2019年浙江高考数学真题，满分15分，学霸说是送分题

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大家好！本文和大家分享一道2019年浙江高考数学真题。这是当年浙江高考数学试卷的第20题，也就是第三道解答题，满分15分。这道题考查的是等差数列、等比数列的通项公式、前n项和及简单的性质、数学归纳法和放缩法证明不等式等知识。不少学霸看到题目后直言就是送分题。

先看第一小问：求数列an、bn的通项公式。

设等差数列{an}的公差为d，那么根据等差数列的通项公式及前n项和公式可以得到，a3=a1+2d=4，a4=a1+3d=S3=3a1+3d，于是可以解得a1=0，d=2，故数列{an}的通项公式为an=2n-2。

再求数列{bn}的通项公式。由于Sn+bn，S(n+1)+bn，S(n+2)+bn成等比数列，所以有S(n+1)+bn]^2=(Sn+bn)[S(n+2)+bn]。显然，我们需要求出Sn的表达式。由于Sn是数列{an}的前n项和，所以有Sn=n^2-n，代入前面的式子，整理后得到bn=n^2+n。

再看第二小问：证明。

求证的结论是与正整数n有关的，所以可以尝试用数学归纳法来证明。

先根据第一小问的结论，求出cn的通项公式为cn=√[(n-1)/(n^2+n)]。接下来用数学归纳法证明。

①当n=1时，c1=0＜2，此时结论成立。

②假设当n=k(k为正整数)时结论成立，即有c1+c2+…+ck＜2√k。接下来证明当n=k+1时，结论依然成立。

当n=k+1时，c1+c2+…ck+c(k+1)＜2√k+√[k/(k+1)(k+2)]＜2√k+√[1/(k+1)]＜2√k+2/[√(k+1)+√k]=2√k+2[√(k+1)-√k]=2√(k+1)。故当n=k+1时，结论成立。

综上，结论成立。

想到用数学归纳法来证明很简单，难的是在证明当n=k+1也成立的过程中出现的放缩法。放缩法对于很多学生来说都是一个难点，在平时需要多积累，多练习。

其实，如果熟练掌握了放缩法，本问还可以直接用放缩法来证明，而且过程比用数学归纳法要简单很多。

将第一小问得到的an和bn通项公式代入cn中，可以得到cn=√[(n-1)/n(n+1)]。接下来我们就需要对cn的表达式进行放缩。先观察一下最终的结论，不等式的右边只剩下2√n，那么我们就可以想到用裂项相消的方法来处理。具体怎么放缩呢？cn＜√(1/n)=2/(√n+√n)＜2/[√n+√(n-1)]=2[√n-√(n-1)]，再代入所求证的不等式即可。

这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？