文 | 栗頿

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前言

径向域可分为理想区域和一个窄的共振区域，理想区域完全由理想磁流体力学方程描述，而在共振区域内发生非理想效应，扰动的平行电流高度局限在这个区域内。

撕裂模的稳定性通常由∆0参数化，该参数由在理想外区域解撕裂模方程得到的，它定义为共振区域内平行矢量势Ak的对数导数跃变，其中Ak被假设为常数。

这种假设被称为常数ψ近似，其中ψ是磁场的平行标量势。一般来说，具有较低极向数m的大尺度模式可能具有∆0 > 0，它们由外部区域的自由能驱动。这样的模式在无碰撞极限下的稳定性已经在流体理论和动力学理论框架中进行了计算。

但具有较高m值的小尺度撕裂模对外部区域中的大尺度电流密度梯度影响不大。这些模式的特征是∆0 ≈ −2ky = −2m/r < 0，其中ky是垂直波矢，r是次半径。因此具有∆0 > 0的高m模式将是稳定的。

值得注意的是热力驱动的不稳定性与内部撕裂模层中的电流贡献有关，而不是外部的理想区域。目前和未来的托卡马克装置具有弱碰撞情景，因此理解在这种极限下撕裂模的稳定性非常重要。

描述等离子体的基本方法

一种描述等离子体的基本方法是采用动力学方法，其中系统通过粒子分布函数来定义，该函数根据瓦拉索夫方程演化，该方程是玻尔兹曼方程在没有碰撞的情况下的形式。与描述电磁场演化的麦克斯韦方程耦合，这构成了等离子体的全自洽动力学模型。

对于这个复杂模型的一个标准简化是尺度约化，将方程组仅保留特定尺度。流体描述是一种方法，其中使用一组流体方程来描述宏观量，例如等离子体密度ns、等离子体流速Vs、压强Ps等。

通常可以通过对瓦拉索夫方程进行连续速度矩的操作来获得流体方程。例如，瓦拉索夫方程的零阶速度矩给出了质量守恒方程，一阶速度矩给出了动量守恒方程。因此瓦拉索夫方程等效于无穷多个流体矩方程。

截断系统的一种方法是通过低阶矩来对某些矩进行封闭。在下一节中，我们介绍用于描述撕裂模式物理的流体方程组。

流体方程组

驱动撕裂模式的电流主要由电子携带，因此在模型中，只描述电子动力学。在没有碰撞的情况下使用标准流体方程，需要忽略静电势。

我们可以从无碰撞情况下的回旋动力学方程得到模型中使用的流体方程。但忽略了由静电势引起的平行电流的贡献，这在小尺度磁岛的情况下是有效的。

在托卡马克的有理面附近，可以引入一个类似薄板的几何结构，采用笛卡尔坐标系（ˆx，ˆy，ˆz）。磁场可以用以下形式表示：

方程1

方程2

其中B0是沿z方向的平衡磁场，Aek是扰动磁矢势的z分量，ψ是引入的辅助矢势，用于描述螺旋扰动的磁剪切效应，kyy = m (θ − ζ/q)，Ls = qR/s，q是安全系数，s = (r/q)dq/dr是磁剪切，R是托卡马克的主半径，x = r − rs是到共振面位置rs的距离。

下文的平衡量用零下标表示，它们在整个区域被认为是常数，但允许具有非零的x导数，这也被称为局部极限，扰动量用波浪符表示，它们在磁场中振荡，并可以在傅里叶空间中表示。

方程3

其中ω是复频率，ky和kz = kk(x)分别是垂直和平行波矢。利用方程2和3，沿磁场方向的总平行梯度算符∇k = (B0 + B˜) · ∇/B0可以分解为线性（剪切磁场）和非线性两部分，如下所示：

方程4、5

该系统的动力学由连续性方程（质量守恒）和电子的平行动量平衡方程动量守恒）描述，即Vlasov方程的零阶和一阶矩形式。

方程6、7

其中me是电子质量，ne是电子密度，b=B0/B0是沿着平衡磁场方向的单位向量，Ek=−∂Ak/∂t是平行电场，pe是电子压力。连续性方程6中的第二项可以分为平行和垂直分量。

在低频率区域，即ω << ωce，其中ωce = me/eB > 0是电子回旋频率，并且忽略静电势，电子的垂直速度是偏磁漂移。以小参数ω/ωc的最低阶给出，它可以表示为

方程8

式6和7被展开并线性化。连续性方程6中的垂直分量第二项变为：

方程9

其中vDe是电子磁漂移速度，表示为：

方程10

根据推导方程7被写成如下形式：

方程11、12

在上述方程中，p0e = n0eT0e 表示平衡压力，pee = neeT0e + n0eTee 表示扰动压力。除非另有说明，本文中的所有量都指电子。下文中将不再使用下标e表示电子。我们使用方程3-5来推导方程6和7。

方程13、 14

在简化情况下，忽略磁场梯度和温度扰动时，方程6和7可表示为：

方程15、16

系统是封闭的，在不需要对温度进行封闭的情况下，可以通过扰动磁势得到以下关于平行电子响应的表达式：

方程17

这个极限情况再现了通过动力学理论以及通过流体理论研究的无碰撞撕裂模不稳定性。在这里，重新连接由惯性平衡的平行电子电流驱动，该电流受感应电场和电子压力扰动的作用。平行电子电流伴随着电子密度扰动。

当考虑磁场梯度时，平行电流还会有额外的贡献，该贡献来自于方程11中垂直电子磁滞电流的可压缩性。压力扰动需要对温度演化进行封闭。通常情况下，需要一个在整个kkvTe/ω参数范围内都有效的封闭形式，该参数在有理面处为零，在惯性层宽度处为某个有限值。

方程18

这里提到的闭合条件适用于小尺度的磁岛，其中满足条件 ω kk(w)vTe。w表示磁岛的宽度或线性情况下由电子皮层深度参数确定的惯性层宽度。在更准确的模型中，可以使用类似Hammett-Perkins的闭合条件来考虑兰道阻尼效应。

然而后者超出了这里的工作范围，同时在陀螺运动动力学模拟中，电子温度在磁岛之间的平坦化条件似乎是满足的，如图1所示。

图1

图1：小尺度磁岛（a）（红色实线）和大尺度磁岛（b）（蓝色虚线）中的电子和离子温度剖面。磁岛宽度w被标准化为离子轨道宽度。垂直虚线表示磁岛的位置。

在这张图中，呈现了小尺度和大尺度磁岛的电子（实线红色）和离子（虚线蓝色）温度剖面，分别对应宽度为 w = 0.6 wion 和 w = 2 wion。

这里 wion = √(ρi) 是离子轨道宽度，其中ρi = mvth,i/eB0 是离子洛伦兹半径。这些磁岛以离子迭曼频率 ω = ω?ni = mTi/eB0∂n0/∂x 进行旋转。我们引入了迭曼和磁漂移频率 ω? 和 ωD，分别表示为：

方程19、20

其中k是波矢量，v和vD分别是在方程8和10中给出的迭曼漂移速度和磁漂移速度。在所考虑的几何结构中，这些频率可以表示为：

方程21、22

在这些方程中，等离子体和磁场梯度通过以下方式进入系统方程。这里，ρe = mvth/eB0是热电子洛伦兹半径，vth = √(T0/me)是电子的热速度，LB,n,T是磁场、密度和温度的梯度长度尺度，分别由LG = −(1/G)∂G/∂x定义，其中G = (n, T, B)。最后电子的连续性和平行动量平衡方程13和14以及关于温度的闭合条件方程18一起考虑。

方程23、24、25

最终通过耦合方程23、24和25来求解扰动的电子平行速度。

方程26

撕裂模色散关系

上述的流体方程系统通过安培定律来闭合。

方程27

其中µ0是真空磁导率，J是电流密度。磁场可以表示为矢量势的旋度，即B = ∇ × A，其中A = Aekb。利用库仑规范∇ · A = 0，并且由于A只有一个分量（沿着磁场方向），将安培定律在平行于平衡磁场方向的投影写为以下形式：

方程28

这里，Jek = −en0Vek 是包含无碰撞撕裂模的不稳定效应的扰动电子平行电流。对于小尺度磁岛∂/∂x ky，方程（28）可以写为：

方程29

其中，ωpe = √(4πe^2n0/me) 是电子等离子体频率。

通过在共振层上积分安培定律，可以得到撕裂模的色散关系。我们采用恒定ψ的近似方法，假设在非理想区域内，扰动的平行矢量势不显著变化。因此无碰撞撕裂模的色散关系可以表示为：

方程30

k0k = kys/qR，∆0是撕裂模稳定性参数，它匹配了理想外部区域和非理想内部区域的解。被定义为Aek在外部区域的对数导数在共振层上的跃变，即：

方程31

方程30中的x积分在复数ω的情况下收敛。利用复对数的性质，可以得到以下表达式：

方程32

这里，我们引入了记号 Ω^2 ≡ (ω − ωD)(ω − 2ωD)。通过在复平面上进行积分并利用留数定理，可以更好地理解方程32。留数定理是一种评估解析函数沿闭合曲线的线积分的强大工具。我们将积分域从给定的实区间扩展到复平面上。

方程33

在这里，我们定义Γ为一个半圆，位于复平面的上（或下）半平面，对于 = (Ω) > 0（或 < 0）。C是闭合轮廓C = [x1, x2] ∪ Γ。当Ω位于上半复平面，即 = Ω > 0时，该域在图2中显示。在复平面的上半部分和下半部分上的闭合轮廓的积分可以通过留数定理来计算。因此，我们将被积函数分解如下：

方程34

根据 Ω 的虚部的符号，右侧的第一项或第二项定义了积分的值。

方程35、36

图2：在存在奇点 z = Ω 的复平面中的积分轮廓。

最后，取极限x1 → −∞和x2 → ∞，并注意在这个极限下，沿着Γ的积分消失，我们得到了方程32。因此，方程30中的色散关系可以表示为：

方程37

在没有磁场不均匀性的情况下，当忽略曲率效应（即ωD = 0）时，根据方程32中给定的条件，±符号必须选择如下：

当∆0 > 0时，只存在一个不稳定解。

方程38

从流体理论得出的方程38中的色散关系与动力学结果不完全相同，其中ηe = Ln/LT。动力学的π和流体的π系数非常接近。频率实部的差异，ωr = ω？n(1 + ηe/2)在动力学理论中，而在流体理论中，ω = ω？n，是由于我们在方程18中对闭合形式的近似不一致，这对于所有kk(x)都不一致。

方程39

值得注意的是，在ωD = 0的情况下，方程37中的解实际上是：

方程40

因此，这意味着对于∆0 > 0，存在两个解，即具有正增长率和负增长率的解，而对于∆0 < 0，不存在解。

在具有ωD≠0和ωT≠0的一般情况下，存在两个解，可能具有由磁漂移和温度梯度引起的额外不稳定机制，前提是ωT ωD>0，如下所示。

具有∆0>0的模式可以通过外部区域的自由能驱动。然而，高m模式具有负的∆0，但它们可以受到温度和磁场梯度效应的驱动。这种不稳定机制可以在临界稳定性的情况下∆0=0中容易地说明。在这种情况下，方程37的解为：

方程41

对于足够大的ω*T ωD>0，该解具有正虚部。因此可以将这种额外的不稳定机制识别为环向电子温度梯度ETG（交换）型，而不是由于∆0>0而产生的撕裂型。

而当∆0为负且较小时，方程37的近似解具有与方程41相同的趋势。当ωD有限时，方程37通过数值求解来寻找不稳定解。

表1：用于计算每种模式的∆0的数值

解即具有γ>0的解，也就是=(ω) = γ的解。方程37可以表示为D(ωr, γ) = 0。将其与其共轭相乘得到：

方程42

可以通过扫描一系列ωr和γ的取值范围，并绘制D(ωr, γ)的模数的倒数在复数（ωr, γ）平面上，并寻找其极点来找到解。

通过这种方式我们确定满足方程42的频率和增长的（ωr, γ）对，即选择参数下方程37的解。并对于每组参数，找到两个解，一个是稳定的（γ < 0），另一个是不稳定的（γ > 0）。

图3

图3：找到的参数kyρe = 2.2891×10−4，∆0=0.5,1/Ln=1/LT=2和Tab中显示的值集的极点示例。对于这些参数，该模式的频率和增长率分别为： < (ω) =−0.000570664，=(ω)=0.000596636

通过观察到两个极点，对于与图3中相同参数范围的情况，在图4中显示了这两个极点。但由于我们只寻找不稳定解，在下文中所有增长率都对应于γ > 0，也就是复数中平面上半部分的极点。

图4

图4：对于参数kyρe = 2.2891×10−4、∆0=0.5、1/Ln = 1/LT = 2，以及Tab中显示的一组值。两种频率相同的< (ω) =−0.000570664和相反符号= (ω) = ±0.000596636。

我们发现，对于有限的ωD，温度梯度通常会使模式不稳定，而密度梯度会改变模式的增长率，并在梯度较强时起到稳定作用。

表2：每种模式对应的kyρe和∆0的归一化值

这里，频率归一化为电子穿越频率 ωt = vth/R0，长度归一化为主半径 R0，∆0 归一化为 d^2e/ρe，其中 de = c/ωpe 是电子皮层深度。解是基于表1中用于计算每种模式的∆0的物理值。对于小尺度模式，m是强制的，并通过关系式∆0 = -2ky来确定，该关系是微撕裂模式方程的解。

图5

图5：归一化增长率γ（a）和频率ωr（b）作为归一化极向波矢kyρe的函数。对于∆0 < 0的模式，∆0 = -1.1369，对于∆0 > 0的模式，∆0 = 0.5，两者都对应磁场梯度长度尺度为1/LB = 1。

至于大尺度撕裂模式，∆0的值是设定的。对于各种温度和密度梯度，在图5中以归一化垂直波矢kyρe为变量，展示了∆0 > 0和∆0 < 0模式的增长率。其中∆0 = -1.1369对应∆0 < 0的情况。

结语

通过对流体的数学模型和物理性质的分析，我们得出了该模型的基本方程式和解析解，并对其进行了数值模拟和实验验证。

研究结果表明，该理论能够很好地解释非均匀磁场中的流体运动和撕裂现象，为相关领域的研究提供了重要的理论基础和实验依据。