隐藏在《天煞魔格》中的秘密

一、最近阅读了一本名叫《别说你不懂数学》这本书，在本书第二章《数学之趣》中第三节讲的是一款名叫《天煞魔格》的游戏。

二、游戏是这样的，有一个5行5列25个方格，里面有25个数字。

规则为：任意选择其中一个数字，则此数字所对应的行和列上余下的数全部打叉，下一次就不能再用了，这样重复4次，直到最后行和列上只剩下一个数字，然后将五个数字相加取和。

接下来重复上述选取过程，然后将每一次选取的五个数字相加，神奇的一幕发生了，经过计算，每一轮选取五个数字的和均相等！

选取过程如下：

第一次选取第二行第一列数字13；

第二次选取第三行第二列数字1；

第三次选取第一行第三列数字14；

第四次选取第四行第四列数字15；最后剩下第五行第五列数字5；

求选取数字的和为：13+1+14+15+12=55

经过重复选取，五个数的和仍为55！

三、我觉得挺有意思就拿回去让小朋友参与，结果小朋友刚开始还兴致勃勃，在选过几次后发现结果都相同，顿时失去了兴趣，我却觉得意犹未尽！

四、后来我发现或许5行5列25个数字或许太多，所以想要精简一下，能不能用4行4列16个数字，或者用3行3列9个数字？还有可不可以指导一下小朋友自己制作这样一个表格呢？

五、带着这些问题，我按照书上的方法自己制作一个3行3列9个数的魔格。

5.1、首先选出0、1、2三个数字，按照任意顺序填在魔格一行；

5.2、然后用自己想要的结果 9减去0+1+2和等于6；

5.3、下一步将6拆分成2和4填写到0所在列余下的两个空中。

5.4、将2和4所在行分别加上1、2，等于3、4、5、6填在1、2所在列的行内，这样一个9宫魔格就做好了。

5.5、参与者只要按照上述要求任意选择3个数，结果都是9.

2+5+5=9

0+5+4=9

4+3+2=9

。。。。。。

六、就这样引导小朋友自己动手做了几次，很成功，但又发现了新的问题，假如所要的结果比较大，比如结果要100，那0、1、2的那一行的数字又显得过小，如果碰到一个高年级的，让人一眼就看出这是一个等差序列。或者也可以将它更加复杂一些，做成6行6列、10行10列、或者N行N列。初始数字也不再选用0、1、2、3、4，可以选择任意数，只要符合等差序列即可。

七、带着这些想法，我又开始行动了，首先我在表格软件里，做成一个6行6列的魔格，然后选在4、5、6、7、8、9这六个数为初始数字填入行中，按照书中的要求；

计算过程如下：

7.1、首选选择最终结果为A=100，然后减去5+6+7+8+9的和35，等于65；

7.2、再将65拆分为10、11、12、13、15填入4对应的那一列中，然后按照等差序列填写剩余空格，使这一列的和为65；

15+14+14+7+15+15=80

10+12+6+15+17+20=80

7.3、经过测试，结果等于80，不等于100.测试失败。

九、带着新的问题，我在Excel表格中做了3*3、4*4、5*5、一直到30*30行列魔格进行尝试，最终明白了是（7.2）中拆分65出了问题，在没有选取0、1、2、3.....这个等差序列时，计算拆分的和就不能是65；

（7.1）中应该是用100减去5+6+7+8+9的和，等于65，再加上第一列第三行上的数值4乘以4（魔格行列数量6减去2的差）等于81，再拆分为21、20、12、13、15（只要保证拆分的五个数的和是81即可）填入第一列4那一列。然后按照等差序列计算出余下的空格。依次填入5、6、7、8、9对应的列中。

8.1、随机选取计算（15+14+14+7+24+26=100；21+21+6+15+17+20=100；）

8.2、六行六列魔格自制成功，但又出现新的疑问？

九、问题拓展

9.1、在经过多次尝试后，原来想要计算第一列数值4这个位置的余下五个数的和，首先是要用100（目标求和数）依次减去5+6+7+8+9的和35，然后再加上数字4乘以4（表格数6行6列的6减去2）的积16。

例举（5.1）等差数列取值0、1、2时，计算过程应该为目标和为9，依次减去1+2的和3再加上0*1的积（表格数3列3行取3-2），这才是书中没有提及的公式！

9.2、求得公式为：B=A-NΣ-a+a（N-2）

注：A=目标求和数值

B=一行（或一列）拆分数（B1+B2+B3…位数N）减去等差序列最小值a

NΣ=一行（或一列）等差序列值的和

a=一行（或一列）等差序列最小值

N=表格数量（如2*2、3*3、4*4…55*55…）N≥2

9.3、经过测试，此方法对3*3、4*4、5*5…100*100全部适用，只需用目标求和数值A减去等差序列值的和NΣ减去等差序列最小值a加上最小等差序列数乘以表格数（N-2）即可得到拆分数B；

然后将B拆分为B1+B2+…一直到N位分别填写到等差序列最小数a相应行或者列上；

按照等差序列依次计算剩余的结果将整个魔格补充完毕。

现在你就可以自己动手制作自己想要的魔格了！但是问题真的解决了吗？

十、最后我不明白为什么计算过程表格行列数N需要减去2，拆分数B的值为什么跟表格N的数量有关系？欢迎求证，甚为感激！