素数最难问题的推动者

在赢得菲尔兹奖的路上，詹姆斯·梅纳德 (James Maynard) 开辟了一条道路，解决了几个世纪以来困扰数学家的素数问题。

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詹姆斯·梅纳德在英国牛津的家外。

2013 年，可能发生在数学家身上的最好的事情之一——也是最糟糕的事情之一——发生在詹姆斯·梅纳德身上。刚从研究生院毕业，他解决了该学科最古老和最核心的问题之一，即素数的间距。即使在与世隔绝的纯数学研究世界之外，这项成就通常也会让他声名鹊起。只有一个困难：几个月前，另一位数学家证明了梅纳德结果中最引人注目的部分，他使用了一种完全不同的方法。

然而，数论家立即认识到梅纳德是值得关注的人。很少有全新的博士会勇敢地解决这样的问题，更不用说解决了。在随后的几年中，梅纳德不仅证明了这些早期希望的合理性，还解决了一个又一个基本问题。

今天，这位现年 35 岁的数学家，现在是牛津大学的教授，因其“在解析数论方面的杰出贡献”而被授予菲尔兹奖。“他的工作非常巧妙，经常在当前技术似乎无法解决的重要问题上取得令人惊讶的突破。”

梅纳德在一月份被告知他的菲尔兹奖章，“根本没有预料到，”他说。“我仍然从根本上认为自己是一个在数学世界中稍稍站稳脚跟的人。” 他说，他经常从以前菲尔兹奖得主的作品中汲取灵感。“突然被列在这个名单上，这些数学传奇启发了我[小时候]，这令人难以置信，但完全超现实。”

菲尔兹奖是一个聚光灯，通常跟随数学家的余生，但梅纳德希望他的研究生活不会发生太大变化。“我仍将致力于解决同样的问题，并对同样的事情感兴趣，”他说。

最近，这项工作采取了三篇论文 系列的形式，关于素数如何在数轴上分布。除了数字 2 和 5 之外，所有素数都以 1、3、7 或 9 结尾，因此您可以想象用这些数字标记四个桶，然后在沿着数轴向下移动时将每个素数放入其关联的桶中。数学家早就知道，这些桶最终都会得到大致相同数量的素数，这不仅在以 10 为底的情况下，而且在任何底下都是如此。然而，数学家不知道的是，水桶开始变晚的速度有多快，这个问题对许多其他关于素数间距的核心问题都有影响。

对于许多基地，梅纳德现在已经证明，这些水桶的速度甚至比数学家以前被困在上面的著名速度障碍还要快。这些论文是“真正令人印象深刻的技术成就” ，斯坦福大学的Kannan Soundararajan说，他将在今天赫尔辛基的颁奖典礼上就 Maynard 的工作发表赞美演讲。

对于许多数学家来说，获得菲尔兹奖是他们一生中最辉煌的时刻之一。不过，对于梅纳德来说，即使是“本周最重要的事件”，该奖项也存在竞争。他和他的搭档埃莉诺格兰特预计他们的第一个孩子会在几天内出生，这让梅纳德有足够的时间快速访问赫尔辛基。

“很多事情都在改变，”他说。

01

简单的难题

詹姆斯·梅纳德三岁时，一位健康访问者来到他位于伦敦东北部切姆斯福德的家中，检查他的发育情况。这样的访问对于年幼的孩子来说是例行公事，评估员带领他完成了一系列标准测试。只有一个问题：梅纳德认为他们很愚蠢。

所以当她给他一个形状分类的任务时，他故意把形状排列成一个令人惊讶的顺序，然后详细解释了为什么他的解决方案比她的更有趣。当她问他玩具农场里的奶牛是什么动物时，“他真的很喜欢告诉她这是‘绵羊’，并观察她的反应，”他的母亲 Gill Maynard 在一封电子邮件中写道。当他确定评估已经进行了足够长的时间时，他宣布评估完成并拿出他的乐高积木。

梅纳德在他的数论研究中使用了概率论。

“这非常令人难忘——一个三岁的孩子拆毁了这个可怜的女人，”吉尔梅纳德在接受采访时说。

评估员告诉他的母亲，詹姆斯缺乏纪律。“如果他继续这样下去，他在学校会遇到真正的问题，”她说。

类似的事件在梅纳德的整个学年中都出现过。有一段时间，他的物理老师使用了一个梅纳德认为很荒谬的评分标准：没有解释或单位的正确答案只获得了三分之一的分数。为了抗议，梅纳德只写了答案，全部正确，得了 33%。“我认为老师可能已经厌倦了我，”他说。

“我绝对是那些会说‘为什么？为什么？为什么？' 一直以来，”梅纳德说。他在学生时代“想做我自己的事，或者至少想为事情找理由”。

因此，2013 年，26 岁的梅纳德作为一名刚获得博士学位的博士后顾问警告他不要研究他想要研究的问题，这是关于质数的最核心问题之一，这也许不足为奇。 （这些整数只能被 1 和它们本身整除）。

“我对他说，‘我希望你不要全职工作，因为我非常有信心你会失败，’”梅纳德在蒙特利尔大学的导师Andrew Granville回忆道。时间。

但梅纳德“仍然有勇气” ，蒙特利尔大学的Dimitris Koukoulopoulos说，“只是坐下来说，‘好吧，让我试试这个想法，看看它会把我带到哪里。’”

牛津大学的本·格林说，他的一个定理“促使人们对数学家如何看待素数之间的间距进行了重大的重新评估” 。

梅纳德对素数的问题很感兴趣，这些问题很简单，可以向高中生解释，但很难难倒数学家几个世纪。“简单和基本之间的对比对我来说非常非常吸引人，[和]仍然只是完全神秘，”他说。

有很多这样的问题，但现在比梅纳德出现在现场之前要少。因为他早期的成功并不是昙花一现，而是关于素数和相关结构的一系列发现中的第一个。现在梅纳德被认为是世界领先的数论家之一。

格林说，他“在成为世界受人尊敬的数学家方面有着非常陡峭的上升轨迹”。

正在写一本关于解析数论的书的格兰维尔抱怨说，梅纳德大大减缓了他的进步。“因为他，我不得不增加大约 150 页，”Granville 说。

02

小信号

2020 年 1 月，我与梅纳德在丹佛举行的联合数学会议上坐下来，在那里他获得了弗兰克·纳尔逊·科尔数论奖。虽然这个奖项是正式授予一篇著名论文的，但在梅纳德的案例中，奖项委员会忍不住引用了三篇论文，所有这些论文都出现在顶级数学期刊上。

他只为丹佛之旅分配了一天半的时间，但尽管我们在他从英国抵达后仅一个小时就见面了，但他的脚步却有一个春天。“我还在继续肾上腺素，”他说，笑容扩大了他狭窄的孩子气的脸。“时差还没有打到我。” 在我们的谈话中，他很高兴地笑了，除非他必须摆姿势拍照。“人们说我无法在照片中产生合适的微笑，”他说，露出露齿的表情。

如果时间允许，梅纳德打算在城里闲逛拍照。几年前，他开始摄影，是为了与他因工作而访问的许多城市建立更多联系，但这已经变成了一种痴迷。“我夏天去香港，黎明时分出门徒步拍照，”他说，尽管他通常不是一个早起的人。

梅纳德一直有这种痴迷的倾向，作为一个孩子，他经历了不同的恐龙、地质和天文学阶段。“我很不擅长对事物保持适度的兴趣，”他说。“不知何故，我必须对它着迷，否则我完全放弃它。”

梅纳德的父亲克里斯梅纳德说，一旦梅纳德对某个主题产生兴趣，他往往不会停下来，直到他达到自己的能力极限。“但他在数学上还没有达到那个地步。我认为，从某种意义上说，这就是他的动力。”

尽管梅纳德家族中的其他人都以人文学科为导向——他的父母是语言老师，他的兄弟学习历史——但他总是发现自己走在数学最多的道路上。“在每个阶段，考虑到我当时的感受，这就像明显的下一步，”他说。

在牛津大学读研究生时，他非凡的数学实力变得显而易见。他的导师Roger Heath-Brown说，到他博士研究的后半段，他们的会面更像是合作而非指导。“我以前从未对研究生有过这种感觉，”他说。

当梅纳德离开牛津在蒙特利尔大学进行为期一年的博士后研究时，他已经开始考虑一种可能的方法来理解质数之间的差距。通常，当您沿着数轴前进时，素数会变得越来越少。但在某些方面，它们也表现得像一组随机数，因此数学家期望它们的间距通常比平均值更近或更远。数学中最著名的问题之一是孪生素数猜想，它假设有无限多对仅相差 2 的素数，例如 11 和 13。

Maynard 怀疑，使用大约十年前的一篇论文中描述的过滤素数的方法，有可能在理解素数间隙方面取得进展。虽然数学家已经仔细研究过这种方法，但梅纳德认为应该可以从中提取更多的汁液。他说：“我一直在进行计算和计算，并且不断收到这些小信号，表明那里有一些东西需要理解和发现。” “不知何故，我完全被它迷住了，我真的很想继续前进，直到我想出一种方法来解释我所看到的。”

他的博士后顾问格兰维尔劝阻梅纳德不要走这条路。“我并不完全相信他正在做的事情可能会奏效，”格兰维尔说。但是“事实上，詹姆斯从来没有因为我的怀疑而真正推迟过——他只是对此一笑置之。”

在梅纳德的探索早期，数论世界发生了一场地震事件。一位名不见经传的数学家张益唐证明了，这并不完全是孪生素数猜想，而是下一个最好的事情：他证明了有无限多的素数对，最多相距有限的距离（准确地说是 7000 万）。这一发现立即为张带来了荣耀，他提供了多项工作机会（其中一份来自加州大学圣巴巴拉分校，他现在在那里任教）、受邀讲座、新闻报道甚至一部纪录片。

与此同时，梅纳德一直在研究自己的方法来理解素数差距，大约六个月后，在灵光一现的情况下，他提出了一个完全独立的、比张的方法更强大的方法——它确定了有无限多的素数对最多相差 600。梅纳德的方法不仅适用于素数对，还适用于三元组、四元组和更大的集合（每个集合都有不同的界限）。“结果似乎有点惊人，好得令人难以置信，”Soundararajan 说。

确实，当梅纳德第一次发现这一点时，他的兴奋之情很快就伴随着一阵恐惧，他担心自己错过了一些明显的错误。幸运的是，他说：“当我突然害怕我的结果是错误的时，我觉得我的工作效率更高了。......没有什么比恐惧更能激励我了。”

格兰维尔坚持让梅纳德在写下他的结果时确定每一个细节。“没有人会相信你，因为没有人听说过你，”他告诉梅纳德。“你必须写得这么好，以至于没人能和你争论。”

Soundararajan 说，最终结果是一个“绝对出色”的证明。

在这个过程接近尾声时，发生了一件很容易让年轻数学家心生恐惧的事情：梅纳德和格兰维尔私下得知，另一位数学家在同一时间框架内得出了基本相同的结果。而且不仅仅是任何一位数学家，而是现代最多产和最受尊敬的数学家之一——加利福尼亚大学洛杉矶分校的菲尔兹奖章获得者Terence Tao 。这个问题引起了陶的注意，当时他和其他数学家进行了大规模的合作，以减少张证明中的 7000 万限制。

当得知一个鲜为人知的 26 岁年轻人证明了同样的事情时，陶对自己的新结果感到非常自豪。“老实说，按照他的写作方式，他的结果实际上比我更清楚，”陶说。“事实证明，他的陈述稍强一些。” Tao 慷慨地避免公布自己的工作，以免掩盖这样一位年轻数学家的成就，因为他知道如果他和 Maynard 写了一篇联合论文，许多数学家会认为 Tao 完成了大部分创造性工作。

很容易想象另一个时间表，张在梅纳德之后六个月而不是之前六个月证明了他的结果（在这种情况下，陶的探索可能会被推迟或简单地阻止）。所有的荣耀都将归于梅纳德而不是张。但梅纳德并不嫉妒事情的结果。“当张证明了他的结果时，我非常兴奋，”他说。“我得到的主要快乐来自于解决问题。所以我真的没有想太多，‘哦，要是我做的有点不同就好了。’”

03

顶级游戏

梅纳德经常选择不戴眼镜从家走到办公室。柔和的模糊帮助他专注于数学，但有时会导致他从格兰特身边走过而没有认出她。“有一次，他以为他看到了我，并且为看到我而感到非常非常自豪，并且有点跑向这个看起来不像我的人，”牛津大学的医生格兰特说.

梅纳德在这方面和其他一些方面符合心不在焉的教授的刻板印象。例如，他几乎总是穿着相同款式的衣服，开领白衬衫和牛仔裤。“我显然不是最时尚的人，”他在一封电子邮件中写道。（有一次，作为一个恶作剧，参加他一次演讲的所有数学家都穿着梅纳德制服。）

但他也掩盖了许多关于内向数学家的陈词滥调。同事称他热情、有趣、外向。大流行前，他每天午饭后都会带着自己的咖啡豆上班，并为其他数论家煮咖啡。几年前，当他在伯克利的数学科学研究所度过一个学期时，他与另外两位年轻数学家合住的房子就是“派对屋”，Heath-Brown 说（尽管梅纳德将其定义为“由数学家标准”）。

格兰维尔说，由于梅纳德，许多新一代的数论家变得更加社交。“他是团队的中心。”

在梅纳德证明了他的关于素数之间的小间隙的定理之后，数论家急忙将他的见解应用到其他问题上。但迄今为止，这样做的最大成功来自梅纳德本人，他也想出了如何解决巨大的质数差距，改进了此前超过 75 年没有取得重大进展的估计。梅纳德将他的方法应用于这个新场景“是我在数论中见过的最聪明的技巧之一，”格兰维尔说。

“我想说，任何人都会很高兴在他们的职业生涯中证明了这种类型的两个定理，”Soundararajan 谈到梅纳德关于大小质数差距的结果时说。“他刚读完研究生就这么做了，这一点非常了不起。”

在小差距故事的令人不安的回声中，陶再次在大致相同的时间得出了大致相同的结果（尽管这次他与格林和其他两位合著者合作）。从那时起，梅纳德和陶想出类似结果的倾向成为数论界的一个笑话。一年或两年后，当陶解决另一个长期存在的数论问题时，“我记得当时非常偏执，”他说，“只是问安德鲁 [格兰维尔]，'我真的希望詹姆斯这次没有再挖我。 ’”

从那时起，梅纳德向数论界提供了充分的证据，证明他不仅仅是世界上最著名的数学家之一的克隆。例如，在 2019 年，他和 Koukoulopoulos解决了一个有近80 年历史的问题，称为 Duffin-Schaeffer 猜想，该猜想询问哪些无限的分母集合产生的分数可以很好地逼近无理数。“长期以来，它一直是某个领域的圣杯……近似值，”格兰维尔说。

几年前，梅纳德解决了可能是关于素数的最终易于陈述但难以证明的问题，证明有无限多的素数没有任何 7（或您可能选择的任何其他数字） . 如果您正在查看小的数字，虽然没有任何 7 的数字非常多，但当您开始查看 1,000 位数字时，它们几乎是极其罕见的，因此要证明这个稀疏数字集包含无限多个素数并不是一件简单的事情。“这是人们长期以来一直想知道的事情，没有人能接近证明，”希思-布朗说。

这个问题在除 10 之外的其他基地中是有意义的，梅纳德首先提出了一个非常大基地的证明。基数越大，证明这种定理就越容易，因为如果你在一个基数中，比如有一百万个不同的数字，而不是只有 0 到 9，那么像“没有 7s”这样的限制会更小影响。梅纳德对大碱基的证明“非常优雅”，格兰维尔说。

但梅纳德开始痴迷于以普通的 10 为底证明他的定理。“从数学的角度来看，10 为底有点武断，但是……它是每个人在日常生活中通常谈论的基础，”他说。

从基数 1,000,000 开始，他不断减少基数，先是 5,000，然后是 1,000，然后是 100。“这几乎变成了我自己的游戏，我能想出一个多么复杂的论点，”他说。“几乎就像这些博彩机或这些在线游戏一样，每次都会给你一点内啡肽。”

他被困在 12 号垒很长一段时间——足以让他担心最终的目标会落空。但最终他到达了 10 号垒。“我很高兴自己拖过终点线，然后宣布胜利，”他说。

梅纳德必须发明各种新想法才能达到 10 进制。“这显示了他作为数学家的绝对、非凡、强大的实力，”格兰维尔说。

这一贡献和其他贡献在数论家中引起了轰动和期待。“我不确定目前解析数论中是否还有其他人会产生更多的兴奋，”Heath-Brown 说。

“人们想知道，'他接下来要做什么？'”他说。“一切似乎都有可能。”