数列
是公比为正数的等比数列，
，
；数列
前
项和为
，满足
，
.
（1）求
，
及数列
，
的通项公式；
（2）求
.
参考答案
【答案】
（1）
，
，
，
，
，
，
（2）
，
【解析】
（1）方法一：（数列定义）易知
，可得
，故
，
；
，
，
，则
，
，两式相减得
，则
，
，同理两式相减得
，
，则
为等差数列，故
，
.
（1）方法二：（数学归纳法）
同方法一，猜想
，
，然后再利用数学归纳法证明.
（2）方法一：利用错位相减法求和，由（1）可知
，
，则
，两式相减整理得，
，
.
（2）方法二：利用裂项求和，由（1）可知
，注意到
，再采用裂项相消法求和.
（1）方法一：（数列定义）
易知
，解得
或
，又公比为正数，则
，故
，
；
，
，
，则
，
，两式相减得
，则
，
，同理两式相减得
，
（注：
，
也符合），则
为等差数列，故
，
.
（1）方法二：（数学归纳法）
易知
，解得
或
，又公比为正数，则
，故
，
；
，
，猜想
，
，用数学归纳法证明.
①当
时，
成立；
②假设当
时，
成立，
当
时，
，则
，即
，故当
时，结论也成立.由①②可知，对于任意的
，
均成立.
（2）方法一：（错位相减法求和）
由（1）可知
，
，
则
，两式相减整理得，
，
.
（2）方法二：（裂项求和）
由（1）可知
，注意到
，
故
，
.
页面更新：2024-04-02
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