有限个无穷小与无限个无穷小

先看无穷小的定义：

相关定理：

相关推论：

以上证明不存在什么难度。

对于以上定理代表的意义，本文提供一种比较具体的理解方法：

任意一个确定的数字，如果要变成无穷小，必须经过无限步，比如：

1，1/2，1/3，1/4，。。。。。。1/n，一直到n趋于无穷大。这里的1可以代表任何一个大于0的正数。这里每走一步的距离是【1/(n-1)-1/n】=1/n(n-1)，它比无穷小大。

这个过程可以用下图形象表示：

图1

假设变量x从任意一个确定的数字出发，目的地是无限小，那这个变量就必须经过无限步以后才能到达。反过来，如果从无限小出发，需要变成任意一个数字，同样需要无限步。

那么，任意常数与无穷小的乘积

还是无穷小就好理解了：

为了理解方便，这里假设无穷大以10000代替，那么，任意确定的常数M最多就可以表示走了9999步，无论这个常数多大，无穷小离目的地，即任意一个确定的数字epsilon，这里用1代替，永远差那么一步，所以任意常数与无穷小的乘积还是无穷小。

这里可能又容易产生一个困惑，当x从无穷小出发，到达1/100，1/1000，直至我们能够说出来的任何一个数字的时候，不是就已经到达了目的地吗？

这里要理解的是有限与无限之间的鸿沟：

图2

任何一个有限的数字，都处于上图中的红色原点之内，这个原点与无限相比，直接可以忽略不计。上图中的无限范围是一个一直延伸的过程，而且永不停止。

图1中的任意数字用1代表。当x从图1中的无穷小出发向上走的时候，到达1/100，1/1000，也就是1/N，这个N可以是我们能够说出来的任意一个数字，比如，10的一亿次方，10的100亿次方，等等，x这时候确实已经有了确定的数字。但这个时候，x已经走了无限步，可以参考图3。因为N无论多大，只要被确定下来，它都处于图3中红色圆点的范围之内。

图3

综合以上结论，无穷小要变成一个确定的数字，必须先经过无限步，也就是只有无穷多个无穷小才有可能变成一个数字。

由此我们可以得到推论，有限个无穷小之和还是无穷小。

假设图1中的x每走一步就是一个无穷小，有限步就不可能变成一个确定的数字。

无穷小加上一个常数（包括负数）还是等于那个常数。

因为与常数相比，应该忽略的是无穷小。

但是，无穷多个无穷小不一定就会变成数字，也有可能还是无穷小，比如：n个

相加，其结果还是1/n，当n趋于无穷大的时候就是无穷小。

关于这个问题，作者已经在<无穷小与数字之间的转换关系>一文中进行了讨论。

简单综合：

1：有限个无穷小之和肯定还是无穷小。也就是任意常数乘以无穷小还是无穷小。

2：无限个无穷小有可能变成一个数字，但也可能还是无穷小。