5次及5次以上方程没有根式解证明的终极秘密

伟岗在读中学的时候比较痴迷数学，其中最着迷的就是那些在中学阶段认为很高深的数学内容。比如微积分和极限，欧几里得的第五公设等等。而5次方程没有根式解是困扰伟岗最长时间的难题。多亏了互联网和信息时代，使得伟岗有机会发现很多关于数学知识的视频，综合世界上很多大师的详细分析，伟岗对5次方程没有根式解有了很深刻的理解。

当然由于伽罗华理论的深奥，伟岗到现在也不能算完全明白了5次及5次以上方程没有根式解证明的数学逻辑，不过基本思路还是有了。数学学习给伟岗带来了很多快乐，也引发了伟岗很多思考，快乐和思考应该是人生比较重要的部分。

也许是因为当时物资匮乏，也没有什么娱乐，所以伟岗才会迷上数学，如果在今天手机横行天下，游戏战胜一切的环境要想迷恋数学，难度就非常大了。这给我们现代人提出了一个非常严肃的问题：如果让现在的小孩爱上学数学？问题在于，如果数学成绩不好，小孩的前途会受到很大的影响。毕竟我们生活的社会有许多考试的门槛要过，其中数学是考试中的重中之重。

其实作为家长心里是非常矛盾的，一方面在自己的生活工作中，似乎数学知识没有什么太大的用处，另一方面又必须跟小孩强调学数学的重要性，如何突破这个心理障碍，还真没有好的办法。唯一能够有效的方法也许是家长多读一点跟现代数学有关的有趣文章，耳濡目染，慢慢培养一些对数学的爱好，这样要求小孩好好学数学应该底气足很多。

这些都是题外话，现在还是回到伽罗华理论上。我们前面解释了什么叫没有根式解以及因为数的原因决定5次及5次以上方程没有根式解。今天来探讨一下伽罗华证明的一些秘密。对于伽罗华定理证明上的内容，目前市面上还没有看到深入探讨的科普书。有一部《阿贝尔的证明》算是内容比较深的著作。这部著作末尾附录还列出了阿贝尔证明5次方程没有根式解的详细内容，算是程度比较深的科普书。不过阿贝尔的证明还是太过复杂，一般人估计不会去读那部书的附录。

伟岗在这里来聊伽罗华理论比较详细的内容，可以说是一个比较大胆的尝试，但愿能做到抛砖引玉，后续有更多科普作家献给大家有深度的科普大作。

我们还先来看看教科书上是怎么描述伽罗华定理的，教科书上是这样写的：域F上不可约多项式f(x)=0有根式解的充分必要条件是f(x)的分裂域对F的伽罗华群G=Gal(E/F)是可解群。

就这么简单的一句话，却是天才数学家上千年努力得来的结果！而自从伽罗华得到证明又过了200多年，即使有大学程度的我们还是理解不了这个证明，可见数学进步之难。

我们遇到的第一个问题就是域F。这个域很多书也就直接把它定义为有理数域（数学上一般用大写的Q表示，这个很奇怪，Q这个字母似乎跟有理数没有关系，不知道什么来历）。这一点也要发挥一点想象力。一般多项式的系数肯定是有理数，所以多项式系数肯定在有理数域Q内。关键在于你怎么区别一个多项式跟其它多项式呢？这时就要有分裂域出现了。

事实上，多项式域F可以包括任意多项式，但是由于多项式方程的根不同（如果根相同，就是同一个多项式了），所以分裂域也不同，这样就可以区别不同多项式了。这样，回答第一个问题域F是什么，我们暂且认为它就是有理数域Q。

不可约多项式，我们前面讲过，就是无法在有理数域里面进行因式分解。这个要稍微思考一下也好理解，如果一个多项式是可约的，我们就可以先做因式分解，然后研究不可约部分就可以了。换句话说，任意多项式都可以用研究不可约多项式的方法进行研究，这样做的目的当然是为了研究的简化。

而之所以只研究不可约多项式，是因为后续证明只对不可约多项式成立。如果是可约多项式，由于可能会有有理数会添加到分裂域中，也就是说破坏了分裂域是有理数扩域的定义，至少多了很多特殊情况。

下面要理解的就是什么叫伽罗华群了。这个我们前面讲了一些内容，不过还没有触及到问题的难点。为了好理解，我们这样来叙述伽罗华群的定义：域Q上多项式分裂域（也就是在Q域上添加多项式的根，形成一个扩域）上，做这样一些自同构，这些自同构把Q上的值（也就是所有有理数）还是映射到本身。这些自同构就组成分裂域E上的伽罗华群。

这里就比较考验思考能力了。也是理解伽罗华理论的一大难点。首先自同构是个什么东西？从定义上理解是映射，也就是使Q上的值（也就是所有有理数值）映射到自己本身。这样的映射存在吗？理论上应该存在，有很多等式可以使所有的有理数在等号两边都相等（也就是说，构造一个方程，使得这个方程两边当未知数为有理数时，方程两边可以相等平衡）。要说找到具体的例子，伟岗想了半天也没有想出来。关键是除了有理数，其它类别的数还不能使这样的方程两边相等。

这里思维还要排除另外一个误区，那就是认为自同构是一个虚无缥缈的东西。一定要注意到我们是在数学范围内讨论问题，所以就算自同构是抽象的映射，它们也是数学上的概念。简单地讲，就是自同构是数学上的一些变换，至于具体是什么变换，由于群论不研究具体的计算，所以数学家也没有把具体的表达式列出来，他们认为没有必要，你只要承认这些变换存在就可以了。

到了这个阶段，你肯定会有更大的疑惑，那就是就算承认自同构的存在，那这样的自同构不是有无穷多个？也就是说，你怎么去求这些抽象的变换呢？

伽罗华还确实是个天才，是他构想出了求得所有组成伽罗华群自同构的算法！（是不是后续数学家在伽罗华思想的基础上求得伽罗华群里自同构的就不得而知，不过即使是后续数学家做到这一点的，肯定也是受到伽罗华论文的启发，所以数学史书和教科书大多都把功劳归于伽罗华）。

注意到伽罗华群是在分裂域，也就是有理数域中添加多项式方程根组成的域中求自同构，伽罗华通过两点确定了所有的自同构（我们还不能说伽罗华完全求出了全部的自同构。抽象代数就是这样训练我们思维的，要跟上伽罗华的思路，你必须抛弃在初等数学中形成的很多固定的套路）:第一，组成伽罗华群的自同构把有理数映射到自己身上（这是伽罗华群自同构的定义）；第二，这些自同构把多项式方程的根映射到其它根上。

第一点貌似是明显的，不用提。实际上正是这一点暗藏杀机，决定了确定所有自同构的关键。第二点的证明可以看教科书上，也是有点费脑筋。证明的关键在于，那些方程根的自同构映射带入到多项式方程，可以转换成方程值的映射。由于根是使方程值为零的数值，所以自同构就是零的映射，这又反过来证明这些自同构经过映射后，使得方程为零。也就是说，组成伽罗华群的映射都把多项式的根映射到其它根上。这些内容有些绕，这也是学抽象代数的特点，抽象地推理需要思考和想象。

确定了组成伽罗华群的自同构是多项式方程根映射到其它根上，这时根的对称性就要出面了。这也许也是群论的一个精华，不过很难体会到。

细心的同学朋友可能还记得，多项式方程的根从某种意义讲具有对称性。我们注意到，复数根都是共轭的。也就是说，根的实部相等，虚部前加号减号都是根。这在复平面上表示两个跟在一个圆上且对称与实轴。就是简单的方程x的平方减去2等于零，也有一个对称的正负根号2。

根的对称性决定了伽罗华群中自同构的一个根映射到另一个根就是一个旋转变换。正是从这样的结果中，数学家得出伽罗华群实际上同构于置换群！或者说伽罗华群同构于对称类简单的群。对称性是5次及5次方程没有根式解的主要原因，其含义原来隐藏在伽罗华群跟对称群同构这个命题中！

要真正求出某个具体伽罗华群同构的确定对称群，还有一些难度。不过基本思想我们可以简单描述了一下。求的过程，当然还需要自同构定义给出的条件，否则属于伽罗华群元素的自同构映射可能是一个根映射到于它不对称的根上面了，这时就求不出伽罗华群同构的群了。

一般一个对称群对应一些旋转和位置变换，求伽罗华群同构的对称群就是求跟这些旋转和位置变换一致的变换。教科书上都讲得非常简单，只有非常仔细和有耐心的人才能理解那些推导过程，一般的读者也就是知道结果就行了。

抽象代数对抽象的对象进行精确的分析和计算，这给我们提出了很多值得深思的题材。同时我们要抛弃一切具体计算的思维方式，用新的套路研究数学，这也不是所有人都做得到的。

如果你能求出很多多项式的伽罗华群（或者准确地说是求出伽罗华群同构的对称群），可以说对伽罗华理论的理解就进了一大步。不过要搞懂伽罗华的证明，还有更多深奥的数学知识，最最难理解的就是可解群，什么样的群才叫可解呢？

群的可解又跟群的子群和群的正规性联系在一起。粗略地讲，一个方程之所以没有根式解，是因为如果方程的分裂域添加带根式的数，这些数必然会使得伽罗华群存在子群，而且这些子群还必须满足正规性等条件，如果满足不了这些条件，带根式的数就不存在了。但是要记住，多项式方程的根肯定是存在的（这个叫代数基本定理），我们又无法添加到带根式的数作为方程的解到分裂域中，所以方程没有根式解。

问题这时就来了，有伽罗华群不可解吗？这个是当然的。事实上，5次及5次以上方程大多数都同构于不可解的对称群。伽罗华也发现了对应不可解伽罗华群的具体5次方程，这在逻辑上就证明了5次及5次以上方程没有根式解。

要想理解伽罗华的证明，还有更多东西要学，至少什么群叫正规群要知道，这个就牵涉到整个群论的知识，讲起来话就长了，今天篇幅也差不多了，群论的具体知识还是留在下一篇再聊吧。

文章结尾还是要感谢朋友同学的鼓励和打赏！数学知识真是博大精深，要理解现代数学难度不是一般的大，但愿伟岗的文章给大家带来了思考和乐趣。