圆的面积S与半径的平方R² 成正比，是从数学上的严格证明，还是一种数学直觉？

引言：起初，我以为题主不太懂数学，或对正比，无理数、Π，极限理解有误，才提出这个问题。思考良久，绞尽脑汁的构思如何回答才能“证明圆的面积公式是从数学上严格证明”。不过，这样一个看似简单的隐藏在小学课本中的知识点回答起来却并不容易，我觉得我驾驭不了。开始自我否定，决定放弃，就把写了几个小时的稿子删了（我是在word下写的），再熟练的清空回收站。

为了提高水平，今天早上特地去青云榜学习，看到大神们专业的解答，由衷的佩服。佩服完了之后，后劲上来了，忍不住又点开悟空问答，告诉自己不能放弃啊。便又开始查找资料，重新构思。当搜到一篇文章之后，我怀疑自己掉坑了。这个问题的重点是证明“正比”，而不是证明“圆的面积公式”，侧重点不同。题主想知道的答案可能更深，更专业。本着脸皮厚不放弃的精神，我只是把我个人的理解（或许已经跑题），以及查到的一些资料分享出来，不敢说回答，权当抛砖引玉，期待牛人们的精彩解答。

一、为什么会说这是一种数学直觉呢？

如上图所示，在小学数学教材中，将圆分解成无数等分的小扇形，当每一分足够小时，每个小扇形可以看成一个三角形，在将这些三角形拼成近似的长方形，长方形的面积等于圆的面积。这是一种朴素的“化圆为方”的思想，把未知问题转换成已知问题去求解。其中的近似处理也会给大家产生一种“圆的面积公式是近似公式”的嫌疑。

上述方法只是为了帮助小学生们理解公式，并不是严格的推导，事实上，圆的面积公式经过了一系列的演化，从4000多年前，古巴比伦、古埃及的近似公式，到古希腊亚里士多德提出并严格证明，以及我国古代数学家刘徽提出的割圆术，再到近现代利用极限，三角函数，微积分证明验证，经过了一系列的过程。接下来我们将回顾圆的面积产生过程，重点研究亚里士多德对圆的面积公式贡献。

二．圆的面积近似公式

1.公元前2000年前的古巴比伦人为了准确丈量各种形状土地的面积，以收取赋税，出现了对圆的面积计算的近似方法。根据泥版YBC7302上的记载，圆面积和周长之间的关系式为：

公式中C为圆的周长（下同）。

对比今天的公式，我们发现其计算出的面积比实际大约4.7%。四千多年前有公式推导已属不易，不光需要缜密的思维，还依赖精确的测量技术，所以这么大的误差也可以理解。

2.古埃及的数学知识记录在出土的两卷纸草书书上，纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间。纸草书给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。用公式可表示为：

公式中d为圆的直径（下同）。

根据此公式计算出的圆周率约为3.1605，可见已经非常精确了。古埃及人能建造出那么宏大的金字塔，与其数学知识及测量技术密不可分。

上面两种情况都将圆的面积表示为已知正方形面积的一部分，即“化圆为方”。

三. 圆的面积精确公式

1.阿基米德与圆

公元前约225年，阿基米德发表了一篇论文《圆的测定》，其中第一个命题就对圆的面积做了透彻的分析和严格的证明。《圆的测定》开篇断言：任意圆的面积，与两条直角边长分别为该圆半径和周长的直角三角形的面积相等。

图1，阿基米德关于圆面积和定义三角形面积对应关系

*下文提到的定义三角形即为上图中的直角三角形。

2.阿基米德所处时代背景：

• 古希腊人并没有代数学，也没有实数的感念，也不存在π，所以圆的面积只能用与其面积相同的三角形的面积来表示。
  

• 欧几里得的《几何原本》已经为几何证明做好了铺垫。《几何原本》开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。
  

• 阿基米德的算法是在古希腊通用的笨拙的系统中完成的，其中分数源自古埃及奇怪的表示和处理方法：

• 当时的几何家已知，不论圆的大小如何，圆的周长与直径的比为常数（显然这个常数就是后来的π）。
  

• 《几何原本》已经证明了圆的面积正比于半径的平方。即存在常数k，使得对任意圆都有：

但他们都没有发现k与π的（相等）关系。

3、阿基米德证明用到的断言（容易证明或不证自明，部分出自《几何原本》，部分为阿基米德的杰出创新）

断言一：任意圆内接正多边形的面积小于圆的面积。

设 δn=S圆- Sn>0

Sn为圆内接正n边形的面积，δn为圆与其内接正多边形面积之差，即图中阴影部分的面积。

断言二：δ2n<δn/2

如上图，以圆内接正四边形为例，蓝色部分的面积小于阴影部分的面积，推广到整个图形，对于所有的圆内接正多边形都有δ2n<δn/2。

断言三：任意圆内接正多边形的面积小于前面定义的三角形面积，即Sn<S△。

如上图，证明基于以下两个事实。

OA<OB， P(A)Q<弧PBQ

断言四：给定一个已知圆，做圆的内接正多边形，正多边形的边数越多，正多变形的面积更接近圆的面积。如正八边形的面积比正方形更接近圆的面积，正十六边形又比正八边形更接近圆的面积，这一过程可以无限继续，则正多边形的面积无限逼近圆的面积。(跟我国魏晋期间刘徽的割圆术类似，都用到了穷竭法)

显然，圆内接正多边形的面积永远小于圆的面积。但是，如果预先给定任一面积，不论其多小，我们都能做出一个内接正多边形，而使圆面积与其内接正多边形的面积之差小于这一预先给定的面积。（是不是有熟悉的感觉，这恰是高等数学中极限的定义，这也是阿基米德证明圆的面积的关键。）

断言五：任意圆外切正多边形的面积大于圆的面积。

设 δN=SN-S圆>0

SN为圆外切正N边形的面积，δN为圆外切正N边形面积与圆面积之差，即图中阴影部分的面积。

参考断言二易知 δ2N<δN/2

断言六：定义三角形的面积小于圆外切正N边形的面积。（参考断言三）

断言七：圆外切正多边形的面积永远大于圆的面积。但是，如果预先给定任一面积，不论其多小，我们都能做出一个外切正多边形，而使圆面积与其外切正多边形的面积之差小于这一预先给定的面积。

• 阿基米德采用的逻辑方法——双重归谬法（反证法）
  

在阿基米德之前，人们往往采用直接证明的方法，而阿基米德则采用间接方法。

比如我们要证明A=B，当直接证明比较困难的时候，可以采用排除法。A与B的关系只有3种情况，A>B，A<B，A=B。如果能排除前两种情况，自然得到A=B。

阿基米德采的方法：排除S圆>S△和S圆<S△两种情况，得S圆=S△。

4.阿基米德的证明

求证：任意圆的面积，与两条直角边长分别为该圆半径和周长的直角三角形的面积相等，即S圆=S△。

• 第一步，证圆的面积不大于定义三角形。
  

证明：

假设 S圆>S△

令 ε'=S圆-S△>0 (预先给定的面积)

根据断言四

当取充分大的n，使得 δn<ε （δn见断言一，根据断言四）

有 Sn<S△<S圆 （断言三）

这表明 ε=S圆-S△<S圆-Sn=δn （如上图）

即 ε<δn

与n的选取矛盾，则假设S圆>S△不成立。

• 第二步，证定义三角形的面积不大于圆。
  

证明：

假设 S△>S圆

令 ε’=S△-S圆>0 (预先给定的面积)

根据断言七

当取充分大的N，使得 δN<ε' （δN见断言五，根据断言七）

有 S圆 <S△ < SN （断言六）

这表明 ε'=S△-S圆<SN-S圆=δN （如上图）

即 ε'<δN

与N的选取矛盾，则假设S△>S圆不成立。

综上第一步第二步证明，可知 S△=S圆。

用阿基米德的语言描述为：“由于圆的面积既不大于、也不小于（三角形面积），因此，圆的面积等于三角形面积。”

4.思考

• 从阿基米德的证明过程可以看出其严谨的思维，奇特的方法。在他的时代，这种反证法是一种绕圈子式的论证，在他之前，圆的面积是包括欧几里得都没能解决的问题，可见其困难和复杂的程度。

• 就像建一座房子，阿基米德每一块石头都需要自己亲手凿，用最原始的方式建了一栋房子，而这房子屹立千年，现在依然完好。
• 遗憾的是，阿基米德的证明最终只是用三角形的面积表示，并没有发现π的存在。但阿基米德随后在《圆的测定》第三个命题中，推导出了π的范围约为3.14。（知道存在这样一个常数，没有把周长中的常数与面积中的常数联系起来。）
• 圆的面积证明只是阿基米德数学遗产的一部分，其其他著作中论述的问题已经属于今天的微积分领域了。
• 由于所处的时代限制，没有简明的代数符号，阿基米德只能依靠陈述，犹如戴着镣铐跳舞。
• 阿基米德是被罗马士兵杀死的。
  

四、其他圆的面积公式的证明

1.刘徽的割圆术

汉《九章算术》已经提出了圆的面积公式：“术曰：半周半径相乘得积步。”设圆的周长是L，半径为r，那么圆的面积为：

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（周长：直径=3:1）的数值来进行有关圆的计算。即将π用3代替，显然误差很大。

我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，创造了著名的割圆术，使圆周率精确度大大提升。“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

最终刘徽求得了圆周率的近似值3.1416，南北朝时期的祖冲之又将圆周率精确到小数点后第七位，这一结果一直领跑世界一千一百年。

中国古代的数学虽然也有闪光点，割圆术中明显含有极限过程及无穷小的思想，但不像古希腊建立起了严密的演绎体系，这些缺乏严格的推理证明。这也与古代中国重应用而轻理论有关，就拿著名的《九章算术》而言，其中收集了246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。更多的是讲方法，为了实践服务的。

2.定积分求圆的面积

在平面直角坐标系中，圆的面积方程为：

用定积分即可计算出其面积：

3.其他求圆面积的方法

也可在直角坐标系下用参数方程积分，二重积分等方法求圆的面积，这里不一一列举。

但是个人认为这些方法称之为计算或验证或许更准确一些，毕竟有了微积分这个大杀器，圆的面积不再是困扰人们数千年的数学难题了。但是在几千年来对圆的关注和求解中诞生的灵感火花也照亮了微积分出现的道路。

五、圆的面积S与半径的平方R² 成正比的证明

前面引言提到，我上面所有的论述都跑偏了。我后来发现，其实这个式子才是题主真正想问的，但还是坚持做了关于圆的面积公式的由来，只是为了回顾先贤们所作出的努力，瞻仰他们超凡的思想境界。我们今天科技取得的任何一个小小的成果都是来之不易，往后看容易，往前看难，而先贤们就是那些目光深邃指引这人类走向未来的火把。

圆的面积S与半径的平方R² 成正比，在欧几里得的《几何原本》已经给出了证明。我在找资料的过程中也搜到了知乎大神“普通的穗乃果普通地摇”解答，我也不在赘述，毕竟自己能力有限，前面这些已经花了我三天时间了。这里就借花献佛，一起学习一下吧（有兴趣的同学可以直接去知乎，提问的标题都一样，所以我怀疑...）。

以下知乎大神“普通的穗乃果普通地摇”的解答：

是严格证明，而且已经有两千多年的历史了。
（1）
首先我们要用这个引理：相似多边形的面积之比等于相似比的平方。
引理的证明，只要对相似三角形证明，然后把相似多边形切成对应的相似三角形即可。
然后我们考虑圆。和大家想象中一样，我们用圆内接正多边形的面积来估计圆的面积。但是和笼统地说“边数变成无穷，正多边形就变成了圆”不同，我们严格地考虑这么做的误差。记圆面积为S，它的内接正n边形面积Sn（显然不依赖于它的位置，而且小于圆的面积）。那么当内接正多边形边数变成2n时，我们有：

泻药。

积分算出四分之一园面积

∫（r＾2-x＾2）1/2dx=1/4πr＾2

圆的面积公式是用几何方法推导获得的。先将圆的面积平均分成面积相等的100个顶角为3.6度的等腰黄金三角形，再将这100个黄金三角形颠倒拼成一个长方形(见下图)，长方形的宽，就是圆的半径R(黄金三角形的腰长)，长为圆周长的二分之一，即长为πR。因此，长方形面积S=πR•R=πR^2，长方形面积是组成圆面积的100个黄金三角形面积的和，即知圆面积就是S=πR^2。过去人们对圆的周长由100条等长直线构成不了解，也不知道3.6度圆心角所对的弧是直线，只有明白以上科学事实，才不会怀疑黄金三角形底边直线组成了圆周。

整个平面几何就几个公理（不需要证明），比如平行线永远不会相交，平行线同位角相等之类，其他都是推导严格证明的，堪称奇迹。

凡是作为公式的定理都是经过数学证明的，而公理则可能是约定成俗的推理。

数学问题跟语文、物理等其他问题一样，是人类对社会认识的反映。

圆面积的计算古往今来的人们已经解决了上千遍，不需要一一重复。

我只说一点，数学也是人类对事物认识的描述。

比如：一片树叶。

文学有很多描述的句子，像“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”。

而物理学的描述就是：叶子的重量、受到的引力等。

生物学用细胞、光合作用等来表达。

数学呢，是用点、线、面、多边形或三角形来说明。

回到圆面积上。人类经过几代人的努力，逐渐统一了对圆面积的认识：与半径、圆周率有关。

怎么用数学语言表达呢？在经过了无数的争论和推理证明以后才有了今天的结果。圆面积等于半径的平方乘以圆周率。

以后还会不会是这样呢，很难说。

科学就是不断探索的过程，也是人类认识深化的过程。

直觉那叫意淫，不叫数学。当然，直觉很重要，尤其是天才，直觉很重要。你考直觉提出个猜想，然后用数学去证明他，你就成功了

圆的周长=2πR，这是根据π的定义得到的。然后，显然圆的周长对半径积分就是圆的面积，所以圆的面积是经过严格证明的。

圆面积半径与周长随增大呈倍数不同增长，半径增大呈奇数增长，使各半径值呈规律倍数。半径扭曲旋状运动所产生面积值在动量旋涡面积却不一样，就存在动量半径与固定值的不同，固定点面辐射半径与动量涡旋半径面积辐射，我觉得自然物理量同规律物理量应有变化。随机宇宙运动难用模式规律恒定。但应也有推演随机运行方式计算。

直观上可由三角形的性质推出，由相似三角形可推出圆周长同半径成正比，再把半径类比于三角形高，从而推出圆面积与半径平方成正比