「冷门?」基于最大流算法的图的匹配算法-Kahn算法

一、特性

Kahn算法是一种基于拓扑排序的图的匹配算法，它的基本思想是：

1. 首先找到图中入度为0的所有节点，将入度为0的节点入队列。
2. 从队列中依次取出元素，并把它指向的节点的入度减1，若该节点入度变为0，则将其入队列。
3. 直到队列为空为止，队列中的节点就是一组能够互相匹配的点集。

Kahn算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V为节点数，E为边数。由于Kahn算法不需要使用最大流算法求解，因此仅针对求图的匹配而言，它的时间复杂度比Dinic算法等流量算法要快。

二、应用场景

在实际应用中，Kahn算法可以很好地解决图的匹配问题。例如，现在有一些人员和岗位，每个人员都有一些技能，而每个岗位也需要一些特定的技能。现在需要找到一种匹配方案，使得每个人员都可以和某个岗位匹配。这个问题就可以转化为图的匹配问题，每个人员和岗位均为图中的节点，相应的技能则为边。

三、优缺点

Kahn算法的优点在于不需要对整个图采取复杂的最大流算法，因此它形式简单、易于理解和实现。此外，它具有较好的时间复杂度，能够很快地找到图的匹配。

Kahn算法的缺点在于它只适用于DAG（有向无环图），对于有环的图，Kahn算法无法完成拓扑排序。

四、Java代码实现

以下是Kahn算法的Java实现。为了简化问题，这里的节点使用简单的整数来表示，边则用数组表示。

import java.util.*;

public class KahnAlgorithm {
    public static Set match(int[] edges) {
        Map inDegree = new HashMap<>();
        Map> outEdges = new HashMap<>();

        for (int i = 0; i < edges.length; i += 2) {
            int from = edges[i];
            int to = edges[i + 1];

            inDegree.putIfAbsent(from, 0);
            inDegree.putIfAbsent(to, 0);
            inDegree.compute(to, (k, v) -> v + 1);

            outEdges.putIfAbsent(from, new ArrayList<>());
            outEdges.get(from).add(to);
        }

        Queue queue = new LinkedList<>();
        inDegree.forEach((node, degree) -> {
            if (degree == 0) {
                queue.offer(node);
            }
        });

        Set result = new HashSet<>();
        while (!queue.isEmpty()) {
            Integer node = queue.poll();
            result.add(node);

            List edgesTo = outEdges.get(node);
            if (edgesTo != null) {
                for (Integer edge : edgesTo) {
                    int degree = inDegree.compute(edge, (k, v) -> v - 1);
                    if (degree == 0) {
                        queue.offer(edge);
                    }
                }
            }
        }

        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] edges = {1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 2, 5, 4, 3, 6, 4, 6, 6, 7};
        Set result = match(edges);

        System.out.println(result);
    }
}

在这个例子中，我们将节点1至7的匹配关系表示为一个数组，用于测试Kahn算法的实现。