2和3拿出来单独讨论。

符号为

质数富集符号

图上的数除了6，12，18...等(6n )等数为基点外，其他的数便是合数与质数的合集了。这里面的合数是不含2与3为因子的合数。上数分为上质数与上合数同理下数分为下质数与下合数，我们就拿25举例25=5*5，同时25还必须是6n+1的形式，因为它是上合数。而25的两个因数5是下质数。再比如49=7*7,49是上合数，因数7是上质数。

不管上下合数它都必须符合6n+1或者6n-1的形式，所以他的质因数也必须是6n+1或者6n-1的形式。

证明如果一个合数是6n+1的形式，如果它的因数是6n+2的形式或者其他，那么就有(6n+2)*(6n+2)那么展开得到36n+24n+2=6(6n+4n)+2

尾数是2与合数6n+1不等。6n+3，6n+4，6n+5证明同上此处省略。所以只要合数是6n+1或者6n-1的形式那么它的因数也必定是一样的形式。

观察

(6x+1)*(6y+1)=36xy+6(x+Y)+1=6(6xy+(x+y))+1=6n+1

(6x+1)*(6y-1)=36xy+6x-6y-1=6(xy+(x-y))-1=6n-1

我们很容易就知道决定尾数是+1还是-1是由6n-1的个数决定的。

例如

25=5*5等价于(6x-1)*(6x-1)等价于负负得正

35=5*7等价于(6x-1)*(6x+1)等价于负正得负

49=7*7等价于(6x+1)*(6x+1)等价于正正得正

125=5*5*5等价于(6x-1)*(6x-1)*(6x-1)

175=5*5*7等价于(6x-1)*(6x-1)*(6x+1)

因此我们得到一个上合数可以分为

1. n个上质数的乘积也就是正*正*正...(正正得正)

2. n个上质数与2n个下质数的乘积正*正...*奇*奇(负负得正)

下合数可以分为

1. 2n+1个下质数的乘积

2. n个上质数与2n+1个下质数的乘积(正负得负)

我们来看下合数

合数是两个或者多个质数的乘积

2阶合数，如5*5,7*5,7*7等 (6x±1)*(6y±1)

3阶合数，如5*7*11,5*13*19等 (6x±1)*(6y±1)*(6z±1)

4阶合数，如5*7*11*13等 (6x±1)*(6y±1)*(6z±1)*(6a±1)

不管这合数是几阶的最终都可以化简到1阶，比如3阶合数(6x±1)*(6y±1)*(6z±1)中前两项是(6x±1)*(6y±1)=(6b±1)它等于一个合数因此3阶合数就变成(6b±1)*(6z±1)，以此类推5阶变成4阶变成3阶变成1阶，不管合数有多少阶都可以无限化简到1阶。像这种类似分形的乘积式定义为分形乘积式，定义每个因子式都可以用统一的形式来表达，且高阶通过运算换成低阶时因子式的表达式不变，以此过程直至1阶都是同样的表达式。

现在我们可以看看2阶合数的展开式了

(6x+1)*(6y+1)=36xy+6x+6y+1=6k+1

正正得正，两个上质数的积是上合数

(6x-1)*(6y-1)=36xy-6x-6y+1=6k+1

负负得正，两个下质数的积是上合数

(6x-1)*(6y+1)=36xy-6x+6y-1=6k-1

正负得负，两个上下质数的积是下合数

令6k±1表示(6x±1)*(6y±1)生成的新的合数，那么就有k=6xy±(x±y)定义(x,y∈N+)，也就是说一个合数的基点k必须满足

上合数基点k必须满足

k=6xy+(x+y)定义(x,y∈N+)

或者

k=6xy-(x+y)定义(x,y∈N+)

下合数k必须满足

k=6xy+(y-x)定义(x,y∈N+)

反之一个基点k 当k≠6xy±(y±x)定义(x,y∈N+)那么该基点上的上数或者下数或者上下数就是质数。

例如：

7=6*1+1,k=1,k满足k≠6xy±(y±x) (x,y∈N+)，所以7是上质数。

13=6*2+1，k=2,k满足k≠6xy±(y±x) (x,y∈N+),所以13是上质数

11=6*2-1，k=2,k满足k≠6xy±(y±x) (x,y∈N+)，所以11是下质数

25=6*4+1,k=4,k满足k＝6xy-(y+x) (x,y∈N+)，所以25是上合数

35=6*6-1，k=6,k满足k=6xy+(y-x) (x,y∈N+)，所以35是下合数

49=6*8-1,k=8,k满足k=6xy+(x+y) (x,y∈N+), 所以49是上合数

当6k±1的数值非常巨大时，这种判断还是相当吃力的。

下图是6n±1和6n±2叠加图

质数6n±1与6n±2

黑色的6,12,18,24,30等是基点6n，红色的5,7,11,13,17,19等是上下质数，蓝色的4.8.10.14.18等是上下偶数。

对于

以6的倍数为基点的上下±2的富集，它的上下偶数与基点6n共同构成了≥4的所有偶数。

那么费马质数

费马质数

它要是质数的条件就是要满足

位于F(6n)的下偶数，也就是说对于费马质数只能是F(6n)的下质数。所以只有

2^2^n=6n-2的时候，那么Fn就是F(6n)的下质数或者下合数。

例如

费马质数

费马质数

一定成立吗？由上图我们可以简单的看到4，16,64都位于

的下偶数，而4,16，64都是2的偶次幂，也就是我们只要证明所有的2的偶次幂都是

的下偶数，那么所有的

也都是

的下偶数。

证明

∵(6k1-2)*(6k2-2)=36k1k2-12k1-12k2+4

=36k1k2-12k1-12k2+6-2

=6(6k1k2-2k1-2k2+1)-2

令k3=6k1k2-2k1-2k2+1

∴ (6k1-2)*(6k2-2) =6k3-2

排版真是要命，下面图片版不会乱。