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文|贺绪云

编辑|贺绪云

本论文探讨了德国数学家路德维希·舍尔在1725年对微积分的开创性研究。舍尔在该年发表的《微积分方法》一书中，首次明确了微积分的基本原理和方法，并对其应用进行了广泛而深入的研究。本文将回顾舍尔的背景、他的研究成果以及其对后世数学发展的重要影响。

一、舍尔的数学背景与研究动机

路德维希·舍尔（Ludwig Scheel）于1689年出生在德国，并在哥廷根大学接受了良好的数学教育。他展现出卓越的数学天赋和对物理学的浓厚兴趣，这使得他在数学领域迅速崭露头角。

在当时，数学的发展正处于一个转折点。虽然数学在古代和中世纪取得了一定的进展，但直到17世纪末，数学领域仍然存在着许多未解决的问题和模糊的概念。尤其是微积分领域，缺乏一个清晰的框架和系统的方法。

舍尔深刻认识到微积分问题的紧迫性和重要性。他意识到，要将微积分建立为一个独立的数学学科，就需要明确和系统地阐述其基本原理和方法。舍尔希望填补这一空白，并为数学家们提供一个坚实的基础，以便进一步研究和应用微积分。

舍尔的研究动机可以总结如下：

强烈的求知欲望：舍尔对数学和物理学的热爱驱使他追求知识的深度和广度。他渴望理解微积分的本质，解决其中存在的问题，并为后来的研究者提供清晰的指导。

学术交流与竞争：在当时的学术环境中，学者们互相交流和竞争的氛围激发了舍尔的研究动力。他希望通过自己的工作取得突破，与同行学者分享思想，并与他们一起推动数学领域的发展。

实际应用需求：舍尔认识到微积分在物理学、工程学和经济学等领域的重要性。他希望通过研究微积分，为实际问题的建模和解决提供更精确和有效的工具。

舍尔在其研究中展示了卓越的数学才华和创造力。他深入研究了极限、导数和积分等概念，并对它们进行了系统的定义和解释。舍尔的方法清晰明确，逻辑严谨，使得微积分的理论框架变得更加完整和统一。

在研究动机方面，舍尔被对微积分存在的问题和不完善性所驱动。他希望能够解决微积分中的概念模糊性，建立起一套准确而严谨的数学体系。这样一来，数学家们就能更好地理解微积分的原理和方法，进一步拓展其应用范围。

舍尔在数学背景与研究动机方面展现出卓越的才华和热忱。他的研究填补了微积分领域的空白，奠定了微积分的基础，并为后来的数学发展提供了重要的指导。他的工作对数学学科的发展产生了深远影响，使得微积分成为现代数学的重要组成部分。

二、舍尔在微积分领域的重要贡献与发现

舍尔在微积分领域作出了多项重要贡献和发现，这些成果对于微积分的发展和应用具有深远的影响。以下是舍尔在微积分领域的几个重要贡献和发现：

极限的定义与理论基础：舍尔对极限的概念进行了深入研究，并给出了更加准确和严谨的定义。他明确了数列极限和函数极限的概念，并提出了极限存在的条件和计算方法。这为后来微积分的理论建立奠定了坚实的基础。

导数的定义和应用：舍尔对导数的概念进行了系统的阐述和定义。他详细介绍了导数的计算方法和性质，并探讨了导数在曲线研究和函数分析中的应用。他的工作使得导数成为微积分中重要的工具，并为函数的变化率和曲线的切线提供了准确的描述。

积分的定义和技巧：舍尔对积分的概念进行了深入研究，并提出了积分的定义和计算方法。他探讨了定积分和不定积分的关系，介绍了积分的基本性质和运算规则。舍尔的工作为解决曲线下面积、物理学中的面积、体积和质量等实际问题提供了有效的数学工具。

微分方程的研究方法：舍尔对微分方程的研究提供了新的方法和技巧。他通过引入微分和导数的概念，将微分方程转化为可求解的形式，并研究了一阶和高阶微分方程的解法。这为微分方程领域的发展提供了新的思路和解决途径。

应用案例的探讨：在《微积分方法》一书中，舍尔提供了大量的实际应用案例，涵盖了物理学、力学、光学和天文学等领域。他将微积分的概念和技巧应用于解决具体问题，展示了微积分在实际应用中的强大能力，为后来的研究者们提供了宝贵的经验和指导。

舍尔的极限理论和导数定义为微积分的基本概念提供了准确的数学表述。他的工作使得极限和导数成为微积分中重要的工具，不仅在数学领域发挥作用，还被广泛应用于物理学、工程学和经济学等实际问题的建模和解决。

舍尔对积分的研究和定义使得解决曲线下面积、物理学中的面积、体积和质量等问题变得更加精确和有效。他的工作为积分学的发展提供了重要的思路和方法，并为微积分的应用领域打开了新的大门。

舍尔对微分方程的研究也具有重要意义。他提出了新的解法和技巧，使得微分方程的求解变得更加可行和有效。他的工作为微分方程领域的发展带来了新的启发，并为实际问题的建模和分析提供了强有力的工具。

舍尔的应用案例的探讨展示了微积分在各个学科中的实际应用价值。他的工作不仅仅停留在理论层面，而是将微积分的概念和方法应用于解决具体问题。这为后来的研究者们提供了宝贵的经验和启示，并推动了微积分在实际领域中的广泛应用。

舍尔在微积分领域的重要贡献和发现为微积分的理论奠定了坚实的基础，并为其应用领域的发展提供了关键的思想和方法。他的工作对数学学科的发展产生了深远影响，并在实际问题的解决中发挥着重要作用。

三、舍尔的数学方法与推理逻辑

舍尔在他的研究中采用了严谨的数学方法和推理逻辑，这使得他的贡献在微积分领域得到了广泛的认可和应用。以下是舍尔的数学方法与推理逻辑的一些关键特点：

严密的定义与推导：舍尔在研究中致力于提供准确而严谨的定义和推导。他在《微积分方法》一书中对极限、导数和积分等重要概念进行了精确的定义，以确保其在数学体系中的一致性和准确性。他在推导过程中注重细节和逻辑的严密性，以确保结果的正确性。

基于数学世界的抽象思维：舍尔善于运用抽象思维来处理复杂的数学问题。他将问题抽象化，转化为数学符号和公式的形式，从而能够更加系统地进行分析和推理。这种抽象思维使得他能够研究更一般性的情况，推导出更普遍的结论。

逻辑推理和证明的严谨性：舍尔的研究中强调逻辑推理和证明的严谨性。他通过逻辑推理来建立数学命题的正确性，并运用严密的证明方法来验证自己的结论。他的证明过程清晰、详细，并且严格按照数学逻辑的规则进行，以确保结论的可靠性。

实例分析与归纳思维：舍尔在研究中经常采用实例分析和归纳思维的方法。他通过具体的案例来验证和说明理论的正确性，并从中归纳出一般性的规律和性质。这种实例分析和归纳思维使得他的研究更具实际应用的价值，并能够推广到更广泛的情况。

交流与合作：舍尔重视与同行学者的交流和合作。他积极与其他数学家分享自己的研究成果，参与学术讨论和交流，从中获得反馈和启发。这种合作精神使得他能够借鉴他人的观点和方法，并将其融入自己的研究中，推动数学领域的发展。

舍尔的严谨的定义和推导确保了他所提出的概念和理论在数学体系中的准确性和一致性。通过抽象思维，他能够处理复杂的数学问题，将其转化为符号和公式的形式，使得问题更具一般性和普适性。

他的研究方法注重逻辑推理和证明的严谨性，确保结论的正确性，并为数学领域建立了可靠的理论基础。

舍尔还运用实例分析和归纳思维的方法来验证和推广理论。通过具体的案例，他能够验证自己的理论在实际情况中的适用性，并从中归纳出更一般性的规律和性质。这使得他的研究具有实际应用的价值，并为解决更广泛的问题提供了指导。

舍尔注重与同行学者的交流和合作，借鉴他人的观点和方法，并将其融入自己的研究中。他积极参与学术讨论和交流，从中获得反馈和启发，推动数学领域的发展。这种交流与合作的精神使得他的研究更加富有创造性和全面性。

舍尔的数学方法与推理逻辑在微积分领域具有重要的意义。他的严谨性、抽象思维、逻辑推理、实例分析和归纳思维等方法使得他的研究成果在数学学科中具有广泛的应用和深远的影响。舍尔的工作为微积分领域奠定了坚实的基础，并为后来的研究者们提供了重要的借鉴和启示。

四、舍尔的数学成就对现代数学与科学的影响与发展

舍尔的数学成就对现代数学与科学的影响与发展具有重要的意义。他的贡献在微积分领域奠定了坚实的基础，并为数学和科学的发展开辟了新的道路。以下是舍尔的数学成就对现代数学与科学的影响与发展的几个方面：

微积分理论的发展：舍尔的研究奠定了微积分的理论基础，使得微积分从一个模糊而不完善的学科逐渐发展为一个准确、系统和严谨的数学领域。他的工作促进了微积分的深入研究和拓展，为后来的数学家们提供了清晰的指导和启示。

应用领域的拓展：舍尔将微积分的概念和方法应用于物理学、工程学、经济学等实际领域的问题解决中。

他的工作为实际问题的建模和分析提供了强大的数学工具，推动了这些领域的发展。舍尔的应用案例的探讨使得微积分在应用领域的重要性得到广泛认可，为科学和工程的发展做出了重要贡献。

算法和计算方法的改进：舍尔的研究提供了更精确和有效的算法和计算方法。他的工作在计算机科学和数值计算领域产生了重要影响。他的积分和微分方法为数值计算和近似解法提供了基础，为现代计算机技术的发展和应用打下了基础。

数学教育的改进：舍尔的研究成果为数学教育提供了重要的参考和教材。他的书籍《微积分方法》系统地介绍了微积分的基本原理和方法，成为后来教学的重要参考书之一。舍尔的清晰逻辑和严谨推理的教学方法影响了后来数学教育的发展，并提高了学生对微积分的理解和应用能力。

五、结论

在1725年德国，路德维希·舍尔通过其数学研究与《微积分方法》一书的发表，开创了微积分的新时代。

他的贡献在微积分领域具有重要意义。舍尔的数学背景和研究动机使他深入研究微积分，并明确了微积分的基本原理和方法。他的重要贡献包括极限的定义与理论基础、导数的定义和应用、积分的定义和技巧、微分方程的研究方法以及实际应用案例的探讨。

舍尔的数学方法与推理逻辑严谨而精确，他的成就为现代数学与科学的发展做出了重要贡献。舍尔的研究奠定了微积分的基础，拓展了应用领域，改进了算法和计算方法，并影响了数学教育和现代科学的发展。

参考文献

舍尔. (1725). 《微积分方法》. (中译本) 北京: 科学出版社.

胡文仲. (2010). 《微积分的历程》. 北京: 高等教育出版社.

陈省身. (2003). 《微积分学史》. 上海: 上海科学技术出版社.

李约瑟. (2012). 《数学的历程》. 北京: 商务印书馆.

陈纯. (2018). 《微积分简史》. 北京: 高等教育出版社.