s5.8多余的话

曹则贤《云端脚下——从一元二次方程到规范场论》

笔者是1977-1978年刚上初中的时候学习因式分解(factorization)和代数方程的。那时候，我们别说有法国巴黎高师那里的顶级数学家当老师，我们连任何意义上的数学老师都没有!成功地找到一个代数表达式的因式分解，曾给那个赤脚上学的少年带来怎样的欢乐啊，我至今都难以忘怀。1995-1996年我在摆弄真空仪器之余，时常思考代数方程解的问题，了无头绪。虽然从二、三次方程的解能看出排列组合以及方程的根的影子，但我只能想到用的n个根来展开待解方程的根，却没想到从待求的根与的根之内积之置换上看问题。没办法，没这个水平啊。这个问题一直压在我的心上，多年来我就想弄明白这个问题。还有，很长时间里，我没把解方程的“解”同因式分解的“解”和可分解群中的“分解”以及物质的“溶解”当作一回事，这影响了我对问题的理解。解和分解，都是solve；可解的和可分解的，都是 soluble。西文里解代数方程，就是分解多项式函数。读中文文献，解(求解)、分解容易给人不同概念的感觉，大谬也。若只有我一人这么笨，那就万幸。

从代数方程理论可以看到拉格朗日一高斯一伽罗华这条思想的脉线。拉格朗日对二、三、四次方程的解与解法的审查，新概念的引入，以及对置换之关键角色的洞察，除了他的天才，还有对方程的熟悉拉格朗日长于各种计算。没有投身过实践的天才是个无从证实其天才的天才。实践还会激发人的天才。高斯关于分圆多项式(与尺规作图法有关)的研究，指出了(P是费马素数)型多项式是可以有根式表达的——至此你就明白他为什么能用尺规法做出圆内接17边形了。伽罗华看懂了这一切，解式，置换，群，正规子群(共轭)，合成列的指数应为素数，这些概念构成了伽罗华理论的要素。

伽罗华的成就在于他是个天才，更在于他的世界里有成群的天才前辈。法兰西是一个伟大的国家，这个国家的伟大之处之一是盛产数学家。在伽罗华生命中出场的法兰西同胞，包括拉格朗日、勒让德、傅里叶、泊松、柯西、刘维尔等，都是一等一的数学大家。天才的孩子，如果遇不到高水平的老师，则不招老师喜欢必然是宿命。虽然，人的胸怀与学识并不必然正相关，但你很难指望一个水平低下的人有多宽阔的胸怀。伽罗华也不招老师喜欢(爱因斯坦也是)，幸运的是，他的世界里有天才前辈光芒的照耀。

伽罗华的成就不是天上掉下来的。作为一个中学生，他阅读的是勒让德的《几何原理》，是拉格朗日的《解析函数论》。他一上来试图延拓的是拉格朗日走过的路，而拉格朗日是那个对牛顿不服气，感叹“可惜微积分只需要发明一次”的人。我们的少年，有哪个是在中学时期就读过顶级学问创造者的(原文)著作的？少年，若你也想让自己的天才发出光芒，到顶尖学者身边去，到学问的海洋中去。

太多的学问，其本身也许没有价值，但对它的回答所带来的新的问题及其答案，可能具有意想不到的意义。代数方程研究之最令我惊讶处，是知识疆域的扩展。整数向有理数分数的扩展，实数向复数的扩展，代数概念(群、环、域、代数、模型式)的扩展。这些扩展把人们带到了更高的层次上去审视原始的问题，会发现原来看似简单的问题只有在更高的层面上才能看出它的微妙来。一个问题的解和一个问题的提出，这两者不必然在一个层面上或者一个语境中。我们学的东西都太简单了！别以为你能理解那些简单的内容，那些看似简单的内容是因为你知道得少才显得简单的。在更高的层面上，你才能享受理解复杂的快乐。解代数方程导出的群论，简直就是为近代物理设计的语言。学会群论吧，只有这样你才会成为一个合格的物理学家！

关于代数方程解的系统理论介绍，超出了本书的范围(真实的原因是超出了作者的水平)，有兴趣的读者请系统学习近世代数相关课程。