海韵教育丨北师版小学数学（上册）常见问题答疑（6）

一年级上册︱教材第57页“分类”，为什么把它算作统计的内容？

分类是统计的最基础工作之一，如果有把一些无序数据整理成有序的统计图表，首先需要做的工作就是对数据进行分类。因此，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》在具体课程内容中，将分类的学习内容归入“统计与概率”领域的统计方面。

对刚入学的一年级学生而言，直接讲解数据的分类，无论是对他们认识分类，还是渗透分类思想都是较为困难的。本册安排了分类这一单元，一是重视分类思想的渗透。因为分类不仅是统计数据的重要基础，也是学生探索问题、发现数学规律的重要基础，同时它在“数与代数”和“图形与几何”等内容的学习中也是一种非常重要的手段。将其独立安排一个章节，目的就是重视分类内容的教学。二是利用较为直观物体的分类过程，为学生后续的数据分类提供形象的材料。由于整理自己的房间等活动，学生都具有比较熟悉的生活经验，通过这些学生看得见，摸得着的物体的分类活动，不仅使学生体会到分类方法的重要性，也便于学生理解如何确定分类的标准，理解指定标准下的分类标准的一致性、确定性和不同标准下的分类标准的多样性。

二年级上册︱在本册测量内容中如何组织估测教学？

首先，要重视学生对 1 厘米、1 米等表象的建立，这是估测的基础。教师要帮助学生充分感知生活中 1 厘米、1 米等物体的长度，帮助他们对长度单位形成表象。在此基础上，教师还可以帮助学生建立一些熟悉物体的长度表象，比如，铅笔盒的长度大约是多少，便于以后用他们作为标准去估测其他物体。

其次，在开展估测的活动时，教师要对学生进行估测的指导。为作好估测指导，教师需要对教材中这部分内容的设计层次有一个清晰的认识，以便抓住关键内容组织有效教学。教材 52 页的第 1 题是开展估测活动的第一个层次——在理解长度单位的层面上进行估测。教学时，教师要引导学生先估测，之后还要注意把估测的结果与精确测量后的结果进行对比，通过“对比—再估测”进行不断的调整，以保证学生形成正确的长度表象。同时，这里形成的某些物体长度的表象，如食指宽的长度还会成为估测其他长度的一个新的参照物。教材第54 页“试一试”是开展估测活动的第二个层次——通过参照物进行的估测，通过同已知长度（门的高度）的比较，来估测其他物体的长度（小明和机灵狗的身高）。教学时，教师要善于鼓励学生从身边的事物中发现素材，进行估测练习，同时教师还可以帮助学生总结这种估测方法，但不需要学生背诵。

做好估测指导，教师还要指导学生加强生活中测量经验的积累。比如，找出“身上的尺子”：一拃的长度、一步的长度等，把他们也作为标准帮助学生完成日常生活的估测任务。

三年级上册︱第四单元“乘与除”中乘、除法的口算在教学时如何落实学习目标？

口算的学习是非常重要的，它不仅是笔算技能培养的基础，而且对数感和解决问题策略的形成也非常有价值。在乘、除法的口算教学中，要落实好口算学习的目标需要注意以下几点：

1．加强学生对乘、除法口算算理的理解

乘、除法的口算算理是计算的基础，也是学生正确计算的重要保障。因此，教材在编排时，不仅是对学生口算技能的培养，而且非常重视口算的道理。

如 “小树有多少棵”， 教材呈现了三种不同的方法。一是数线与相同加数连加算式相结合；二是用一一列举的方式发现其中的规律；三是通过迁移类推，用表内乘法推想到整十数乘一位数的乘法，即把 20 看作 2 个十，3 个 20 就是 6 个十，也就是 60。

再如，“需要多少钱”，教材通过设置学生熟悉的生活情境，引导学生学习探索两位数乘一位数的口算方法。首先呈现两种计算方法，一种借助加法进行计算，一种借助人民币模型抽象出两位数乘一位数，把整十数和个位数分别与一位数相乘、再把两个乘数相加，初步感受乘法算理。此外，教材还用点子图和表格引导学生理解乘法运算。

所以，在教学中，教师要帮助学生从多个角度理解算理，要引导学生去比较不同方法的特点，以促进学生反思，进而建构对乘、除法口算算理的理解。

另外在理解算理过程中，实际的操作也是非常重要的。学生对口算算理的理解，不能仅仅是说说而已，教学时还应适当配合直观教具，通过实际的操作活动，为学生正确理解口算算理提供实际支撑。当然，操作的形式可以是多种多样的，即可以先说后摆，也可以先摆后说，也可以仅仅是让学习有困难的学生去摆一摆。

2．把握口算练习题的要求

本单元口算题的内容是乘、除法的一些最基础内容，根据数学课程标准的要求，教材中呈现的数据都有一定的范围要求。如乘法口算的得数控制在百以的数（整十数、整百数乘一个数除外），同样，除法的被除数也是在百以的数（被除数是整百数的除外）。对于整十数、整百数的乘除法基本控制在能一次进行直接计算的范围内。

3．设计有效、形式多样的练习，帮助学生形成乘除法口算基本技能

（1）有针对性地设计练习。在学生理解一位数乘、除两位数口算算理的基础上，要通过一定的练习，帮助学生熟悉口算方法。

（2）练习形式要多样，在个人基本上掌握一位数乘除两位数口算的基础上，既可以在具体情境中进行练习，也可以设计一些对比性练习，还可以设计改错练习等。

（3）练习的设计还要讲究系统性，注意集中练习与分散练习相结合，即在后面单元的学习中，教师也可以适当地穿插有关的练习。

四年级上册︱结合平移的实例和图形的平移来认识直线的平行关系，结合旋转来进一步认识角的意图是什么？

在动态变换中理解几何概念是我们教材的一个特色。对平行线和角的认识，教材突破了原来仅依靠直接观察得出概念的做法。认识平行线，就将平移的操作方法移植过来，通过学生在方格纸上平移铅笔的过程，引出互相平行的概念。认识角，就从旋转入手，使学生体会旋转过程中角的变化。这样安排使运动的物体与静止的图形结合在一起，为认识图形提供了一个新的视角。

现实世界中有大量的图形运动现象，史宁中教授在《数学思想概论第 2 辑——图形与图形关系的抽象》）中指出：“图形运动能很好地体现几何直观的教育价值”；《义务教育数学课程标准（2011 年版）解读》中也提到：图形的许多性质可以通过图形的运动直观得到，图形运动为我们探索并确认图形性质提供了方法与途径。本册在第二单元“线与角”中，编排了“平移与平行”“旋转与角”，重视把图形的认识与图形运动有机结合，意图通过用图形的运动来探寻和猜测图形的特征，发展学生的几何直观和空间观念，还有助于提高学生认识图形的兴趣，感受认识图形可以有不同方法。

学生理解两条直线平行的位置关系比较困难，以往一般用两个铁轨作为实物原型来描述，从静态的角度帮助学生理解它们之间的距离处处相等的本质，但是铁轨无法总是笔直地延伸，也无法永远延伸下去，给学生的认识造成障碍。史宁中教授说：“平行线间的距离处处相等，通过动态的平移现象，学生能很好感受或亲身体会这个内涵。一条直线是由另一条直线通过平移得到的，那么这两条直线平行，甚至可以借此来定义平行线。”本册教材在“平移与平行”中，编排了日常生活中“推拉窗”“升国旗”两个生活实例，通过激活生活经验、在方格纸上平移铅笔以及画出平行线图形的活动，亲身体会“一条直线是由另一条直线通过平移得到的，这两条直线间距离处处相等”，很好地认识平行线的特征。

同样，在“旋转与角”中，在第一学段静态认识角的基础上，教材创设了操作“活动角”的问题情境，着力从动态的角度让学生进一步认识角。通过操作“活动角”，意图让学生在旋转中体会角的形成，也感受到“角的大小与边的长短无关，与张口有关”的特征；进而又结合“体操表演”“推磨”图，让学生在操作和联想中，感知平角和周角的概念，突破认识上的难点。这样编排，将生活中动态的生活现象与数学中的抽象概念建立联系，让学生由具体到抽象的过程中体会图形的特征，积累认识几何图形的活动经验，发展空间观念。

五年级上册︱教材为什么注重引导学生利用百数表及在“长、正方形拼图”活动中，探索数的特征？

“倍数与因数”这部分内容是数论学习的基础，但也由于概念比较多，学生学起来会觉得枯燥。如何减轻学生的学习负担，激发学生的学习兴趣，鼓励学生在发现规律的学习中发展推理能力？结合《课程标准（2011 年版）》的要求，教材找到一个好的载体——百数表。

对于百数表这一工具，学生在第一学段接触过，利用“百数表”来研究 2,5,3 的倍数的特征，不仅把研究的数据控制在了 100 以内，而且百数表也具有“形”的直观，把的数字排列有序，方便学生通过观察、比较发现 2,5,3 的倍数的特征，有助于规律的发现。为此，教材充分利用百数表的结构特点，让学生经历探索 2,5,3 的倍数的特征的过程，增加了学生学习的趣味性。

虽然 3 的倍数的尾数不具有某种规律，但在探索“3 的倍数的特征”时（图 1），教材仍采用现在百数表内圈出 3 的倍数，为学生的探索提供抓手，通过百数表内斜线上各组 3 的倍数的数，去探索其特征，鼓励学生经历圈数、表达理由、交流反思的过程。由此发现 3 的倍数的特征，即“一个数各个数位上的数字之和是 3 的倍数”。

图 1

以往关于“找因数”“找质数”的学习，仅局限于单纯的数的学习，很少注意它与其他知识（如图形）的联系，学生学起来比较枯燥。为了提高学生的学习兴趣，沟通知识之间的联系，我们尝试在“用小正方形拼长方形”的活动中，探索找因数的方法，认识质数和合数。

如，在“找因数”一课中，借助“用 12 个小正方形拼长方形”的活动（图 2），在这样的活动中，鼓励学生在拼图中体会一个数的因数与拼的长方形的个数之间的联系，利用数形结合，把抽象的概念直观化。

图 2

六年级上册︱本册教材如何在解决实际问题过程中，注重帮助学生获取信息、分析数量关系？

本册教材“分数混合运算”“百分数”和“百分数的应用”三个单元均涉及解决问题的内容。教材对这样的内容一般有三种样式设计，第一种是从解决问题入手，服务于某种算法；第二种是服务于解决问题本身，基于某一种算法解决问题；第三种是解决问题，更多地体现在获取信息、提出问题，画图分析数量关系，然后解决问题，检验结果是否合适。

如“分数混合运算（一）”和“分数混合运算（二）”就是将计算和解决问题相结合，其中第一课时都是调动学生积极性，解决实际问题；第二课时“试一试”是解决算法问题，结合具体问题的解决，明确分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序一样，整数的运算律在分数运算中同样适用，巩固运算的技能。“分数混合运算（三）”是解决问题。

在解决问题的过程中，除了让学生经历比较完整的捕捉信息、分析问题、解决问题检验的过程，教材特别注重以下几个方面：

第一，关于“审题”。教材鼓励学生有条理地思考和表达自己的想法，帮助学生整理思路。单元中的连续三节课都是在提出问题后，首先关注学生的思考过程“说说你是如何思考的”，鼓励学生自己来分析问题、尝试解决问题，进行比较，寻找联系；展现学生读题、审题的一般思考过程，并尝试提出解决问题的基本思路。

第二，关于“画图”。在解决实际问题中，尊重学生个性思考和多样化的表达，以“画图”策略为例，教材呈现了丰富的学生分析数量关系的画图方法，通过画图来表达学生的思考过程并帮助学生解决问题。（如下图）

帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。教材通过多种途径和方法使学生体会到画图对寻求解题思路的益处，如用图形语言刻画问题，用图形语言寻找解决问题的思路，用图形语言解决问题，用图形语言刻画问题的结果。能画图时尽量画图，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学对象或过程变得直观，这样就容易与学生的已有经验相联系，调动学生学习与思考的积极性。教学中应关注以下几点。

（1）重视学生的数学思维发展

解决问题的策略需要与发展学生的数学思维相结合。有些问题借助画图寻求到了答案，但这并不完全等同于在数学形式上也掌握了这些问题。基于情境理解的解决策略与基于算法结构的解决策略在数学思维上是不同的。有时需要做进一步的关系抽象，有时还需要从数学的角度对这个问题及其解决方法进行再反思和再抽象。

（2）不强求学生画统一的“线段图”

画图与问题难度、情境新疏有关，而难度、情境新疏都与学生主体体验相关。因此，我们鼓励教师们重视学生个性化的图，如下面是“分数混合运算（一）”中学生画的不同的图，表示了题目中的数量关系，寻求解题的思路和答案，解决同一个问题会有不同的方法，不同的问题也会用到相同的方法。

没有解题策略是一次就学会的，也没有解题策略适用所有的问题情境，所以要鼓励学生逐渐建立一个解决问题的策略库，积累解决问题的经验。

（3）重视解题后的反思，要重视解题（前、中、后）的反思

我们不应过分追求解题的数量，而应注重解题的质量。这里的“质量”，尤其是指要重视解题之后的反思，重视沟通各题目之间的内在联系。当面临疑难时，我们希望学生能够自觉主动地由一个问题联想到另一个问题，最终在头脑中形成一个问题串，在感受数学内在统一之美的同时，能有效地解决问题。

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