如何理解爱因斯坦广义相对论的方程

如何理解爱因斯坦广义相对论的方程

从数学上讲，这是一个怪物，但我们可以用简单的语言理解它。

爱因斯坦场方程看起来非常简单，但它们的编码蕴含了巨大的复杂性。

• 看起来像一个紧凑的方程实际上是16个复杂的方程，将时空的曲率与宇宙中的物质和能量联系起来。
• 它展示了重力与所有其他力量的根本不同，然而在许多方面，它是我们唯一可以绕开头的。

虽然爱因斯坦是科学界的传奇人物，原因有很多，最重要的一点是——光电效应，以及光速对每个人都是常数的概念，但他最持久的发现也是最不为人所知的：他的引力理论，广义相对论。在爱因斯坦之前，我们用牛顿的术语来思考引力：宇宙中所有具有质量的东西都会瞬间吸引其他质量，这取决于质量的价值、引力常数以及它们之间距离的平方。但爱因斯坦的概念完全不同，基于空间和时间统一成结构，时空，时空曲率不仅告诉重要，而且能量如何在它里面移动。

这个基本思想——物质和能量告诉时空如何弯曲，而弯曲的时空反过来又告诉物质和能量如何移动——代表了对宇宙的革命性新看法。爱因斯坦于1915年提出，四年后在日全食期间进行了验证——当来自太阳后面光源的星光弯曲与爱因斯坦的预测一致，而不是牛顿的预测——广义相对论已经通过了我们曾经做过的每一次观测和实验测试。然而，尽管它在过去100多年中取得了成功，但几乎没有人理解支配广义相对论的一个方程究竟是关于什么的。在这里，用简单的英语来说，才是它的真正含义。

爱因斯坦的原始方程将时空曲率与系统应力能量（顶部）联系起来。宇宙常数可以添加（中间），或者等价物，它可以被表述为暗能量（底部），另一种形式的能量密度导致压力能量紧张。

这个方程看起来很简单，因为只有几个符号存在。但它是相当复杂的。

• 第一个，Gμν，被称为爱因斯坦紧张器，代表空间的曲率。
• 第二个，，是宇宙常数：能量量，正或负，这是空间本身结构固有的。
• 第三个学期， gμν，被称为指标，它以数学方式编码时空内每个点的属性。
• 第四个任期，8+G/c4，只是常数的产物，被称为爱因斯坦的引力常数，牛顿的引力常数（G）的对应物，我们大多数人更熟悉。
• 第五学期， Tμν，被称为应力能量紧张器，它描述了本地（在附近）能量，动量和压力在那个时空。

这五个术语，都通过我们所说的爱因斯坦场方程相互关联，足以将时空的几何形状与其中的所有物质和能量联系起来：广义相对论的标志。

爱因斯坦场方程的壁画，描绘了光在日食太阳周围弯曲，这些观测结果早在1919年就首次验证了广义相对论。爱因斯坦紧张器显示分解，在左边，成里奇紧张和里奇鳞片。

你可能想知道所有这些子脚本是什么 - 那些奇怪的"+"组合的希腊字母，你看到在爱因斯坦张力的底部，指标，和应力能量紧张。大多数情况下，当我们写下一个方程时，我们写下一个缩放方程，即一个方程，它只代表一个平等，即左侧所有东西的总和等于右边的一切。但我们也可以写下方程系统，用编码这些关系的简单公式来表示它们。

E = mc2 是一个缩放方程，因为能量 （E）、质量 （m） 和光速 （c） 都只有单一的、唯一的值。但牛顿的F =ma不是一个方程，而是三个独立的方程：Fx• max对于"x"方向，Fy• may为 "y" 方向， 和 Fz• maz用于"z"方向。在广义相对论中，我们有四个维度（三个空间和一个时间）以及两个子脚本，物理学家称之为指数，这意味着没有一个等式，甚至没有三个或四个等式。相反，我们有四个维度（t、x、y、z）影响其他四个维度（t、x、y、z），总共影响 4 个× 4 个或 16 个方程。

而不是一个空的，空白的，三维网格，把一个质量向下导致什么本来是"直"线，而不是成为弯曲的特定数量。在广义相对论中，空间和时间是连续的，所有形式的能量都有助于时空的曲率。

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为什么我们需要这么多方程来描述引力， 而牛顿只需要一个？

因为几何学是一个复杂的野兽，因为我们在四个维度工作，因为发生在一个维度，甚至在一个位置，可以向外传播，并影响宇宙中的每一个位置，如果你有足够的时间通过。我们的宇宙具有三个空间维度和一个时间维度，这意味着我们宇宙的几何形状可以被数学地视为四维多维。

在里曼尼几何中，多重不要求是直的和刚性的，但可以任意弯曲，你可以把曲率分成两部分：扭曲物体体积的部分和扭曲物体形状的部分。"Ricci"部分是音量扭曲，在爱因斯坦张子中起着一定的作用，因为爱因斯坦张子由利希张力和里契鳞片组成，其中有一些常数和公制。"Weyl"部分是形状扭曲，而且，与直觉相反，在爱因斯坦场方程中不起任何作用。

因此，爱因斯坦字段方程不仅仅是一个方程，而是一套16个不同的方程：每个方程为"4×4"组合。随着宇宙的一个组件或方面的变化，如空间曲率在任何时候或任何方向，所有其他组件也可能改变的反应。这个框架在许多方面将微分方程的概念提升到一个新的水平。

差分方程是任何方程，您可以在其中做以下工作：

• 您可以提供系统的初始条件，例如存在的内容、位置、时间以及移动方式，
• 然后，您可以将这些条件插入您的微分方程，
• 等式会告诉你这些事情是如何及时进化的， 前进到下一个瞬间，
• 在那里你可以把这些信息重新插入微分方程，然后它会告诉你接下来会发生什么，在下一个瞬间。

这是一个非常强大的框架，也是牛顿需要发明微积分，以便运动和引力等成为可以理解的科学领域的原因。

当你在时空中放下一个点质量时，你因此将时空结构弯曲。爱因斯坦场方程允许您将时空曲率与物质和能量联系起来，原则上，对于您选择的任何分布。

只有当我们开始处理广义相对论时，它不仅仅是一个方程，甚至一系列独立的方程，它们都在自己的维度中传播和进化。相反，由于在一个方向或维度中发生的情况会影响所有其他方向，因此我们有 16 个耦合的相互依存方程，当物体在时空移动和加速时，应力能量会发生变化，空间曲率也会发生变化。

然而，这些"16方程"并不完全独特！首先，爱因斯坦的张力是对称的，这意味着每个成分之间都有一种关系，即将一个方向与另一个方向结合在一起。特别是，如果您的时间和空间的四个坐标是 （t、 x、y、z），则：

• "tx"组件将等同于"xt"组件，
• "ty"组件将等同于"yt"组件，
• "tz"组件将等同于"zt"组件，
• "yx"组件将等同于"xy"组件，
• "zx"组件将等同于"xz"组件，
• "zy"组件将等同于"yz"组件。

突然之间，没有16个唯一的方程，只有10个。

此外，还有四种关系将这些不同维度的曲率联系在一起：Bianchi 身份。在剩下的10个唯一方程中，只有6个是独立的，因为这4个关系使独立变量的总数进一步下降。这部分的力量使我们能够自由地选择任何我们喜欢的坐标系统，这实际上是相对论的力量：每个观察者，无论他们的位置或运动，都看到相同的物理定律，如广义相对论的相同规则。

引力透镜和星光因质量而弯曲的例证。空间的曲率可能非常严重，光可以沿着多条路径从一个点到另一个点。

这组方程的其他属性非常重要。特别是，如果你考虑到压力能量张力的背离，你总是得到零，不仅仅是整体，而是每个单独的组件。这意味着你有四个对称性：时间维度或任何空间维度没有差异，每次你在物理学上有对称性时，你也有一个保存的数量。

在广义相对论中，这些保存的数量转化为能量（时间维度），以及 x、y 和 z 方向（空间维度）中的动量。就像那样，至少在附近的本地，能量和动量都保存为个别系统。尽管不可能在广义相对论中定义"全球能源"之类的整体，但对于广义相对论内的任何一个局部系统，能源和动量始终保持保守：这是理论的要求。

当质量相对于彼此通过时空移动时，它们会引起引力波的发射：波纹穿过空间本身的结构。这些波纹在公制滕索中以数学方式编码。

广义相对论的另一个不同于大多数其他物理理论的特性是广义相对论作为一种理论是非线性的。如果你有一个解决方案，你的理论，如"什么时空是什么样的，当我把一个单一的，点质量下来，"你会想作出这样的声明，"如果我把两个点质量下来，那么我可以结合解决质量#1和质量#2，并得到另一个解决方案：两个质量相结合的解决方案。

这是事实，但前提是你有一个线性理论。牛顿重力是一个线性理论：引力场是每个物体相加并叠加在一起的引力场。Maxwell 的电磁学相似：两个电荷、两个电流或电流和电流的电磁场都可以单独计算并加在一起，以提供净电磁场。这在量子力学中甚至都是如此，因为施吕丁格方程也是线性的（在波功能中）。

但爱因斯坦的方程是非线性的，这意味着你不能这样做。如果你知道一个点质量的时空曲率，然后你放下第二点质量，问，"时空现在是如何弯曲的？事实上，即使在广义相对论首次提出100多年后的今天，相对论中仍然只有大约20个确切的解决方案，其中两个点质量的时空仍然不是其中之一。

2017年，伊森·西格尔在美国天文学会的超级墙拍摄的照片，以及第一个弗里德曼方程在右边——这偶尔被称为宇宙中最重要的方程，也是广义相对论中罕见的精确解决方案之一。

最初，爱因斯坦在方程中只用第一个和最后一个术语来形成广义相对论，即一边是爱因斯坦张力器，另一边是应力能量张量（乘以爱因斯坦引力常数）。他只加入了宇宙常数，至少根据传说，因为他无法承受宇宙被迫扩张或收缩的后果。

然而，宇宙常数本身本来是一个革命性的补充，即使大自然原来没有一个非零的（以今天的暗能量的形式），原因很简单，但引人入胜。从数学上讲，宇宙常数是你能添加到广义相对论中的唯一"额外"事物，而不会从根本上改变物质和能量之间的关系的性质以及时空的曲率。

然而，广义相对论的核心不是宇宙常数，它只是你可以加入的一种特定类型的"能量"，而是另外两个更笼统的术语。爱因斯坦紧张， Gμν，告诉我们空间的曲率是怎样的，它与压力能量张量，T有关μν，它告诉我们宇宙中的物质和能量是如何分布的。

量子引力试图将爱因斯坦的广义相对论与量子力学相结合。量子对经典重力的校正被形象化为循环图，如白色图所示。

在我们的宇宙中，我们几乎总是做出近似。如果我们忽略16个爱因斯坦方程中的15个，而只是保留了"能量"成分，你就会恢复它取代的理论：牛顿的引力定律。相反，如果你让宇宙在所有空间维度上对称，并且不允许它旋转，你就会得到一个同位素和同质的宇宙，一个由弗里德曼方程（因此需要扩展或收缩）控制的宇宙。在最大的宇宙尺度上，这似乎描述了我们生活的宇宙。

但是，你也可以把任何物质和能量的分布，以及任何你喜欢的字段和粒子的集合，如果你能把它写下来，爱因斯坦的方程将涉及你的时空几何形状如何宇宙本身弯曲到压力能量张量，这是能量的分布， 势头，和压力。

如果真的有一个"万物理论"来描述重力和量子宇宙，那么这些概念之间的根本区别，包括爱因斯坦理论的根本非线性，将需要得到解决。就目前情况而言，鉴于其性质大相径庭，重力与其他量子力的统一仍然是所有理论物理学中最雄心勃勃的梦想之一。