千万不要自己挖坑自己跳，求奇函数的表达式，区间上的单调性问题

这是高中数学一道关于求奇函数的表达式和区间上的单调性的问题。题目本身比较简单，但仍存在给自己挖坑的可能呢。为什么这样说呢？我们来看看题目本身吧。

已知f(x)=(ax^2+2)/(bx+c)是奇函数, 且图像经过点(1,3)和(2,3).

(1)求f(x)的表达式; (2)判断并证明f(x)在(0,根号2]上单调性.

分析：(1)这是待定系数法的运用。函数的表达式有三个参数，所以需要图像上的三个点的数据。但题目只给了两个点，这时候可能有小伙伴就会想到原点，因为这个函数是奇函数，关于原点对称。如果代入原点，那就错了，因为题目没有说函数在原点有定义，所以不能代入原点，就算凑巧对了，也是不可取的。那应该怎么办呢？

可以利用奇函数的性质f(-x)=-f(x)，结合已知的点(1,3)和(2,3)，代入解析式，就可以得到一个三元一次方程组。因为函数在x=1和x=2都有定义，所以我们可以根据f(-2)=-f(2), 或f(-1)=-f(1)，列得最后一个方程。

解方程组就可以得到三个参数的值，从而得到函数的解析式。

(2)有了函数的解析式，求函数的导数，就可以知道函数的单调性。也可以在规定的区间上任取两点，并设它们的大小关系，然后求它们的函数的大小关系，就可以了。接下来我们组织解题的过程：

解：(1)依题意列方程组：{(a+2)/(b+c)=3；(4a+2)/(2b+c)=3；(a+2)/(b+c)=(a+2)/(b-c)}.

【由三式可化简得c=0，因为c=0，所以函数才在x=0没有定义】

解得：{a=1,b=1,c=0}，所以函数的表达式为：f(x)=(x^2+2)/x.

【把函数的表达式化为f(x)=x+2/x，可以根据均值不等式知道，f(根号2)=2根号2最小，因此可以猜想函数在(0,根号]上是减函数，并加以证明。】

(2)f(x)在(0,根号2]上是减函数. 理由如下：

设x1,x2∈(0,根号2], 且x1

∴ f(x)在(0,根号2]上是减函数.

不过就算一开始搞错，把原点代入解析式，也很快就能发现，得到的方程是没有解的。不过我们不能因为这样而庆幸，数学必须要掌握它的严谨性才行。