给我一个支点，我可以撬起整个地球

人们对科学巨匠的评价和想法很值得深思。一般不太了解的人会盲目崇拜，似乎巨匠们个个身怀绝技，都干出了惊天动地的事。而知点皮毛的人，又觉得非常失望，原来科学伟人不过就做了这么一点事。

大家好，伟岗今天继续给大家谈谈阿基米德和其他古希腊的数学家。开始前还是感谢各位朋友同学的鼓励打赏！伟岗能够写到今天也不容易。

阿基米德被大多数数学史专家列为数学史上前五位的最伟大数学家（可能除了高斯，牛顿，欧拉和欧几里得）。然而看贡献，似乎只有圆面积公式值得大书特书。这好像有点叫人失望。

所以历史有点诡秘。真正的大师其实留在历史上的印记并不多。特别是数学家，仔细分析起来，顶级大师也是在前人的基础上做出了一点或几点突破，没有人能够全面爆发。

这也说明了数学进步的艰难。在众多天才中脱颖而出，你不但需要脑力，有时候还要拼体力。在数学史上留个名已经是顶级大师，如果有一点突破那就是大师中的大师了。

我们还是继续接着上一篇聊聊阿基米德如何证明圆面积公式

阿基米德可以说是历史上第一个把圆面积跟直径平方的比同圆周率结合起来的。也就是说，阿基米德历史上第一个发现并严格证明了圆的面积等于π乘以半径的平方，这也是我们熟知的圆面积公式。

你不要想当然的认为这个证明很简单，你仔细琢磨一下还是有很多障碍的。首先面积的求法都是底乘以高，也就是说一块几何图形必须把它化成一小块一小块的长方形，才好求它的面积。但是圆弧是弯曲的，怎么样才能把它化成四个边都是直线的长方形呢？直接的方法肯定没有。所以说两千多年前的阿基米德受到后来几乎所有数学家的赞誉是有道理的。阿基米德圆面积的求法还是有很高的技巧性，难度甚至超过了我们现在的高考题！这个证明过程首先要用穷竭法铺垫。

阿基米德圆面积公式证明有三个关键，第一个关键是圆的内切正多边形的周长小于圆周长（这是显然，因为两点间的距离以直线为最短）。

第二个关键就是用穷竭法可以证明，对于任何已知圆，我们都可以找到一列正多边形（内接正多边形或外切正多边形），使其面积可以任意接近圆的面积。这个任意接近就是穷竭法的结晶，也就是说内接正多边形或外切正多边形通过不断的增加边数，可以任意接近圆的面积。

注意这是一个严格证明的过程，完全符合数学逻辑。要概括起来，不就是微积分的萌芽？当然穷竭法有一个问题，那就是你必须事先知道你要接近的目标（上面的例子就是圆的面积）。如果你不知道要用穷竭法逼近哪个值，穷竭法就无法发挥作用。而找的这个目标就非常需要技巧性。但是微积分可以直接算出这个目标，这就是微积分的威力所在。

圆面积公式证明还有一个关键就是圆外切多边形的周长大于圆的周长（这一点也可以根据两点的距离以直线为最短来推论出来，需要先证明圆外切三角形的周长大于圆周长）。有了上面三个关键的铺垫，阿基米德就可以开始证明圆面积公式，他用的是“双重归谬法”。

实际证明上，阿基米德做了一个底边等于圆的周长，高度等于圆的半径的三角形，然后严格证明了圆的面积既不能大于这个三角形的面积，又不能小于这个三角形的面积，所以只能等于这个三角形的面积。这样圆面积的公式就出来了：半径乘以周长的一半。这个公式产生于2000多年前，非常的了不起。而且还是得到严格证明下的公式。可以说是人类第一次征服曲线围成几何图形的面积。

从某种意思上讲，阿基米德的证明也是人类第一次用数学解决变化中量的求法。因为圆是弯曲的，而算面积又必须是直边，把弯曲的圆转化为直边的几何形状，这本质是一个运动变化过程。当然阿基米德还没有那么强的洞察力，直接思考到了微积分。因为只有微积分才是数学上算出运动物体量化值的终极解决方式。不过有了穷竭法，而且还把它用在了求圆面积的公式上面，人类的数学思维就大大的进了一步。数学方法不再是静止的计算一个值，数学开始走进由穷竭法逼近某一个值，然后用双重归谬法求得一个精确的值，这样一个变化中的计算过程。

同时，阿基米德的证明还有极限的含义，更有无穷小的思想，一个现代数学的萌芽就此产生了。所以说，数学史研究人员都认为，除了《几何原本》，阿基米德也使古希腊数学到达了一个新的高度，单单凭阿基米德对圆面积公式的证明就值得这个美誉。

阿基米德圆面积公式的证明是记载于他的一个小册子：《圆的度量》里。我们前面讲过这本书一直流传到了现在。这个非常不容易。

我们前面还讲过，阿基米德还有其它很多文献流传到了今天，比如：：《论球与圆柱》，《抛物线图形求求积法》，《论螺线》，《平面图形的平衡或其重心》等。

从这些书名看，阿基米德主攻的是曲线和曲面的性质。他自己最自豪的倒不是圆面积的公式，而是在《论球与圆柱》中这样一个著名定理：球的体积等于和它外切而等高的圆柱体体积的2/3，球的表面积等于这个圆柱体表面积的2/3。在2000多年前，而且是没有微积分这个工具的条件下，得到这样的定理，非常的不容易。就是在科学发达的今天，又有几个人能推导出这个结论呢？

除了那些著名定理，阿基米德的天才之处还在于对数学思想和方法的深度思考。在《论球与圆柱》这本书中，第二部分有一些关于构造已知立体的问题。阿基米德采用了两种手段，分析和综合。也就是，把想要确定的结果当作已经被证明了，然后反推得出一些结论（分析），或者在一个已经得到证明结果的例子中，重新构造这个过程（综合）。这些也都是他的首创。

他甚至还想到一个特殊的平衡法：在求抛物线弓形面积时，他设想两个对象（抛物线和三角形），把两个对象分成无限多小片和直线，然后放在天平的两端，使它们平衡。这看起来是个奇想，可操作性也不强。但是这种把曲线围成的几何图形切割成无数小片的思想比穷竭法更接近微积分。穷竭法的目的还是向预先设好的目标进发，而平衡法在没有目标的情况下切割计算，这不就是积分的思维方式吗？

当然阿基米德还没有厉害到发明微积分公式，历史的重任还要留给后人。科学的发展不能单单靠一两个天才，要靠连续不断的天才。而要保证人才的不断涌现，社会制度就必须进步。

如果进一步地分析，阿基米德实际上有把数学往代数方面发展的思路。无论是圆面积，还是球体积，从几何上去求都会遇到很多障碍。因为弯曲的物体，虽然直观性上还是很明显，但是把它们量化，就不容易了。至少求球的体积，你很难在图上得出结果。如何摆脱对图的依赖，应该从阿基米德就开始了。

除了数学方面，阿基米德还有其它很多传说，关于通过鉴定国王王冠的含金量，从而发现浮力定理可以说是家喻户晓（所以浮力定律也叫阿基米德原理）。他赤身裸体地冲出浴室，奔向国王，高声大喊，我知道了，我知道了，成了科学发展史上的一个著名趣闻。

还有传说他曾经造了一艘船，一个宇宙模型和巨大的抛石机。甚至有故事说他发明了起重机，把罗马帝国的军舰都吊起来，然后摔下，砸个粉碎。这个太夸张，应该仅仅是传说，不太可能是真的。

他说的：给我一个支点，我可以撬起整个地球，成了科学家最有底气的豪言壮语。这个一方面说明他对杠杆原理有很充分的认识和自信，另一方面也使后人对科学的力量产生无穷的遐想。可以说阿基米德这句话跟知识就是力量有同样的震撼力。

可能除了阿基米德数学方面的贡献（这些有流传下来的文献作证），加上浮力定律，也许再加上杠杆原理，其他都是后人为了神化阿基米德而造出来的故事。人们对古希腊文明充满了崇敬之情，难免会夸大，增加一些情节，这是人之常情。

不过从阿基米德的死来看，他在当时还是很有名气的。

故事是说，罗马军队攻破了阿基米德所在的城池。罗马军官，命令士兵把阿基米德带到他那里来，估计是想利用阿基米德的才能。那时候阿基米德已经75岁了，对一个这么老的老人，罗马司令官还这么重视，从一个侧面也可以看出当时阿基米德的声望。

只可惜当时的罗马士兵都杀红了眼，阿基米德又太沉迷科学研究。据说，罗马士兵找到阿基米德时，他还正在解几何问题，罗马士兵要他跟着走，去见司令官。阿基米德没什么反应，头也不抬，回答道，等我解完这个题，再跟你走。

杀红了眼，有些恼怒的罗马士兵，哪里管得了那些，一刀就把阿基米德杀死了。这使得阿基米德成了数学史上也许是唯一被屠杀致死的数学家，非常可惜。

阿基米德的死意味着一个时代的结束，这一点可能当时谁也没有预见得到，虽然后续还有一些古希腊数学家的涌现，但是高潮基本就没有了。更为叫人悲伤地是，这个时代的结束，就意味着古希腊时代的结束，而古希腊时代的结束将是一个漫漫长夜的开始。人类这一次的长夜竟然有800年之久，这不得不叫人叹息。文明发展的脉络总是被野蛮无情地打断，人类文明生存发展为什么如此地艰难，这个到现在都没有答案。

下一篇我们聊聊阿基米德之后的一些数学家，以及针对罗马时代和中世纪的一些感慨。

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