欧氏几何与非欧几何：人类最富有想象力的篇章

几何研究来源于图形性质探讨，然而你在任何一本现代数学书上去看现代几何内容，你竟然很难发现一个完整的图形分析，这是怎么一回事呢？

前面我们讲到古希腊数学顶峰的象征：《几何原本》的横空出现！其实按照现在的研究结果表明，《几何原本》是汇集了古希腊很多数学家的成果，不是欧几里得一个人的功劳。《几何原本》中绝大多数内容都是几何图形性质的分析，比如相似，全等，面积的求法等等。里面还包括了一些数论内容，好比说证明了素数有无穷多个，也有一些被后来数学家认为是代数的成果。总之，《几何原本》的内容非常丰富，直到今天我们还有研究它的现实意义。

从更深一层意义讲，《几何原本》引发了很多后续内容深刻的现代数学探索，而其中最著名的就是上篇我们所讲的第五公设：平行公设。

如果你了解整个平行公设的发展过程，你一定会感叹数学家思维的强大。它从一个侧面展现了数学思维的精华，既有逻辑推理，更有想象归纳。你光凭逻辑思维，得不到后来如此丰富的空间概念和内容。你没有想象力，你一定不会理解一个平行公设竟然是爱因斯坦时空论的前奏。时光的倒流源于平行公设的不成立，这一点就是到了现代，很多人都难以接受。

这里先讲一点题外的话，有没有人思考这样的问题，现代教育为什么要花那么多的时间和资源去培养年轻人？从小学开始到大学毕业，至少也有14年的教育期。单就所学的数学知识来讲，绝大部分人在以后的工作中都用不到。说得极端一点，大多数人数学仅仅熟练运用加减乘除就完全够用了，为什么要花那么多精力去学习诸如微积分这样的高深数学内容？

我们中国人很容易跌入读书无用论的陷阱。造成这个的主要原因是中国的统治者总是希望人民听话，而听话的前提就是知识面窄，也不爱接受新的事物。所谓愚民才能御民，面对绝大多数都是充满现代科学知识的人民，中国的任何皇帝都要发抖，这个是绝对不能允许的。

从数学学习上讲，虽然你花很大力气去学习微积分的深奥理论，似乎一点也用不上，但是你在学习微积分的过程中，大多数人会慢慢形成科学的头脑，至少你会有一定的逻辑判断能力，面对复杂的世界慢慢会有自己的世界观，会抵御很多在中国社会非常流行的封建迷信和完全没有逻辑的各类所谓高大上的毒鸡汤。科学的思维是任何人在现代社会中生存的最重要武器，你不想被任何人操控，成为被割了又割的韭菜，清醒的头脑是最重要的。而要形成科学的思维，目前看只有通过学习现代科学知识才能够成功，其他途径都走不通。

当然也不排除有人学了很多现代进步理论，思想还是停留在封建时代，在一些洗脑和狂轰滥炸的假新闻假说教中失去了自我。人是很复杂的动物，学习读书不能保证一个人一定成为具有现代精神的实体，但是不学习的人几乎肯定要被现代社会淘汰，或者被人利用，最后下场很惨。

回到我们几何的话题，我们为什么对欧氏几何，非欧几何这么感兴趣，并不是因为我们实际生活中用得到这些几何知识，而是了解这些知识的得到过程，对我们的思维拓展有很大的好处。人的素质提高就是在这些探索中不断实现的。任何捷径都不存在。

欧氏几何，非欧几何最大的区别就是对《几何原本》中第五公设的见解不同。也就是说，对过直线外一点，究竟有多少条平行线这个问题的答案产生了分歧。

从我们直观思维来看，过直线外一点肯定存在平行线，而且这样的平行线只有一条。不存在平行线，或者存在多条平行线都是不可思议的。是什么打破了我们的直觉思维，从而产生了非欧几何这个数学分支呢？

从另一个意义上讲，非欧几何的出现，打破了凭逻辑思维发现一切数学知识的格局。你如果不跳出欧几里得的几何思维，在质的方面有一个飞跃，你是永远想象不到非欧几何的存在的。

事实上，很多早期的数学家试图证明第五公设。也就是说遵循逻辑推理这条线，把第五公设的问题解决掉。证明第五公设，已知的条件就是五大公理和前面四大公设。通过五大公理四大公设，能不能证明出第五公设呢？尝试证明这个公设的早期数学家太多了，有的数学家甚至耗尽了一生的精力，想出了很多套路，试图化解这个《几何原本》中一开始就存在的大问题。结果当然是无疾而终。

这些数学家就是被逻辑推理害了，认为所有的数学定理都会来源于严格的三段论。忽略了想象和归纳的作用。现实社会可比用几个公理加上逻辑推论得出的结论要复杂得多，你没有想象力，你甚至不能在通过严密逻辑推理形成的数学范畴中生存，这也是人类社会的一大奇观。

所以从根本上讲，之所以欧几里得的第五公设不成立，是因为现实社会存在超越第五公设的内容。也就是说，在现实社会中，过一点有可能不存在另一条不过这个点的线的平行线，或者更加可能地是，过直线外一点，可以做出一条直线的无数条平行线。这个话，你要是在高斯，黎曼以及爱因斯坦成名之前说，没一个人不认为你是疯子。事实上，第一个公开否定第五公设的数学家罗巴切夫斯基确实被大家认为精神有问题，他的结论在他生前完全没有得到承认。

这里卖个关子，非欧几何精彩的内容简介我们下一篇文章再聊，谢谢大家的关注和阅读。