欧氏空间和欧氏直线

时空学大讲堂

——反相对论演义

二，时空学初步

3，欧氏直线

直线是人类理论和实践中的重要概念。但是直线的定义是一个难点和盲点。在理论上直线不能确切定义。一是直线向前延伸的方向无法准确界定。例如，欧氏几何学中直线定义是：点向两个相反方向运动的轨迹。该定义是循环定义。因为直线和“相反方向”是两个关联概念：直线不明晰时其相反方向也是不确定的。在地球表面，将具有一定长度的细线两端拉伸，若拉力不同，得到的对应线的延伸方向也不完全相同。它们哪一个是反方向？二是直线不能复写。即不能准确地再现；三是检测困难。例如，两点之间有几条轨迹差别不大的线段，在实践上无法直接比较它们孰长孰短。换言之，一条线是否直线，实践中无法精确检测。因此直线在理论上不能确切定义。但是在实践中人类却发现了直线的“形象代言”。

直线：自然空间中光线的轨迹。

该概念是从实践中产生的。人类在生产生活实践中对直线概念早已约定俗成：对于一条实体线，不分民族、不分国度，任何人只要瞧上一眼，立刻就可以判断它是直的还是曲的。若问他判断的依据是什么，多数人可能回答不上，少数人回答与光线重合的是直的，不重合的是曲的。现代测量测绘中潜行的基本原理就是根据光的直线传播。早在我国战国时期，墨子就已指出光是直线传播。故该定义符合人类实践。它既是一个主观概念，又是一个客观标准。该定义没有强调直线是“光在真空中的传播”。说明直线是自然空间中（不仅仅是真空中）的客观“存在”，不是主观概念。

逻辑学认为，任何概念都有内涵和外延。例如，物理学中“光”这一概念就有“波动性”和“量子性”两种外延。光的这两种形式互相补充（不是互相排斥）。直线的内涵就是光线。数学上它有三种不同的外延。欧几里得首先发现了直线的第一种外延形式：欧氏几何第五公设。

欧几里得空间：将空间中任意三点用直线（光线）连成一个三角形。若三角形内角和为180°，则该空间称作欧几里得空间。简称欧氏空间。

三角形内角和为180°是欧氏几何第五公设的一种表述形式。与其等价的表述是过平面中直线外一点有且只有一条平行线。由于三角形内角和检测相对容易，故采用上述定义。欧氏几何第五公设在理论上界定了直线概念的一种外延形式。欧氏空间的直线称作“欧氏直线”；两条欧氏直线相交确定的平面称作“欧氏平面”。第五公设是一条几何学公理，理论上不能证明也不能证伪。因此，是否“欧氏直线”或“欧氏平面”只能用欧氏几何第五公设确定的两个方法检测。

直线的性质公理：空间中两点之间直线距离最短。

距离最短是直线最重要的特征。该公理在理论上保证了直线的确是“直”的。由于是公理，所以不能证明。但在实践中总是正确的。

欧氏空间是宇宙的一种独立空间。利用欧氏几何第五公设可以证明，人类赖以生存的母亲空间————地球表面————在多数情况下就是欧氏空间————在多数情况下地球表面空间中的三角形内角和为180°。并且三角形面积越小越准确。