算法数学基础：重要的平稳随机过程及其基本概念

与马尔可夫链不同，有很多的随机过程不仅与当前的状态有关系，而且与它过去的状态有关系。在这类过程中有一类比较重要的过程，他们的统计特性不随时间的推移而推移，称为平稳随机过程。例如，船舶的颠簸过程、照明网的电压波动过程、通信系统中的信号和噪声传输过程、飞机平稳飞行的过程。

平稳随机过程有着非常重要的数字特征，它的均值函数为一个常数，并且自相关函数为事件差的单值函数不随时间的改变而改变。就是说随机过程中不同时间点之间的状态变化只和这些状态时间的间隔有关，与什么时候开始无关。就像去迪士尼，我今天去和明天去没什么差异，每次去的感受都差不多（均值函数相同），但是去玩一天或者两天是有挺大差异的（自相关函数是间隔的函数）。

宽平稳过程或广义平稳过程就是满足上两个条件的二阶矩过程，因为加了二阶矩的前提所以相比定义应该是更窄了但是它叫宽平稳过程。（难道二阶矩这个条件是放宽了约束嘛？或者说满足定义的过程少，加了约束以后放宽了条件。）

还有一个重要的结论大家记住就可以了，就是关于各态经历性的。如果平稳随机过程均值函数、自相关函数都是各态遍历性的，那么就可以用一次样本来拟合均值函数和自相关函数。各态经历性就是在一个区间内的均值和自相关函数可以近似整体的均值函数和自相关函数（用局部特征可以拟合整体特征，因为随机过程的实验并不是能够想做就做的，要求比较高，所以才想到用一个足够长的一次实验来近似结果，而各态历经性则给出了近似的条件）。各态历经性条件是比较宽的，工程中碰到的大多数平稳过程都满足，但是要去验证它却十分困难，可直接假设其具备，并从假定出发对各种资料进行分析，如果得出了不符合的结论再另做处理。