小乐数学科普：如何利用柱面坐标计算三重积分，例如曲面所围体积

计算线、面、体的积分是微积分学科中的重难点之一，也是理工科大学生需掌握的核心知识点之一。本文小乐通过一个具体案例，给出典型求解重积分的方法过程，并在其中每一步骤，给出相应原理解释与相关的扩充知识点，供大家系统学习或复习时参考。

首先，我们给出原题：

利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积：

求曲面所围成的立体的体积

拿到这道题，我们需要先分析一下，题中用方程表示出来的这两个曲面，分别是什么形状。

根据第一个曲面方程：

上半球面

显然这个方程，通过适当变形，易知表示球体的上半球面（球心正好位于直角坐标系原点，球体半径为根号5）。

上半球面

而根据第2个曲面方程：

旋转抛物面

如果我们忽略y或者忽略x，就会发现是抛物线方程（顶点在原点，开口向上，即z轴正向），再根据x,y的对称性，易知这个方程表示一个旋转抛物面，可以看成一个顶点正好在原点，开口向上（z轴正方向）的一条抛物线，绕z轴旋转一周后，得到的曲面。

旋转抛物面

那么这两个面相交后，显然我们可以联立方程组：

联立曲面方程组，求出解

适当变形解出方程组

解出：z=1，也就是说，这两个曲面相交于z=1的高度，相交的形状是一个圆。

曲面相交于z=1

那么我们可以将这两个曲面所围成的立体，沿着z=1，一分为二得到上下两部分，分块计算体积。

所围立体一分为二

计算三重积分

在上述第2步，我们将笛卡尔直角坐标系中的积分，变换成柱坐标系的积分。这里需要注意，被积函数需要乘以一个雅可比行列式（等于r），即下表中的第三个：

变量代换的雅可比行列式

然后在第3步，我们立即将重积分，化成累次积分（注意界定好各变量的上下限）。

当然这一题，如不限定使用柱坐标系计算体积的话，我们其实可以使用对面积微元进行积分（z从0到1，再从1到根号5）求体积的思想，即对一层层薄片面积累加求体积，具体一点就是把立体切成圆形薄片（与z轴垂直），每个薄片的面积都可以使用圆面积公式S=πr²，这里r随着z而变化，是关于z的函数，即：

面积元薄片

然后对面积元进行一维积分，这就与上述第4步所得式子完全一致，但计算速度更快，理解起来也不算太复杂，不失为一种检验原解答正确与否的方法，谢谢你的阅读。