文|季婉白

编辑|季婉白

理解音乐

理解音乐是一个忽略或抽象化的信息的问题：我们将小提琴家的C4和大提琴家的C4解释为相同音高的两个例子，而忽略了音色和乐器上的细微差别。

我们可以用对称的数学概念来建模这个过程：从音乐信息中抽象出来，就是消除一组对称操作，从而保持物体的“基本身份”不变。

数学家认为，与对称操作相关的对象属于同一个等价类——即在下的一组相互“等价”的对象对称操作的影响。

这些等价类可以用来表示对象共享的属性或属性，就像所有白色事物的一组可以用来表示白色的属性一样。正如我们将看到的，许多不同的音乐理论概念都可以用这种方式来理解。

基本的音乐对象

我们可以从把一个基本的音乐对象定义为一系列有序的音高开始，未分类和未解释。13基本的音乐对象可以按时间排序，也可以按乐器的声音排序：

因此物体（C4、E4、G4）可以代表一个上升的C大调琶音或同时演奏第一个乐器演奏C4、第二个E4和第三个G4的和弦。

（图2.4.1）

基本的音乐对象是如此特别，以至于毫无趣。在我们定义了一些对称操作，一些将对象分组到更大的类别的方法之前，对象（C4、E4、G4）与（E4、C4、G4）绝对不同，也绝对无关。

当然，我们本能地认为它们是相似的事实表明，我们不假思索地对音乐对象进行了分类；事实上，如果不以某种方式将物体组合起来，就很难想象音乐。

在18世纪早期，让-菲利普·拉莫阐述了一个和弦的现代概念，根据它们的音高等级内容而不是它们的顺序或注册安排来对基本的音乐对象进行分类。

Rameau含蓄地提出，三个基本操作保留了一个音乐对象的“和弦”或“和声”身份：八度变化、排列（或重新排序）和基数变化（或音符重复）。

例如，人们可以通过重新排列音符（E4、G4、C4）来转换（C4、E4、G4），将第二个音符改为一个八度产生（C4、E5、G4），或复制第三个音符（C4、E4、E4、G4、G4）——所有这些都不改变它被称为“C大和弦”的权利。

此外，如图2.4.2所示，这些转换可以组合起来产生无穷无尽的对象集合，所有这些对象都代表同一和弦：（E4、G4、C5）、（G3、G4、C5、E4）、（E2、G3、C4、E4、E5），等等。

图2.4.2

笔者认为：成为C大弦只是属于这个等价类——或者换句话说，只包含三个音高类C，E和G。因此，我们可以将C大弦表示为无序的音高类{C，E，G}。几何上，和弦对应于圆上特定的点集合，如图2.4.2所示。

传统理论

传统理论使用“大和弦”和“小和弦”等术语来表示和弦类型，或换位相关和弦的集合。我们可以将这些术语解释为由四个对称操作组成的等价类：八度位移、排列、基数变化和转位。

（图2.4.3）

当代音乐理论家有时更喜欢“换位集类”，而不是更通俗的“和弦类型”。几何上，如果一个弦可以在圆形音高类空间中旋转到另一个，则两个弦属于同一类型图2.4.3b。

这样的和弦在相邻音符之间共享相同的距离序列：例如，大和弦把音高类圆分成四、三和五个半音的弧，从根开始顺时针读取。

反向相关的和弦

由于反向相关的和弦有许多共同的特性，当代理论家也经常把它们组合在一起。音乐理论家说，如果两个物体通过两个对称操作的任何组合联系起来，

那么它们属于同一集合类：八度偏移(O)、排列(P)、换位(T)、反转(T)、倒置(I)和基数变化(C)。

（图2.4.4）

图2.4.5显示C大弦将音高类空间划分为四、三和三度半音大的弧，从C顺时针读，而它的反转，C小和弦，将音高类圆分成四、三的弧，五个逆时针大读数。

属于同一集合类的和弦总是共享相同的弧长序列，尽管这个序列可以围绕音高类圆逆时针或逆时针进行。一个具体的例子将有助于加强这种和弦分类的方法。

图2.4.5

图2.4.6从基本的音乐对象(E4、G4、Bf4、D5）开始——从中间C上方的E上开始的一个半减弱的和弦。然后，我们利用八度对称来产生（E3、G4、Bf3、D4）。

然后排列对称重新排列音符出现的声音，将（E3、G4、Bf3、D4）转换为（E3、Bf3、D4、G4）；现在声音的顺序对应于它们的注册顺序。

图2.4.6

然后，我们使用换位对称性将整个物体向上移动到半音中，给出（F3、B3、Ds4、Gs4）——可识别为瓦格纳的《特里斯坦》中的第一个和弦。

接下来，我们应用I对称来反转a3和Bf3之间的点周围的和弦，变换(F3，B3，Ds4，Gs4)进入（D4、Gs3、E3、B2）。

八度和排列对称可以用来给我们（E3，Gs3，D4，B4），这是特里斯坦的第二和弦。最后，我们可以使用基数的变化来创建在和弦中已经有的双音符的额外声音。

音乐分类通过信息的逐步丢弃进行

当我们把音乐理解为一系列的音高时，我们就忽略了声学信号的许多特定特征，如音色、颤音、持续时间和节奏。

当我们从音高课程的角度来思考时，我们忽略了音符出现的特定八度。为了形成和弦，我们忽略了更多的信息，只考虑一组音符的音高类别内容，而不是它们的顺序或多样性。

笔者认为：最后，我们通过关注和弦音符之间的距离而不是音高类来形成和弦类型。因此，当我们说一个物体是主和弦时，我们忽略了大量的音乐细节，留下了非常抽象的东西——围绕沥青圆的顺时针距离的有序序列。

虽然和弦、和弦类型和集合类是当代理论的核心，但它们并不是唯一需要考虑的可能性。在某些情况下可能是有用的谈论无序的音高而不是音高类，或区分多集{CCEG}。

包含两个副本的音高类C，{CEG}，只包含一个c我们可能在其他时候想要考虑“音调行”或有序序列的音高类，如（C、E、G）。

如图2.4.7所示，每一项都对应于五种光对称性的独特组合。

这些选择都代表了对音乐对象进行分类的潜在有用的方法，而且没有一个最佳的抽象程度：由于不同的音乐目的需要不同类型的信息，我们需要在如何概念化音乐方面保持一定的灵活性。

图2.4.7

为此，计算出所有32种光学对称性组合的音乐意义是很有指导意义的。

自身的音乐实体

在回顾了音乐理论的一些基本对象之后，我们的下一个任务是将音乐对象的进展或序列作为自身的音乐实体。

换句话说，我们将从基于对象的方法。这种增加的抽象水平可能有点混乱，读者可能想要准备理论上的计算水平的轻微上升。

笔者认为：我们描述的完全相同的光学对称性来对进展进行分类。主要的并发症是进展是“高阶”结构包含多个单独的对象，这意味着每个对称可以应用在两种不同的方式：我们可以应用完全相同的操作到每个对象的进展或我们可以使用不同版本的相同的对称性进展的两个对象。

取进展（C4、E4、G4）-（C4、F4、A4），第一个对象为（C4、E4、G4），第二个对象为（C4、F4、A4）。要均匀地应用排列对称，就是以完全相同的方式对两个对象进行重新排序，例如生成（E4、G4、C4）-（F4、A4、C4）。

（图2.5.1）

在个体排列过程中对两个对象进行不同的重排序，可以产生（C4、E4、G4）-（F4、C4、A4）等结果。

“个体”和“均匀”的区别也适用于其他对称：进程（C4、E4、G4）-（C4、F4、A4）可以均匀转位产生（D4、F4、F4、A4）-（D4、G4、B4），并单独产生（D4、Fs4、A4）-（Ef4、Af4、C5）。

由于这五种光学对称操作中的每一种都可以统一应用、单独应用或根本不应用，因此进展的类别比单个对象的类别要多得多。

其中两个对我们的目的特别重要：声音引导，描述单个音乐“声音”如何从一个和弦移动到另一个和弦，和弦进行，描述不考虑音乐的连续和声嗓音直观地说，语音引导可以用一些短语来表示，比如“将C大调三和弦移动到C减弱三和弦”，而和弦进行数对应于“移动C大调三和弦”。

从数学上讲，语音引线来自于排列对称的均匀应用，而弦进行则来自于排列和基数变化对称的个别应用。无论如何，声音引导和和弦进行将占据书的其余部分的我们。

我们将从音高空间中的语音引导开始，它表示从一个音高集合到另一个音高集合的映射。

图2.5.2

例如，图2.5.2a表示声音引导（G2、G3、B3、D4、F4）®（C3、G3、C4、C4、E4），其中第一和弦的声音G2转向第二和弦的C3，第一和弦的声音G3转向第二和弦的声音G3，声音B3转向C4，等等。

由于列出的整体顺序不重要，也可以将这个声音表示为（F4、D4G2B3G3）®（E4C4C3C3C4G3）；重要的是我们只描述一个和弦的音符如何移动到下一个和弦的音符。声音引导就像乐谱的原子组成部分，是复调音乐的基本组成部分。

结语

显然，图2.5.2b中引导的声音与图2.5.2a中的声音密切相关；所有改变的是一些声音出现的八度。我们可以通过写5、0、1、2、1（G、G、B、D、F）（C、G、C、C、E）——¾¾¾¾¾®来表示它们的共同之处。

这表明其中一个包含G的声音，无论它是什么八度，都会上升五个半音到C；另一个包含G的声音被保留到下一个和弦中；B通过半音上升到C；以此类推。

我将把这种无八度的语音引导称为音高级音高组之间的语音引导或音高级语音引导。箭头上方的数字（501−2−1），是音高级空间中描述声音如何移动的路径。

图2.5.2a-b中的两个音高空间语音引导都是5、0、1、2、1（G、G、G、B、D、F）（C、C、C、C、E）-¾¾¾¾¾®的实例。

图2.5.2c是这不是这个声音引导的例子，因为G向C移动了7个降半音而不是5个升半音。为简单起见，当每个声音移动的半音数在−6

因此，我将为图2.5.2a-b中领先的音高级语音写出（G、G、B、D、F）®（C、G、C、C、E）。这表明每个声音都通过最短的路径移动到目的地，任意的约定是三音上升。

参考文献：

二十世纪西方音乐回顾

欧洲音乐文化史论稿

论欧洲音乐文化史的民族性