二次函数与等差数列 也可以扯到一块滴

读书、行路，脑力劳动与体力活，却也有相似之处，两件事都是可以上瘾的，都是可以非常上瘾的！

自从十年前被猪妹妹邀着走了趟西藏，从此一发不可收拾。

走的地方多了，现已不是太清白：哪些国家去过、哪里国家还没去。

不过，亚洲是去过了：

欧洲也是去过的：

大洋洲也是去过滴：

非洲也瞄了几眼：

美洲也踩过几脚（美国）：

今年，要不是新冠病毒到处乱窜，我是肯定不会乖乖地呆在书房写这些东东的。有路，优先走；而书，可以在风雨交加的夜晚、也可以在雪花飞舞的寒冬，点上一盏灯、沏上一壶茶，慢慢阅读。当然，更好的方式是：边走边读，走走读读，带着书本去流浪——这可能就是我今后的生活。

新冠病毒，给我们营造了大好的读书时间。

最近连续读了几天书后，发现有点上瘾了，也和一元二次函数扛上了。这家伙居然可以在等差数列中，横冲直撞，大行其道且得心应手。

等差数列，好像并不是个很难的家伙。就那么几个公式，各位早已烂熟于心：

a_n=a₁+(n-1)d

S_n=(a₁+a_n)*n/2

其中，a₁首项，n项数，a_n第n项，d公差，S_n前n项之和。

但是，如果将上面的通项公式和求和公式看成函数，谁是自变量呢？显然，a₁、a_n是常数，d也是常数，只有n可以充当自变量x的角色。我们将上面两公式整理一下：

经过一番梳妆打扮，她俩容貌已焕然一新：

如果只是觉得她俩漂亮了，那我劝你再多看几眼。你是否发现，a_n是n的一次函数、而S_n是n的二次函数了？！

虽然，n的取值只能是正整数，她还不能像x那样连续地随意变化，她只能从一个“坑”跳进另一个“坑”，而不能在“坑”外停留。但这，并不妨碍我们用一元二次函数的思想解等差数列的题。

考虑一分钟，是否有了思路？其实思路也不难：

a_n=S_n-S_n-1=2n2+3n-[2(n-1)2+3(n-1)]=……

不到生死关头，我是不会干这种苦力活的。那说好的二次函数呢？请看：

比较一、二次项系数可知：

d=4，a₁=5，于是乎：a_n=5+4(n-1)。

哈，是不是又被爽到了？其实，本题最爽的，也许是下面的解法，无需任何新的知识点：

a₁=S₁=2+3=5

a₂=S₂-S₁=2×22+3×2-5=14-5=9

于是，d=a₂-a₁=9-5=4

a_n=5+4(n-1)

如此简单，真是不好意思。

等差数列前n项之和S_n是项数n的二次函数：

它没有常数项（图像过原点），开口朝向可上可下，视d的正负而定，以d>0为例：

若n的取值为连续实数，则图像为完整的抛物线。但在等差数列中，n的取值为正整数，故图像为一连串的点（图中红点）。

例2：已知等差数列{a_n}的前n项之和为S_n。若a₁<0，S₈=S₁₄，则{S_n}有最大值还是最小值？是哪一项？

一般思路，若不嫌麻烦，也可为之：

取d=2，则a₁=-21，题设等差数列可如下：

-21、-19、……、-1、1、……

易知，a₁₁=-1，a₁₂=1>0，S₁₁可取最小值。

用二次函数的思想思考：

因a₁<0，抛物线从0出发，往下走，再拐向上（开口必须向上），才有可能S₈=S₁₄，如下图：

于是，不难得到：8与14的中点，即n=11就是S_n取最小值的点。不仅如此，由图，还可以很容易地知道，S₂₂=0。

至此搞定。如果仍不太明白，可参看下面的分析：

S₁=a₁<0，若还有d<0，则抛物线开口向下，抛物线从n=0出发，向下而去，从此越走越远，再也无法回来，草图如下：

0>a₁>a₂>a₃>…

0>S₁>S₂>S₃>…

如此，S₈=S₁₄无法成立，则必有d>0。

好像还不过瘾，那再来一题。

例3：已知等差数列{a_n}前n项之和为S_n，且S₁₀=50，S₂₀=180，求S₁₅。

常规方法：

于是

比较而言，多点计算，在此我就不往下算了。

其实，若设：

则{bn}是个等差数列！于是：

b₁₀、b₁₅、b₂₀也是等差的哦，所以：

搞定，走人！