清前期的天文历算汇总

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一 《时宪历》的颁行

清代天文历算上的一大成绩是入关后不久即颁行了《时宪历》，这是在明末改历的基础上，采纳德国人汤若望等的建议而推行的一种新历法。

清初颁布《时宪历》，在中国历法史上，是第五次大改革。它的一个重要特点是用“定气”代替“平气”来推算节气。“定气”，是以太阳在黄道上的位置为标准，自春分点算起，黄经每隔15°为一个节气。由于太阳在黄道上每天的移行快慢不均，所以节气之间的天数也不一样。但这样能表示太阳的真实位置，使春分、秋分一定在昼夜平分那一天。而“平气”，则是不管太阳的实际位置，硬把一个回归年平分为24等分，以对应二十四节气。可见，用定气代替平气，是历法上的一个大进步。清初之所以用《时宪历》代替明代的《大统历》，一方面是改朝换代时“改正朔”的惯例需要，另一方面则是因为《时宪历》确实比《大统历》进步。整个清代都是使用这种历法，现在所用的旧历（即夏历或农历）也仍是《时宪历》。

二 薛凤祚和王锡阐

清初有两位天文历算家，其学“不列于台官，然其精密，或为台臣所不及焉” 。他们是薛凤祚和王锡阐。

薛凤祚(1599—1680)，字仪甫，山东益都（今淄博市临淄区金岭镇）人。自幼研究算学。起初接受的是中国传统的“旧法”，顺治年间，又从波兰人穆尼阁学习西学，“尽传其术”，因著《历学会通·正集》12卷、《考验》28卷、《致用》16卷。其关于天文历法的著作，有《太阳太阴诸行法原》《木火土三星经行法原》《交食法原》等，“皆会中、西以立法”。其书“详于法”，而对旨趣的论述则稍嫌缺乏。这是时代带给他的局限性。当时西法刚刚传入中国，“中、西文字辗转相通，故词旨未能尽畅”。但是，在贯通中、西上，他是先驱者之一，《清史稿》称誉他“不愧为一代畴人之功首”。

王锡阐(1628—1682)，字寅旭，号晓庵，吴江（今江苏苏州市吴江区）人。一生抛弃科举作官的道路，博览群书，“凡象数声律之学……殚精研穷，必得其肯綮而后已” ，对于天文历算尤其精通。

王锡阐生当西方天文历法知识传入中国之际。对于中国的传统天文历法学和西方传来的新知识，他都能比较正确地对待。对其精英，能够不分此疆彼界，认真向其学习；而一旦发现其缺陷，也能不为其所局限，勇于批评和纠正。如新传来的西方天文历算知识，当时被一些人“奉为俎豆”，而他却卓有识见地说：“吾谓西历善矣，然以为测候精详可也，以为深知法意未可也。循其理而求通可也，安其误而不辩不可也。” 他曾具体地分析西洋新法关于日、月食的推算，一方面指出：“推步之难，莫过交食，新法于此特为加详，有功历学甚钜。”其“以交纬定入交之浅深，以两经定食分之多寡，以实行定亏复之迟速，以升度定方位之偏正，以黄道中限定日食之时差，以北极高卑定视距之远近，以地度东西定加时之早晚，皆前此历家所未喻也”。另一方面，他又毫不客气地指出，西法所推日、月食，有多次与实际天象有不合处，并分析了其错误产生的原因，如曾说：“（西法认为）月在最卑，视径大，故食分小；月在最高，视径小，故食分大。余以为视径大小，仅以人目，食分大小，当据实径。太阴实径，不因高卑有殊；地景实径，实因远近损益。最卑之地，景大，月入景深，食分不得反小；最高之地，景小，月入景浅，食分不得反大。”鉴于西法并非完美无缺，王锡阐主张对它不可盲目崇拜，而是要继续深入研究。他说：“究极元微，不能无漏，在今已见差端，将来岂可致诘，是望穷理之士，商求精密。”

正是由于对中外天文历算成就有正确的态度，才使得王锡阐既能吸收前人的优秀成果，又能发挥出自己的聪明才智，在天文历算的研究上，取得超越前人的辉煌成果。史称他“兼通中西之术，自立新法，用以测日月食，不爽秒忽” ，所著各书，“俱能究术数之微奥，补西人所不逮”。

王锡阐留下的天文历算著作不下于十几种，其中重要的有《晓庵新法》《历说》《历策》《五星行度解》《日月左右旋问答》《大统历法启蒙》《西历启蒙》《丁未历稿》《推步交朔》《测日小记》《圜解》《三辰晷志》等。

《晓庵新法》在王锡阐的天文历算著作中“最为完善”，该书“兼采中西，去其疵颣，参以己意”，“定著一法，法数备具，可用造历”。 它共分六卷。第一卷研究了以割圆之法求三角函数的问题，这是天文计算中不可缺少的基础数学知识。他提出把圆周分为384爻限（即等分），这种分法要比中国历来的365等分分法和西法360等分分法优越得多，因为它除4得96，96的1/3是32，32是2的5次方，可以连续平分下去，直到1为止，这对于提高刻度的精确度是大有好处的。第四卷讨论了昼夜长短、行星和月亮的视直径以及月亮和内行星的盈亏现象等，其所用的方法，有些已是现代球面天文学中所用的方法。第五卷和第六卷提出了月体光魄定向（即日心和月心联线的方向）的算法、日月食亏复方位的算法，这是王锡阐的首创，后来被《历象考成》（编成于康熙末年）采用。此外，该书还提出了金星凌日和五星凌犯的计算法，这在中国文献中，也是第一次谈及。《历说》和《历策》所述也极“精核”，与《晓庵新法》“互有详略”，可互相参看。

《五星行度解》和《日月左右旋问答》对天体运行的理论，做了很有价值的探讨。如《五星行度解》讨论了日月离地和五星离日有远近变化的原因，说：“历周最高卑之原，盖因宗动天（原注：借西历名）总挈诸曜为斡旋之主，其气与七政相摄，如磁之于针，某星至某处则向之而升，离某处则违之而降。升降之法，不为直动，而为环动（原注：凡天行悉为环动）。”这里作者已经注意到了各星球间相互吸引的现象，是讨论引力的先声。再如，《日月左右旋问答》探讨了天体的左旋和右旋问题。作者通过三个人的对话，步步深入地说明了右旋论的正确性。

《大统历法启蒙》和《西历启蒙》是概括介绍中西历法的著作，史称其“隐括中西历术，简而不遗” 。《丁未历稿》是作者推算的1667年的年历。《推步交朔》和《测日小记》体现着王锡阐的光荣和骄傲。辛酉（康熙二十年，即公元1681年）八月朔应当发生日食，王锡阐以中、西法及己法推定时刻分秒，届时又与他人“五家法同测，而己法最密”，因而写下了《推步交朔》和《测日小记》以记其事。《圜解》是部数学书，“解勾股割圜之法，绘图立说，详言其所以然”，这是治历不可缺少的知识。《三辰晷志》是作者为自己创造的一种仪器所写的说明书，这种仪器可兼测日、月、星。

王锡阐在研究天文历算中具有坚持不懈的钻研精神和严肃认真的科学态度。他说：“人明于理而不习于测，犹未之明也。” “测愈久则数愈密，思愈精则理愈出。”因此，他始终坚持实际观测，每遇天气晴朗的夜晚，总是登上屋顶“仰观景象，竟夕不寐”，“每遇交会，必以所步、所测，课较疏密，疾病寒暑无间”。“倘所测与予先推算者相合”，还要“审其偶合与确合”，倘两者不统一，则要“求其理违与数违，不敢苟焉以自欺”。王锡阐之所以能够成为一个杰出的天文学家，除了前面所讲到的能够正确对待古人和外国人的成就，这种严肃认真、坚持不懈的钻研精神，显然也是一个重要因素。

三 梅文鼎

梅文鼎(1633—1721)，字定九，号勿庵，安徽宣城人，是杰出的天文历算家。

他从小随父亲梅士昌和塾师罗王宾仰观星象，“辄了然于次舍运转大意” 。27岁时拜明朝逸民竹冠道士倪观湖为师，学习麻孟璇所藏台官《交食法》，能“稍稍发明其立法之故，补其遗缺”，著《历学骈枝》2卷，后增为4卷。从此立志学习历算。“值书之难读者，必欲求得其说，往往至废寝食。”如有他事而中辍，则“耿耿不忘”。有时读其他书籍，无意中解决了原来的疑难问题，则往往“乘夜秉烛，亟起书之。或一夕枕上之所得，累数日书之不尽。残编散帙，手自抄集，一字异同，不敢忽过”。发现懂行的，“虽在远道不惮褰裳往从。畴人子弟及西域官生，皆折节造访”。有人向他请教，也肯“详告之，无隐，期与斯世共明之”。 就这样孜孜不倦刻苦钻研数十年，著书80多种，终于成为成绩辉煌的天文历算家。遗著后由其孙梅瑴成整理成《梅氏丛书辑要》62卷，出版行世。

梅文鼎在数学上的贡献最为突出。他的主要数学著作有：《笔算》5卷，介绍西方的笔算；《筹算》2卷，介绍纳白尔算筹；《度算释例》2卷，介绍伽利略比例规；《少广拾遗》1卷，介绍中国古代的高次方程；《方程论》6卷，介绍中国古代的一次联立方程解法；《勾股举隅》1卷，记述直角形勾、股、弦、合、较等的互求问题；《几何通解》1卷，记述以勾股定理解《几何原本》中的一些问题；《平三角举要》5卷，内容为平面三角学；《方圆幂积》1卷，介绍圆方互容和球与立方体的互容问题；《几何补编》4卷，讨论了四等面体、八等面体等，对《几何原本》的内容多有补充；《弧三角举要》5卷，内容为球面三角学；《环中黍尺》5卷，主要讲球面三角法中余弦定理的几何证明；《堑堵测量》2卷，主要叙述球面直角三角形弧角关系式的几何证明。

梅文鼎的上述数学著作，对西方新传入中国的数学知识进行了系统的整理和介绍，内容虽然大多根据《几何原本》《同文算指》 和《崇祯历书》所收各书，但经过了融会贯通，全是用自己的语言叙述出来的。如《平三角举要》和《弧三角举要》两书，比《崇祯历书》中关于平面三角学和球面三角学的叙述清楚得多，对初学者来说是较好的入门书。另外，梅文鼎的这些著作还善于“发西书之覆而订补之”，如《几何补编》和《堑堵测量》中有许多关于立体几何的内容都是当时传入我国的西方数学尚未涉及的问题。再如积化和差术（即九九加减术），在明清之际由西洋传入中国，但西方传教士“仅举其名，不详其说，意若有甚珍惜者”，梅文鼎因而自力更生独立钻研数十年，终于“得其条贯”。

梅文鼎的数学著作在继承和发展我国古代传统数学方面，也有一定的贡献，能够“搜古法之根而阐明之”③。如对于几乎失传的垛积招差术（即高等差级数），梅文鼎进行过深入的研究，搞清了“其中原委”，并让其孙梅瑴成“衍为垛积之图”。 再如在《勾股举隅》中，梅文鼎提出了关于勾股定理的新证法。

梅文鼎在天文历法方面的成就也极精深。其这方面的主要著作有《元史历经补注》2卷、《古今历法通考》70余卷、《春秋以来冬至考》1卷、《庚午元算考》1卷、《郭太史历草补注》2卷、《大统立成注》2卷、《回回历补注》3卷、《西域天文书补注》2卷、《三十杂星考》1卷、《四省表景立成》1卷、《西国日月考》1卷、《求赤道宿度法》1卷、《交食管见》1卷、《帝星句陈经纬考异》1卷、《历学疑问》3卷、《历学疑问补》2卷等。其中，《古今历法通考》全面、细致地研究了我国自汉代以来的70多种历法，是我国第一部历学专史。《历学疑问》是其鉴于天文历法很复杂，专门性的著作不易看懂，致使一般人“犹若望洋”，摸不清头绪，因而仿照元人赵友钦《革象新书》的体例，作了一部“简要之书，俾人人得其门户”。其余的著作则有的“发明（中国之）古法”，有的发明（西洋所传来的）新法算书，或正其误，或补其缺。

对于天文历算的“图与器”，梅文鼎非常精通，“一见即得要领”。古六合、三辰、四游之仪，他能“以意约为小制”，又自制了月道仪、揆日测高诸器，“皆自出新意”。他曾到京师观象台参观新制的六种观测仪器（包括天体仪、黄道经纬仪、赤道经纬仪、地平经仪、象限仪、纪限仪）及元人郭守敬所创简仪和明初制造的浑球，“指数其中利病，皆如素习”。在这一方面，梅文鼎也写了不少著作，诸如《测器考》《自鸣钟说》《壶漏考》《日晷备考》《璇玑尺解》《勿庵测望仪式》《勿庵仰观仪式》《月道仪式》等皆是。

梅文鼎的天文历算成就在其生前即已受到普遍的重视，产生了很大影响。跟随他学习的人很多，他的许多著作正是为了解答求教者的疑难而写出来的。如《答李祠部问历》1卷，是因礼部郎中李焕斗向他问历法而作；《答刘文学问天象》1卷，是因与“沧州老儒刘介锡同客天津”，刘向他问历法而写；《七十二侯太阳纬度》1卷，是“承友人之问”而撰；《写历步历法》1卷，则是因为潘天成向他学历，“而苦于布算”，故著此书以“授之”。

梅文鼎的成就还得到重视自然科学的康熙皇帝的重视。由于李光地的推荐，康熙皇帝看到了梅文鼎的《历学疑问》一书，并在上面圈点涂抹、签贴批语。李光地请求指出错误，康熙皇帝答以“无疵谬”。1705年南巡，康熙皇帝把梅文鼎召到御舟中谈话，连续谈了三天，谈后对李光地说：“历象算法，朕最留心，此学今鲜知者，如文鼎，真仅见也。”在梅文鼎离去时，康熙皇帝又特赐“绩学参微”四字以鼓励。1714年，康熙皇帝嘱咐梅文鼎的孙子梅瑴成将官修《律吕正义》给梅文鼎寄去一部，让他发现错误即予指出。1721年梅文鼎去世，康熙皇帝“特命有地治者经纪其丧”。史称梅文鼎得到的“恩宠为千古所未有”，“士论荣之”。

梅文鼎逝后，其在天文历算方面的成就仍然享有很高的声誉，阮元的《畴人传》说道：“自征君（梅文鼎）以来，通数学者后先辈出，而师师相传，要皆本于梅氏。钱少詹（大昕）目为国朝（清朝）算学第一。”近代还有人把梅文鼎与英国的牛顿(1643—1727)、日本的关孝和(1642—1708)合称为17世纪世界三大数学家。

四 梅瑴成

梅瑴成(1681—1764)，字玉汝，号循斋，又号柳下居士，是梅文鼎的孙子。与祖父一样，他也是著名的天文历算家。他自幼跟随梅文鼎学习天文历算，“南北东西，未离函丈” ，并辅助梅文鼎进行学术研究。康熙四十五年(1706)被召入宫，跟随康熙皇帝学习数学，学业更加长进。从康熙五十一年(1712)起参加官修《律历渊源》编纂工作，充总裁，②经过近十年的工作，于康熙六十年(1721)完成。到了晚年，写成《增删算法统宗》。又编辑其祖父梅文鼎的历算著作，成《梅氏丛书辑要》，辑要后附有自己的著作《赤水遗珍》和《操缦卮言》。

《律历渊源》共100卷，包括《历象考成》42卷、《数理精蕴》53卷、《律吕正义》5卷。《历象考成》专讲天文历法，《律吕正义》阐述音乐原理。《数理精蕴》介绍数学知识，梅瑴成用力最大的是这一部分，他在《增删算法统宗》卷一《国朝算学书目》中“数理精蕴”条下就自题：“康熙己亥（按：五十八年，即1719年）翰林梅瑴成等编。”现在能够确知系梅瑴成手笔的，是该书下编“体部”所附勾股法四条。 《数理精蕴》对当时传到中国的西方数学知识做了很好的整理，对中国古代的传统数学知识也做了比较性的研究，涉及当时数学知识的各个方面，足以反映当时的数学水平。它的内容虽然大部分不超过前人的著作，但也有一些前所未有的新东西，如对数造表法以及借根方。《数理精蕴》的编成虽然不能看作梅瑴成一人的功劳，但他系重要编纂者，这部书凝结着他的心血。

《算法统宗》是明人程大位的著作。这是一部应用数学书，以珠算为主要的计算工具，主要以从其他数学著作中摘取的办法，汇编了595个问题，公元1592年写成后，曾长期广泛流行。梅瑴成的《增删算法统宗》，对《算法统宗》“重加校勘，删其繁芜，补其缺遗，正其讹谬，增其注解” 。其所增补，主要根据梅文鼎的著作，而其所删则主要是语涉迷信及若干无关紧要的部分。

梅瑴成在编辑《梅氏丛书辑要》时也表现出了卓越的数学修养。他对梅文鼎数学著作的排列顺序是《笔算》《筹算》《度算释例》《少广拾遗》《方程论》《勾股举隅》《几何通解》《单三角举要》《方圆幂积》《几何补编》《弧三角举要》《环中黍尺》《堑堵测量》，这和近代的数学各门类排列顺序（算术、代数、平面几何、平面三角、立体几何、球面三角……）是类似的。这样的顺序符合数学史的发展线索，梅瑴成排出这个顺序，说明他对数学发展过程的理解是相当深刻的。

《赤水遗珍》是短篇数学论著。它的一个很值得注意的成就是最早翻译了西洋割圆密率捷法，并做了简要说明，突破了旧的几何割圆方法的传统，为后来学者的进一步研究开辟了道路。另外，它还提出了对古算书《测圆海镜》和《四元玉鉴》的研究，这在保存古代数学文献上是有积极意义的。

《操缦卮言》是短篇天文历法论文集。其中主要阐明了编纂《明史》中《天文志》《历志》的原则和内容，对凌犯、里差等问题也进行了精辟的论述。在该书的《仪象论》中，梅瑴成叙述了清初北京观象天文仪器的变迁。他说，清初在北京的观象台上继续使用明代仿元制作的各种仪器，“康熙八年命造新仪，十一年造成，安置台上，其旧仪移置他室藏之”，“康熙五十四年，西洋人纪理安欲炫其能而灭弃古法，复奏制象限仪，遂将台下所遗元明旧器作废铜充用，仅存明仿元制浑仪、简仪、天体三仪而已，所制象限仪成，亦置台上”。他还说：“余于康熙五十二、三年间，充蒙养斋汇编官，屡赴观象台测验，见台下所遗旧器甚多，而元制简仪、仰仪诸器，俱有王恂、郭守敬监造姓名。虽不无残缺，然睹其遗制，想见其创造苦心，不觉肃然起敬也。乾隆年间，监臣受西洋人之愚，屡欲捡括台下余器，尽作废铜送制造局。廷臣好古者闻而奏请存留，礼部奉敕查检，始知仅存三仪。殆纪理安之烬余也。夫西人欲籍技术以行其教，故将尽灭古法，使后世无所考，彼盖得以居奇，其心叵测。乃监臣无识，不思存什一于千百，而反助其为虐，何哉！”梅瑴成的这个叙述，表现了他对祖国传统天文学的深厚感情，同时也深刻论述了西方传教士搞科技和“传其教”的关系，表现了其敏锐的政治眼光。梅瑴成既不排斥西方的科技知识，又对西方传教士的侵略本质有所认识，这在当时是难能可贵的。

梅瑴成继承发扬了其祖父梅文鼎钻研天文历算的家学，他们祖孙二人的辛勤劳动对当代和后代具有很大的积极影响，其在我国天文历算发展史上的功绩将永远为人们所称道。

五 陈世仁

陈世仁(1676—1722)，浙江海宁人，是著名的数学家。其著作《少广补遗》1卷，“专明垛积之法” ，有很高的学术价值。

“垛积之法”，即我国古代对高阶等差级数的求和法。在一个数列中，如果它的每一个后项减前项的结果（差）不一定相等，而当其差数组成了新数列时，新数列的每一个后项减前项的结果（差）都是相等的，那么，原来的那个数列就叫二阶等差级数。如果一个数列的每一个后项减前项所得到的差数组成新数列后，新数列的每一个后项减前项的结果（差）仍不相等，只有当新数列的每一个后项与前项的差组成又一个新数列之后，这又一个新数列的每一个后项减前项所得的结果（差）才是相等的，这时，原来的那个数列就叫三阶等差级数。依此类推，可知任意高阶等差级数的含义所在。我国古代数学家中最早对高阶等差级数的求和问题进行研究的，是北宋人沈括。在《梦溪笔谈》中，沈括提到“积隙一术”，“所谓积隙，即是垛积”，亦即高阶等差级数的求和术。 不过，沈括只是提到了求二阶等差级数的和的特例。到了元代，数学家朱世杰又在其名著《四元玉鉴》中做了系统的研究，他提出的垛积术，解决了任意高阶等差级数的有限项求和问题，并可归纳出一系列有重要意义的公式。清代数学家继续研究有限项级数求和问题，除陈世仁之外，汪莱(1768—1813)、罗士琳(1791—1823)、董祐诚(1791—1823)和李善兰(1811—1882)都曾在这方面付出心血。其中鸦片战争前成就最大者则应推陈世仁。在《少广补遗》中，他叙述了有限项数求和公式37个。这些公式除了宋、元数学家已经掌握的，有些是抽掉奇数各项或抽掉偶数各项之后再来求和的问题，这是他的独到之处，其中抽掉偶数项之后的各种求和公式尤具创造性。而陈世仁的这些独到之处，连康熙以前传入的西方数学也没有丝毫涉及。《畴人传》称赞陈世仁“详人之所不详，其用心有足尚已”，这个评论是符合实际的。

六 明安图

明安图（约1692—1765），字静庵，蒙古族，正白旗人，是著名的天文历算家。幼年时曾以官学生的身份跟随康熙皇帝学习数学。康熙五十一年(1712)五月，康熙皇帝“驾幸避暑山庄”，当时身为官学生的明安图，与天文历算工作者陈厚耀、何国柱、何国宗、成德等“皆扈从侍直”，康熙皇帝“亲临提命，许其问难如师弟子”。 在康熙皇帝的指导下，明安图“所学精奥异人” 。后来，他又先后担任过钦天监时宪科五官正、兵部郎中和钦天监监正等职，长期从事天文历算工作。除了日常的观测研究，他还多次参加重要的官修天文历算著作活动，自己也写出过学术价值极高的专著。

康熙年间，官修《律历渊源》，明安图参加了该书编写过程中的“考测”事宜，该书所载雍正二年(1724)五月十七日“奉旨开载纂修编校诸臣职名”中，在负责“考测”的职名之下，就写有“食员外郎俸钦天监五官正臣明安图”字样。雍正八年至十年(1730—1732)，清政府修正《历象考成》，编出《日躔月离表》一书，据考证，明安图也是其编撰者之一。 乾隆七年(1742)编撰完毕的官修《历象考成后编》，明安图同样是其重要的编纂人。《历象考成后编》集明代以来中西天文历法科学之大成，在清代学术界享有很高的声望，这种成就的取得与明安图的努力是分不开的。乾隆九年至十七年(1744—1752)，明安图还参加了著名的官修《仪象考成》的编写工作，担任其中繁杂的“推算”事宜，用自己的辛勤劳动为其编写成功作出了重要贡献。

明安图的学术专著是《割圆密率捷法》。康熙年间来中国的法国传教士杜德美，曾向中国介绍过西方新的数学成就割圆三法，包括圆径求周、弧背求正弦、弧背求正矢，但“其所以立法之源，乃无一语道及；且只立乘除之数，但云截去末八位，藏匿根数，秘而不宣” 。明安图“知其理深奥，索解未易，因积思三十余年”，写作专著《割圆密率捷法》一书，用自己的独立钻研，解决传教士不肯说明的东西。此书在明安图去世前未能完稿，他留下遗嘱，让儿子明新和弟子宛平人陈际新、宝应人张肱续作。明新等遵照父、师遗命，“相与讨论，推步校录”，又“质以平日所闻面授之言”，经过数年的努力，终于在乾隆三十九年(1774)最后成书。

《割圆密率捷法》共分四卷，一曰步法，二曰用法，三、四两卷曰法解。前两卷是明安图的遗稿，后两卷系陈际新等续成。在第一卷“步法”中，明安图论证了割圆十三术，即圆径求周，弧背求正弦，弧背求正矢，弧背求通弦，弧背求矢，通弦求弧背，矢求弧背，正弦求弧背，正矢求弧背，余弦求正弦、正矢，余矢、余弦求本弧，借弧背求正弦、余弦，借正弦、余弦求弧背。明安图的这些论证，是在西洋算法的启示下，以中国的传统数学为基础独立做出的，不仅揭示了被杜德美藏匿的原有三法的“立法之原”，而且提出了一系列新公式，大大超出了当时传入的西洋数学知识水平。

《割圆密率捷法》在中国数学史上占有很高的地位。清人罗士琳在19世纪中叶赞扬明安图独立钻研，在学术上与外国的传教士相抗衡，“可谓自能树立”，其子明新又能“继父志，不坠家声。方之古人，洵堪与北齐祖冲之父子媲美”。他还把明安图的割圆捷法称为“明氏新法”。 此后，清代数学界研究《割圆密率捷法》者极多，利用明氏新法研究其他数学问题也很风行。这反映了明安图的《割圆密率捷法》影响之大。不过，这本专著在写成60多年后才正式出版(1839)。在此以前，传抄于世的只有十三术中的九术，所以清人著作中一般只称作“割圆九术”，有的人甚至连这九术也不知出自何人。

明安图的成就是中国人民的骄傲，他打破了西方传教士的垄断，说明中华民族中的各个民族都有极大的创造才能和高度的聪明智慧。

七 博启

博启，号绘亭，满洲正白旗人，乾隆中任钦天监监副，是著名的数学家。他对数学素有研究。“尝因勾股和较（按：较为两数相减所得的差）之术，前人论之极详，独勾股形中所容之方边、圆径、垂线三事，尚缺未备。爰以三事分配和较，创法六十。”很可惜，他的著作，没有刊印，渐湮没无闻，“所传者，惟有方边及垂线求勾、股、弦一题”。 他的学术成果，价值很高，“其所传一题在道光初年，每为监正方履亨举以‘课士’”。以后罗士琳又仿博启遗法“以补监副（按：指博启）之佚”，“复立无元一术，为演得三事和较六十题，兼增立天、地两元为广例二十五术，撰《勾股容三事拾遗》四卷”。由于罗士琳的大力表彰，博启之术遂得“复明于世”。

八 王贞仪

王贞仪(1768—1797)，女，字德卿，祖籍安徽泗州（今安徽泗县），自祖父起迁居金陵（今江苏南京）。她到过吉林、北京、陕西、湖北、广东等地，25岁与安徽宣城人詹枚结婚，30岁去世。她在世时间不长，阅历却相当广，而且多才多艺，文武俱全：“尝学射于蒙古阿将军之夫人，发必中的，每角射，跨马横戟，往来若飞”；“淹贯群籍”，诸如“天文算法”“医卜壬遁”，“靡不通贯”；“尝夜坐观天象，言晴雨丰歉皆奇验”；对于诗文也很精能，“皆质实说事理，不为藻饰”。其著作有《德风亭初集》14卷、《德风亭二集》6卷、《绣余笺》10卷、《星象图释》2卷、《筹算易知》1卷、《重订策算证讹》1卷、《西洋筹算增删》1卷、《女蒙拾诵》1卷、《沈痾呓语》1卷、《历算简存》5卷、《象数窥余》4卷、《文选诗赋参评》10卷等。清人钱仪吉说她“有实学”，“班惠姬（即班昭）后一人而已”。 对这个评价王贞仪是当之无愧的。

在各种学问中，王贞仪最擅长的是天文历算。当时，“世之谈理者”，将天文历算看作“迂而无当于道，艰而不利于习”，因而“谈笑置之，且交引六合以外存而勿论之说”以辩解。王贞仪非常鄙夷这种态度。她极力肯定天文历算的作用，指出：“象数之学，大而授时定历、正律审音、算量分秘，达微征显，用之若此其广，习之若此其切。” “数者，历之理也，固生民日用之所不能废也。”在充分认识天文历算知识重要性的情况下，王贞仪为掌握它而付出了艰苦的劳动。她“少小习历习算诸籍，恒废寝食以求之，又研究勾股、测量、方程之术”。其祖父遣戍逝于吉林，遗下“藏书七十五柜，乃护持而涉猎焉”。“或以历算之学，非闺阁中所宜习” ，她却根本不理那一套，照样学习、研究和著书立说。功夫不负有心人，长期的“潜心稽究”，终于使她成为很有成就的天文历算家。

王贞仪的天文历算著作内容十分丰富，几乎包括了当时天文历算知识的各个方面。清人朱述之见到其《德风亭集》后曾作跋说：“（王贞仪的）杂文如《勾股三角论》、《日食论》（按：‘日’当作‘月’）、《岁差日至辨疑》、《盈缩高卑辩》、《经星辩》、《黄赤二道辩》、《地圆论》、《地球比九重天论》、《岁轮定于地心论》、《五星随天左旋论》、《筹算易知自序》、《历算简存自序》，皆足以见天文算学之大略。” 她的著作纠正了一般天文历算著作的一些错误，如《岁差日至辨疑》，就是因为她看到“历书中凡岁里二差及论日至等类，除宣城梅定九、桐城方涪翁两先生所著历算等书而外，余虽有善本，然不免讹舛者几半之，否则注解不明，否则议论非是”，因而根据自己的研究，“辩其疑”，“详其法”，“证其得失”，从而写出了这篇论文。王贞仪所写的天文历算著作，力求通俗简明，如《象数窥余》，“务求其理众晓，且简直明晰，而不疑于用，更不繁引多取以混心思，是盖著其实也” 。其《筹算易知》，是将梅文鼎的《筹算原本》“损繁指奥，述成一编，使初学朝得，暮能习之，显若指掌”。王贞仪在写作时之所以注意通俗简明，乃是因为她反对知识私有的思想和做法。她曾激烈地抨击这种现象说：有人“少有所得”，即“深自矜秘，遇有叩之者，唯是摇手欠申，漫答之而已。噫，象数之学，岂一人一家之可得而私者哉”！ 王贞仪的这种思想，在当时是难能可贵的。

王贞仪在研究天文历算时，很注意做实验。如有一次她家在德风亭搞了一次晚宴，亭子中间有一大圆桌，亭中梁上用绳子吊着一个大水晶灯，东西窗边的长桌各有一面大圆屏镜。看到这种情形，她忽然想起月蚀等现象，于是做起了模拟实验，以吊灯当太阳，圆桌当地球，西窗的屏镜当月亮。经过反复调整吊灯和屏镜的位置、角度，终于模拟出了月蚀等现象，“恍然悟月食之理，且可以悟天之内、地之外，四围空洞，虽日在地下，月在地上，若不相见，而实无不见也” 。王贞仪对于中、西的天文历算知识能不存偏见，兼采其长。她曾说：“中西固有所异，而亦有所合”；“理求其是，何择乎中西”。上述两种治学态度，也是其得以在天文历算上达到较高造诣的重要原因。

由于一生致力于多种学科的研究，特别是在自然科学的研究上花了很大力气，因而王贞仪对客观世界有较深刻的认识，形成了朴素的唯物主义思想。她曾明确地说：“天，浑然物也。” 在这种朴素唯物主义思想的指导下，她与佛教唯心主义做过尖锐的斗争，“于浮屠辟之甚力” 。对于搞封建迷信的风水先生，她也做过深刻的揭露，指出：“今之葬师堪舆，其人者吾知之矣，大抵多以黠术动人”，“亟亟乎借以营己之利，变惑人心之是非”。在她之前，南京人黄卓我著《葬经辟异》一书，对“世之持黠术以为堪舆葬师者”进行了批判。此书受到百姓的欢迎。而靠黠术骗人的堪舆葬师则“交口毁诋”，又“故多作伪本，以窜其真”，“互以荧惑其板，使阅者昧其正义，而无所取”，使此书“渐不行”。后来，王贞仪的一个族叔“以家藏卓我《辟异》原本，细为较订、笺证，分六卷焉，拟付梓”。王贞仪对这个举动非常赞成，为了使“黠术不能行，而人人无惑”，特地为之作序介绍。 有一次王贞仪家办葬事，她特地写信给父亲，让他不要听信堪舆家的胡言乱语，说：“大抵堪舆之流，多不读书，故只论名势，不理正理，专将富贵、贫贱、祸福、休咎语言来扰惑人心，以营己利，务祈父亲断不可全把堪舆言作准。”

在封建社会里，“女子无才便是德”。封建礼教的束缚，使妇女的聪明才智受到极大压抑。而王贞仪在这种情况下，却能冲决网罗，为我国古代科技的发展作出很大贡献，这是非常值得钦佩的。

九 项名达

项名达(1789—1850)，原名万准，字步莱，号梅侣，浙江仁和（今杭州）人。嘉庆二十一年(1816)举人，考授国子监学正。道光六年(1826)，登进士，授官知县，不就职，退而专攻数学。为了研究，他“虽寒暑饥渴不暇顾。苟有得，则欣然意适，若无可喻于人” 。他的数学著作甚多，但大多散佚，保存下来的只有《椭圆术》1卷、《下学庵勾股六术》1卷、《平三角和较术》1卷、《开诸乘方捷术》1卷等。

项名达认为，“守中西成法，搬衍较量，畴人子弟优为之。所贵学数者，谓能推见本原，融会以通其变，竟古人未竟之绪，而发古人未发之藏耳” ，故他的研究成果多具独创性。“勾股乃学数初步”，然而“恒苦和较诸术之纷糅，未入门先作门前之绕，往往阻于难而莫敢入”。有鉴于此，项名达写了《勾股六术》，“爰取旧术稍为变通”，使读者学起来“简而明，条焉而不紊，一展卷瞭然矣”。

在明安图对于割圆术做过深入的研究之后，又有董祐诚再做研究。而项名达则在董祐诚之后再次探讨。董祐诚提出了四个公式，项名达将之简化为两个公式。另外，项名达还提出了求椭圆周长的独特方法。这些在数学发展史上都是很有价值的成果。