阿基米德使用微积分作为一种前所未有的简单思维方式。另一方面，理查德·费曼认为微积分是上帝在创造这个宇宙时使用的语言。 实际上，两者都是正确的。微积分不仅是一种思维方式，也是一种解释未知事件的方法。如果我们进一步研究它，我们可以假设它们是同一件事。毕竟，语言是思想的口语形式。（让我们忽略那些不假思索的人）。

自从莱布尼茨向世界提出微积分以来，数学家和物理学家都将微积分应用于他们认为真实但无法证明的物理定律。除此之外，那些掌握数学思维的人，总是用微积分的基础——数学思维来解决身边的复杂问题。

因此毫不夸张地说，我们周围的任何事物都与微积分有关。

微积分处理不断变化的事物。更具体地说，微积分分析不断变化，帮助我们更有远见地行事。它还可以帮助我们找到最佳解决方案来解决因不断变化而出现的问题。

我们今天使用和教授的微积分分为两个主要分支：微分学和积分学。这两个人就像对立的兄弟姐妹。那是因为如果你先求一个函数的导数，然后再求它的积分，你就会回到开始的地方。

微分学处理变化率的概念。这意味着它可以帮助我们找到给定时间范围内的瞬时变化。

例子包括不断变化的东西，我们需要制作图表。血压、心率、股票市场、火箭的重量、跑步者的速度、气压和温度以及细菌数量是许多重要示例中的一部分。在分析曲线图或抛物线时，我们使用微积分来映射这些事件以找到瞬时速率。这意味着如果我们将抛物线放大到足够远并看到一条直线，我们就可以找到平均值或斜率。一个例子是，如果你看 Usain Bolt 跑步的照片，你看不到他在跑步。不过，很明显，他在跑。我们使用微积分来计算他在那个确切实例中运行的速度（瞬时速率）。

然而，在积分学中，我们找到两个确定点之间的弯曲区域。任何小学生都可以计算正方形的面积。然而，要找到弯曲部分的面积，我们必须将图形分成尽可能多甚至无限多的矩形。之后，我们找到并将所述矩形的面积加在一起，以找到对该部分面积的非常准确的估计。

在本文中，我将讨论微积分的应用，这是我研究了很长时间并在上面尝试简化的主题。我想提一下，在撰写本文时，我从Ali Nesin和Steven Strogatz等不可思议的数学家的讲座中受益匪浅。用我自己的话来说，我将尝试与您分享他们在课堂上教给学生的例子。

事实上，林肯对欧几里德几何原本的痴迷是我们如何将数学应用于现实世界的完美例子。在理论教育体系中，如果一位教师教会学生如何将他们学到的东西与现实世界联系起来，那么他们就被认为是成功的。换句话说，如果学生能够认识到他们在现实世界中学到的东西，那么它在他们的脑海中就会占有更有意义的位置。

作为一名数学老师，当我了解到这种方法时，我被迷住了。自人类被创造以来，每一位数学家和物理学家都应用数学来理解和教导他人我们生活的世界、我们的宇宙，甚至他们所信仰的上帝。古希腊人对几何的好奇源于他们努力理解这个宇宙和上帝创造了它。如果我们从这个角度来看，我们可以假设人类在几千年前就想出了正确的教育体系。更进一步，我们可以假设今天的数学和物理教师是幸运的。

不幸的是，当我们查看统计数据时，我认为我们无法得出相同的结论。数学仍然是绝大多数学生的噩梦。根据教育科学研究所的数据，大约 93% 的人经历过某种程度的数学焦虑。然而，数学是我们在现实世界中拥有的一切之间的基础桥梁。

学生无法应用他们在数学课堂之外的数学课堂中学到的知识的几率为零。

那为什么作为一般的教师，我们做不到呢？这有许多直接和间接的原因。诸如教师的表现与他们收到的薪水有关的原因，他们必须做的文书工作比教书更多的事实，学校行政部门的无关要求或使用不正确的方法等原因位居榜首。然而，在我看来，这更多是由于课程的内容。在教授与他们的课程相关的材料时，今天的教师将直接结果放在学生面前，他们没有深入研究他们所教的东西为什么有效的问题。每当学生问：“我们为什么要学习这个？” 他们完全错过了通过用一些干巴巴的、预先确定的、陈词滥调的答案来回答来迷住学生的机会。

在这辈子最让我沮丧的事情之一就是学生们很晚才被引入证明的概念。一旦学生的大脑发展出抽象思维，就应该向学生传授“证明”的概念。例如，当学生开始学习求圆的面积时，他们会记住πr²（pi 乘以 r 的平方）公式，解决一些标准问题，然后继续下一个主题。在我看来，这是数学教育中最大的错误。作为老师，我们也必须解释一下πr²这个公式是从哪里来的。因此，我们必须教授数学思维，或者换句话说，“微积分”。

虽然这对您来说似乎很荒谬，但我相信孩子学习如何证明某事是他们的基本权利之一，仅次于水、电和互联网。

更进一步，教授这种思维方法一点也不难。例如，Steven Strogatz 在他的最新著作“无穷大：微积分如何揭示宇宙的秘密”中精彩地解释了微积分的诞生，即我们如何测量圆的面积。

过去，人类很容易找到适当形状的区域。例如，正方形的面积可以使用底*高公式轻松计算。但是我们如何找到圆形等弯曲形状的面积呢？这个问题是真正的微积分之父会深思熟虑的问题。

今天很多人都知道阿基米德是发现水的漂浮特性[阿基米德原理] 的人。然而，这并不是阿基米德最重要的发现。他给人类最伟大的礼物是他在试图找到圆的面积时所应用的数学思维方法。

一个复杂的问题摆在阿基米德面前，他不知道该如何克服。过了一会儿，阿基米德发现他必须从不同的角度来处理这个问题。首先，他将问题分解成更小的部分。毕竟，管理小问题要容易得多。他先把圆圈分成四个小块，然后如下图所示排列。无论如何，新形状的面积必须与圆的面积相同。

把它发挥到极限

阿基米德解决了这个问题。他迅速更进一步，将圆圈分割成八个小块，排列如下图。阿基米德很高兴。由此产生的形状几乎是一个平行四边形。这意味着他可以使用基础*高度公式来计算面积。

阿基米德随后将圆分成 16、32 和 64 块，如果您本能地接近事件，您可能已经预料到了。圆被分成的部分越多，得到的形状就越像平行四边形。阿基米德得出结论，如果我们要无限地进行此操作，我们将得到圆的面积并开发出πr²公式。

上面神奇的例子是微积分的总结。 将人们无法解决的问题分解成更小的部分，然后在组合它们之前单独解决它们是微积分的基本思想。

是的，微积分是一种直接的思维方法。在解决微积分问题时，唯一不同的做法是无限划分为更小的部分。当获得导数或积分时，您正在无限地做一个动作。

不幸的是，我们不向我们的学生传授这个想法。我真的不知道为什么一个相信学生将他们的知识应用到现实世界的教育系统无法教给学生如此宏伟而直接的东西。 也就是说，尽管微积分对数学和科学教师来说是一种深不可测的福祉。那是因为微积分是一种我们可以用来解释我们周围一切的语言。

你还记得吗，我在这篇文章的开头提到了理查德·费曼所信奉的一个真理。对费曼来说，“微积分是上帝说话的语言。” 你们中的一些人可能会说费曼不相信上帝来反驳这种说法。然而，Steven Strogatz在耶鲁大学的“微积分之美”讲座中出色地解释了费曼为何提出这一主张。

Harman Wouk是一位屡获殊荣的作家。他一般写历史小说。他想写一部关于二战的非常详细的小说。曼哈顿计划的成果，即原子弹，将决定战争的结束。这就是为什么 Herman Wouk 想要与当时从事曼哈顿计划的年轻科学家 Richard Feynman 交谈的原因。这是因为现代最著名的科学家之一是理查德·费曼。在一次愉快的谈话之后，费曼问沃克是否懂微积分。当 Wouk 给出否定的回答时，“你最好学习它；这是上帝所说的语言， ”费曼说。

Herman Wouk 是一个信徒，并且按照 Feynman 所说的去做。他请了一位私人老师来学习微积分，他想报读高中，从基础开始学习。之后，他写了一本关于宗教和科学的书，叫做《上帝说话的语言》。》 在他的书中，有这么一段话是这样写的：

我在大学书店里挑选并浏览了大一的课本，希望能找到一本对像我这样的数学无知者有所帮助的人，他大学一年的时间都是在人文学科上度过的——Herman Wouk，The Language God Talks，第 6 页

费曼也不是为了谈话才这么说的。在他之前的许多知名科学家也都知道这个道理。例如，牛顿想知道为什么天上的月亮没有落到地球上。他心里有一些事情，但永远无法解释；他的拉丁语和英语都不足以解释它们。学习微积分后，他用微分方程向人类详细解释了奇迹般的情况。牛顿之后，数学家和物理学家利用微积分一步步构建了现代世界。

例如，他们对生活在世界另一端的人们感到好奇，并发明了无线通信以即时联系到他们。他们对每晚都看到的月亮感到好奇，并派了一个人去那里。他们想从太空边缘自由落体，并且能够计算出自由落体着陆的确切位置。肉眼看不见的原子，他们认为原子一定具有不可思议的能量，于是将其分裂，发现了核能。他们厌倦了等待九个月才能看到婴儿的性别，因此他们发明了一种了解婴儿健康状况的方法。他们制作的地图足够详细，可以从他们拍摄的卫星图像中看到单一的街道，并有效地消除了寻找回家路的困难。

几乎每个人小时候都玩过磁铁。而且，很自然地，您可能会被他们周围的无形场迷住。那是因为孩子们对设计和对称性特别感兴趣。这就是为什么中学生对铁粉在磁铁周围形成的图案感兴趣的原因。这种现象，现在称为电磁学，直到 1800 年代才得以解释。每个人都看到了磁铁周围形成的迷人形状，但没有人能解释原因。迈克尔法拉第对这个问题进行了广泛的思考，但由于缺乏足够的数学知识而无法向周围的人解释。然后，一位名叫詹姆斯麦克斯韦的不可思议的数学家认为他可以用牛顿用来解释引力的微积分来描述这种现象。

首先，麦克斯韦记下了法拉第的所有物理笔记，并在微积分的帮助下对它们进行了数学表述。然后，在不改变它们的情况下，他以不同的方式重写了这些公式。使用一个公式，他发现了其他公式，并试图用不同的视角来理解它们。最后，他找到的方程式之一就是他正在寻找的问题的答案。他把法拉第所有的知识都变成了二十个微分方程和二十个方程。这些方程式可以解释法拉第描述的磁场如何产生电磁波。他的作品后来于 1861 年 3 月以“论物理力线”的形式出版。

麦克斯韦方程组：对光、电和磁的完整描述。

当麦克斯韦更深入地分析他找到的方程时，他发现了一些更关键的东西。麦克斯韦第一个发现照亮人类世界的光是电磁波。意思是，作为人类，我们最终会知道光是什么。后来，当麦克斯韦将正确的变量代入他找到的方程时，他发现了一个更伟大的发现；光的速度。

如您所见，麦克斯韦通过微积分了解了上帝如何创造这个宇宙以及我们如何使用上帝创造的事物。这个宇宙中的一切都有一个目的，我们不能指望来自远处的光能告诉我们它来自哪里。然而，通过微积分，我们可以知道光是如何移动的，它来自哪里，以及我们如何使用它。

麦克斯韦和法拉第所经历的这段科学之旅实际上就是理查德·费曼告诉沃克的。要了解宇宙，我们必须做的就是利用微积分提供给我们的机会。不久之后，爱因斯坦和特斯拉将做麦克斯韦和法拉第在改变世界之前所做的同样的事情。麦克斯韦做过天才牛顿在他之前做过的事情。

发现微积分并学习如何使用它花了人类数千年的时间。然而，使用微积分设计现代世界的速度非常快。那是因为微积分是具有无限想象力的数学家将他们的想法应用到现实世界的桥梁。每一位新的数学家和物理学家都会增加以前科学家的知识和发现，从而做出令人难以置信的发现。

这个过程今天仍在加速进行。尽管我们普通人看不到，但微积分用于进一步现代化和改善我们的世界的用途仍在继续。这是因为，根据定义，微积分意味着“变化的数学”。” 由于这种变化是连续的，Strogatz 教授将微积分称为“连续变化的数学”。” 因此，微积分的应用每天都在持续增加。

例如，图形设计师在我们观看的动画中使用微积分，无论他们是否有意。那是因为要使他们的角色成为三维甚至超现实主义的，他们必须使用数百万个尽可能小的多边形和三角形。

当阿基米德通过反复将其分成更小的部分来发现弯曲形状的区域时，就出现了这种技术。为了求出抛物线的面积，阿基米德在里面画了一个尽可能大的三角形。然后，尽可能大，他在抛物线的空白处画了更多的三角形。既然他能求出那些三角形的面积，那么它们的组合一定很接近抛物线的面积。他能在抛物线中放入的三角形越多，他就越接近抛物线的面积。

这种情况也可以用来求圆的面积。我们知道圆只是一个有无限多条边的多边形。因此，虽然六边形不是圆形，但十二边形（12 边形的多边形）有点像圆形。如果我们画一个十二边形（120边的多边形），我们好像画了一个圆。如果我们画一个 chiliagon（1000 边形），看起来我们画了一个完美的圆。使用这个精确的逻辑，微积分今天被用来制作动画。

与圆形相比边数增加的多边形

医学领域也使用该技术制作动画电影。医生在其上进行手术的近乎人类的复制品完全是使用微积分技术制作的。在进行心脏移植之前，医生必须无数次地练习完善他们的方法，因为一个小错误可能会导致患者死亡。因此，准备好的模型必须具有完美的细节，而这些细节只能通过微积分获得。

最近，纽约面部移植计划的医生成功地将一张脸移植到失去了整张脸的烧伤幸存者乔·迪梅奥 (Joe Dimeo) 身上。为这些类型的整形手术制作的模型类型也是使用微积分制作的。

然而，微积分应用不限于弯曲形状。微积分还密切关注速度的瞬时变化率。例如，在车流中行驶时，您注意到一辆警车亮着灯等着您靠边停车。当我们靠边停车时，警官可以及时告诉我们，在给定的时刻，我们的时速为 98 m/h。正如您所想的那样，他持有的雷达枪使用一个应用微积分的程序来计算该速度。使用非常简单的数学运算，雷达枪可以找到我们汽车的平均速度。

你们中的许多人都知道，平均速度是通过将行驶距离除以行驶该距离所需的时间来衡量的。如果您在一小时内行驶 60 英里，则您的平均速度将为 60 m/h。如果你在 1 秒内走 20 米，你的速度就是 20 m/s。如果你愿意，根据所需的技术，你可以找到千分之一秒的平均速度。因此，警用雷达机器测量两点之间行进所需的时间。他们几乎无限次地将该时间范围分割以获得您的瞬时速度。这种求导的运算是微积分的另一个分支。

Usain Bolt 奥运纪录背后的数学

我们也使用警察在交通中使用的相同技术来测量奥运选手的速度。我敢肯定，每当我们提到奥运选手时，脑海中浮现的名字之一就是博尔特。我们都知道他以黄色制服和富有同情心的举止打破了难以想象的世界纪录。Usain Bolt 在 2009 年以 9.58 秒的成绩打破了 100 米世界纪录。

使用一个简单的过程，我们可以从 100/9.58 得到平均速度 10.43 m/s。然而，这种速度对我们来说意义不大。获得他在给定距离内的平均速度并不能帮助我们分析跑步。例如，如果我们找到他在那场比赛中跑出的最高速度，我们就可以更深入地讨论人类的极限。

那么我们怎样才能找到他的最大速度呢？他跑 100 米所用的时间给了我们平均速度。那就缩短距离再做手术吧。比如我们每隔10米测量一次，每10米取他的平均速度。这样做向我们表明，在某些方面，他更快，而在其他方面，他更慢。

这些测量结果会给我们他的最大速度吗？如果我们用同样的逻辑来看，没有。那是因为每10米就是一个寻找最大速度的长距离。因此，如果我们每米进行一次测量，我们将进行 100 次测量并获得更可靠的结果。当你分析图表时，你会注意到在某些部分，他比较慢。那是因为每当他把脚放下时就会产生摩擦。

如果我们本能地接近它，我们知道我们可以每秒或更短的时间找到他的平均速度。当然，要做到这一点，我们需要非常强大的机器。

空间微积分

我上面提供的速度变化分析示例在我们的日常生活中至关重要。我们几乎已经把有一天生活在太空中作为人类的目标，但这并不像登上火箭飞走那么简单。最简单的是，我们必须准确知道飞往月球的火箭何时会离开大气层，以及它在任何时候都会在太空中的哪个位置。

这意味着我们必须持续监控火箭的速度。然而，无数因素不断影响着火箭的速度。正如您所想，火箭携带燃料并用它来推动自己前进。燃料的质量在不断变化，从而改变火箭的质量并影响其速度。另一方面，火箭的推力以不可思议的力量将它推向相反的方向。那是因为，根据牛顿第三定律，每一个动作都有一个大小相等、方向相反的反作用力。另一方面，火箭必须在特定时刻脱落自身的一部分。当我们考虑所有这些参数时，我们需要找到火箭的动量变化率。我们只能用衍生品来做到这一点。

按照同样的逻辑，大气不断改变温度和压力。今天，气象学家可以使用微分方程来估计天气。

我上面提到的例子的数量可以成倍增加

总之，我们在日常生活中使用微积分来数学建模和分析我们想要的任何东西。当我们制造机器人、视频游戏、风向玫瑰、谈论血液流动、分析任何数据以及研究病毒、细菌和其他快速传播的生物时，我们总是在进入太空时使用微积分。

这就是为什么我要亲自感谢阿基米德、莱布尼茨和牛顿。