为什么我们能造出莫比乌斯环？却无法造出克莱因瓶？

在很多科普作品中，我们会把蚂蚁说成是二维生物，因为它只会在平面上爬行，自己也很难感知高度。所以对蚂蚁来说，向下爬和向上爬没有什么区别，世界在它眼中就是一个奇怪的平面。

Tips：莫比乌斯环一般指莫比乌斯带。莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁于1858年发现。就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。

如果我们把一只蚂蚁放在莫比乌斯换上面，它会发现自己走着走着就会回到起点。而作为三位生物的我们，却能知道究竟发生了什么事。仅仅只是差了一个维度，世界在蚂蚁和我们的眼中就有这么大的差别，那么如果是更高维度的空间，世界又会是怎样的呢？

1882年，著名数学家菲立克斯·克莱因向我们描述了一只神奇的瓶子，它没有内外之分，瓶口也不存在边界，完全由一个曲面组成，被我们叫做克莱因瓶。现在有很多玻璃制造厂商似乎真的做出了这样的瓶子。不过，从定义上面来看，这种玻璃瓶其实并不是真正的克莱因瓶。

Tips：克莱因瓶，在数学领域中是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶在拓扑学中是一个不可定向的拓扑空间。克莱因瓶最初由德国几何学大家菲立克斯·克莱因 Felix Klein提出。

它只能存在于四维空间之中，作为三维生物的我们，穷尽一生都没法造出这种瓶子来。那么问题来了，为什么莫比乌斯环可以随便造，但看起来相同原理的克莱因瓶，我们却造不出来呢?想解释这个问题，我们就需要好好理解一下维度的概念。

什么是维度？

维度是数学中用来描述空间的独立参数，其中的每个参数组合，可以形成更高的维度。这是意思？我们可以从0维度开始解释。在0维度的空间中，完全不存在长度宽度以及高度的概念，所以可以看做是一个无穷小的点。

Tips：维度Dimension，在物理学和哲学的领域内，指独立的时空坐标的数目。

比如说，我们现在认为宇宙在诞生之前，就是一个重量无穷大，体积又无穷小的奇点。因为奇点完全没有维度，所以任何现在的物理规律，都不能用来描述奇点。所以爱因斯坦在解释相对论时也说，相对论只适用于大爆炸之后的宇宙，至于之前是什么东西，人类完全无法描述。

Tips：“大爆炸宇宙论”The Big Bang Theory是现代宇宙学中最有影响的一种学说。它认为宇宙在从热到冷的演化中，宇宙体系不断膨胀，使物质密度从密到稀地演化，如同一次规模巨大的爆炸。

而一维空间就比较好理解了，它可以被当做是没有厚度，或者说宽度，却拥有长度的空间。这个描述听起来非常怪异，因为身处三维空间的我们，哪怕在纸上画一条线，严格来说它也不能被当做一维物体。因为哪怕是线，它依旧拥有厚度。所以一维物体依旧只存在于我们的概念之中，我们只能假设，它是由很多0维度的点连接起来组成的物体。

如果你是一个一维生物，那么在你的眼中，世界只有前后两个方向，你甚至没有办法转过身去看看后面，因为转向涉及到宽度。所以，在我们看来，一维生物只能在一条线上向前走或者向后走。

Tips：一维实际是指的是一条线，在理解上即为左－右一个方向（如：时间）。也可理解为点动成线，指没有面积与体积的物体。

如果说我们画一个圈出来，一维生物会感觉非常困惑，因为它会发现向前走着走着就会回到原点。如果我们画一团乱麻出来，一维生物会更加诧异，因为在他看来，自己会突然之间穿越到另一条路上，却无法理解究竟是怎么回事，因为它无法意识到线是可以弯曲，并且相交的。

同样的，处于二维世界的生物也会有这样的困惑。我们可以把一张纸拧上半圈再首尾相接，制造一个让二维生物百思不得其解的莫比乌斯环。因为纸条被我们曲折，所以二维生物只要沿着一个方向不停地走，就可以从纸条的正面到达反面。在二维生物看来，它所处的宇宙，在一个地方存在时空跳跃的诡异魔力，只要经过这里，就可以从终点走到起点。

Tips：蚂蚁是二维生物这个说法，起始于爱因斯坦的一个比喻，爱因斯坦说在球面爬行的一只蚂蚁，永远也不会知道球面不是平面的，意思就是说蚂蚁会认为球面是一个平面。

至于为什么无法理解，原因也很简单，因为二维生物不知道高的概念，所以意识不到纸条的弯曲的重合。在二维世界中，所有三维物体都只有一个切面可以被感知到。比如说，如果我们把一个圆球从二维平面穿过，那么在二维生物看来，它的世界里出现了一个从小到大变化、再逐渐变小的圆形。

也就是说，当高维物体进入低维空间时，表现出来的，只是它在低维空间的投影。如果说我们把很多二维的面叠加起来，就能得到一个三维的空间，这就是我们所处的空间。一切物体都可以用长宽高来表述。我们也可以在三维空间中自由活动。

Tips：狭义相对论认为，物体的相对时间流逝速度受到其运动速度的影响，也就是说物体的运动速度越快，那么时间流逝速度就越慢。

在爱因斯坦提出相对论之后，人类才终于明白，原来时间也是一个特殊的维度。三维空间和时间加起来，构成了四维时空。只要你加速运动，你的时间就相对于其他静止的人过得要长。如果你的速度可以达到光速，你的时间就会静止，如果超越光速，我们就可以让时间倒流。

低维生物的悲哀

不过很可惜的是，在三维空间中，人类没有办法把任何有质量的东西加速到光速。因为越接近光速，耗费的能量就要以指数增长。我们可以举一个类似的例子。如果在一根绳子的中间绑一根重物，那么想把这个绳子拉直，需要多大力气呢？答案是无穷大。因为拉直绳子，需要靠分力来对抗重物下坠的力量，而随着绳子角度越来越大，需要的拉力就会越来越多。

Tips：光速Lightspeed是指光波或电磁波在真空或介质中的传播速度。真空中的光速是目前所发现的自然界物体运动的最大速度。

结果就是，理论上来说，你永远都拉不直这根绳子。这和我们没有办法超光速，道理上是一样的。这也就意味着，我们没有办法自由得控制时间。

于是有人想象，这个世界上会不会存在四维时空的生物，它们可以自由得在时间上前进后退，就像我们平时走路一样简单。在他的眼里，我们人类就是一个又一个延伸的“虫子”，由无数个动作组成整体。它可以看见我们的幼年，同时也可以看见我们的老年。但在我们眼中，这个四维时空的生物，简直如神一般，可以自由地穿梭时空。

Tips：光速恒定和光速不可突破是爱因斯坦所著的相对论的基石，所以相对论本身否定了时空旅行的可能性。

如果它真的存在，那么人类在它面前简直不堪一击。比如说它们觉得人类有危险，那么只需要回到远古时期，杀掉我们的祖先，人类就会永远消失。

于是在一些科幻作品中，最高级的攻击方式，就是降维打击。如果说我可以把你从三维生物，变成一个二维平面，那么从此之后你就再也无法威胁到我，而我，却可以把你玩弄于股掌之中，就像用莫比乌斯环调戏二维生物一样，你在我眼里，不过是一张薄到没有厚度的平面罢了。

Tips：高维空间，是一种物理学理论。据90年代提出的M理论（超弦理论的一种），宇宙是十一维的，由震动的平面构成的。

随着我们对世界了解越深，就越发能感受到低维生物的悲哀，因为很多在我们看来一目了然的事情，在它眼中却如同奇迹一般不可思议。这不禁让学者开始联想，如果说空间是四维的，一切又会是什么样的呢？

存在于四维中的克莱因瓶

在回答这个问题之前，我们不妨再把目光回到最初的莫比乌斯环上。我们只要在三维空间中，把一个二维平面扭曲再相接，就可以得到这个模型。它最大的特征就是没有内外之分。所以，想要制造一个克莱因瓶，其实方法也是类似的，只要我们可以把一个三维的物体，放到四维空间中，扭曲之后再首尾相接，我们就可以得到克莱因瓶。

Tips：数学上，立体几何Solid geometry是3维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。

如果把它再放回三维空间之中，我们会百思不得其解，因为我们无法感知到第四个维度的存在，所以我们并不清楚它被“扭曲”了。这个物体就像一个带有虫洞的瓶子，我们可以通过虫洞，从这个三维物体的外面，到达三维物体的里面。但是在四维空间中去看的话，一切都一目了然，哪有什么虫洞，它不过是在第四维空间中被扭曲了罢了。

可是，作为三维生物的我们，却永远都感知不到。

Tips：四维空间，也叫做“欧几里得四维空间”，是标准欧几里德空间。它是一个数学概念，可以拓展到n维；四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。

这也是我们为什么造不出克莱因瓶的原因。其实别说感知，我们连想象都想象不出来四维空间究竟是什么样的。我们只是根据对低维的观察明白了一件事，如果多出一个维度的话，就不存在内外之分了。

比如说，我们用一个保险库来存金条。在我们看来，只要关上大门，其他人就别想从外面进去。但从四维空间中去看的话，这个保险库完全是敞开的，你可以直接看到里面的东西，轻易得拿走里面的金条。

这个很难理解，我们只能再用低维空间来举例子。比如说，在二维生物看来，只要它用线把一个地方圈起来，就没有人能进入到圈里。但对于我们来说，这个圈显然没有任何阻挡的能力，因为根本没有封顶，进到圈里还不是轻轻松松可以做到吗？

Tips：《西游记》是中国四大名著之一，其中描写孙悟空以为飞到了天边的尽头，找到了撑天的大柱子，谁知道那五根柱子是如来佛祖的五根手指，结果被压在了五指山下。

也就是说，如果四维生物真的存在，那么这个世界上没有任何一道门可以挡住它。它可以同时看到我们的皮肤和里面的内脏，也可以直接抓住我们的心脏，而不破坏皮肤。在它们眼里，三维生物的我们，毫无秘密可言。

那么问题来了，更高的维度，真的存在吗？

真的存在更高维度吗？

这是一个学界还在争论的话题，其中有不少人支持高维空间的存在，并且用它来解释量子力学，也就是我们所谓的弦理论。弦理论认为，所有的基本粒子，其实是由不同的能量弦构成的。它们的量子涨落有不同的频率，每种频率构成了不同的基本粒子。之所以如此解释，是因为量子力学中的强核力非常特殊。这种基本里和我们平时熟知的引力、电磁力、弱核力完全不同，是距离越远吸引力越强。

Tips：强核力是作用于强子之间的力，是所知的四种宇宙间基本作用力中最强的，也是作用距离第二短的（大约在 10^(-15)～10^(-10) m 范围内）。

1968年，麻省理工学院物理学家威尼采亚诺发现，一本旧数学书上记载的欧拉公式，刚好可以用来解释强核力，弦理论应用而生。而在之后，学者发现，想要让光子质量为零在公式中成立，必须要假设维度等于25。于是，支持弦理论的人学者认为，这个世界其实是25维的，只不过其他多出来的维度，都蜷缩在微观尺度中，所以难以发觉。

之后超弦理论诞生，而他们推导出来的公式显示，宇宙应该是9维的。至于世界是不是真有这么多维度，现在还不能下结论。

Tips：超弦理论Superstring Theory，属于弦理论的一种，是一种引进了超对称的弦论，其中指物质的基石为十维时空中的弦。

也有说法认为，其实更高维度不仅仅局限于空间上，时间这个维度说不定也可以像空间那样不停扩展。比如说如果时间有了“宽度”，也就是可以横向延长，就意味着平行宇宙真的存在。如果我们可以在时间上横向走动，那么我们就可以挑选自己的人生轨迹。

甚至还有学者在此基础上提出了多元宇宙等等更高的维度的世界观。不过很可惜的是，到现在为止，我们依旧无法证明更高维度的存在。所以像克莱因瓶这样的高维物体，究竟是真实存在，还是仅局限于我们的幻想，目前都无从知晓了。