辐射场和两能级之间的相互作用是什么？

文 |小新论视界

编辑 |小新论视界

«●—【前言】—●○»

为了描述两能级原子与辐射的相互作用，我们将使用半经典处理，即辐射被视为经典电场，但我们使用量子力学来处理原子。

我们将从第一性原理计算振荡电场对原子的影响，并证明这与黄金法则总结的通常的时间依赖的微扰理论（TDPT）是等价的。

黄金法则只给出稳态跃迁率，因此不能充分描述高单色辐射的光谱实验，如射频辐射、微波或激光，其中量子态的振幅在时间上是相干的。

«●—【原子与辐射的相互作用】—●○»

在这样的实验中，阻尼时间可能小于总测量时间，从而使原子永远不会达到稳态。

从与辐射相互作用的理论中，我们将能够找到将方程简化为一组描述原子能级总体的速率方程的条件（用一个稳态解）。

特别是，对于一个被宽带辐射照亮的原子，这种方法允许我们与第一章中提出的爱因斯坦对辐射的处理联系起来；我们将根据跃迁的矩阵元素找到爱因斯坦B系数。

然后我们可以利用A21和B21之间的关系来计算上能级的自发衰减率，最后，我们将研究自然展宽和多普勒展宽在原子吸收辐射中的作用，并得出结果。

«●—【设置方程式】—●○»

我们从与时间相关的薛定谔方程开始。

哈密顿量有两部分。

哈密顿量中依赖于时间的哈密顿量，HI (t)，描述了与扰动特征的振荡电场的相互作用h0的函数。我们把能量En能级的波函数写为：

对于一个只有两个能级的系统，空间波函数满足。

这些原子波函数不是全哈密顿量H0 + HI (t)的稳态，但在任何时刻的波函数可以用它们表示如下：

或者，用简洁的Dirac ket符号（将c1 (t)缩短为c1，ω1=E1/h，等）。

标准化要求这两个时变系数都能满足。

受振荡电场影响的扰动，电磁辐射的振荡电场E = E0 cos（ωt）产生了一个由哈密顿量描述的扰动。

这对应于电场中的一个电偶极子−的能量，其中−是电子相对于原子质心的位置。

注意，我们假设电偶极矩产生于单个电子，但处理可以很容易地通过对所有原子的电子相加来推广。相互作用使这两种态的能量为e1和e2混合。

其中，ω0 =（E2−E1）/和Rabi频率Ω被定义为：

电场在原子波函数上的振幅几乎是均匀的振幅，所以我们取振幅|E0|在积分之外。

当辐射的波长大于原子的大小时，即λa为0时，这种偶极子近似就成立了。

因此，为了辐射沿x轴线性极化，E=|E0|excos（ωt），我们得到：

为了求解c1 (t)和c2 (t)的耦合微分方程，我们需要进行进一步的近似。

«●—【旋转波近似】—●○»

当所有的种群都开始于较低水平的c1 (0) = 1和c2 (0) = 0时：

当c2 (t)保持很小时，这给出了一个合理的一阶近似。

对于大多数感兴趣的情况，辐射的频率接近于ω0的原子共振，所以失谐的幅度很小，|ω0−ω|ω0，因此ω0 + ω∼2ω0，因此，我们可以忽略在花括号内有分母ω0 + ω的项。

这对于原子与二氧化碳激光器10.6µm辐射的相互作用是不是这样的，这种激光辐射的频率更接近直流，而不是原子的共振频率，例如，对于在近红外（780 nm）中有共振跃迁的铷，我们发现了ω0 15ω，因此ω0 +ω ω0−ω，因此，必须保持反向旋转项。

这是旋转波的近似值，共旋转项的模量的平方给出了在时间t时找到处于上态的原子的概率为：

或者，根据变量x =（ω−ω0）t/2：

sinc函数（sin x）/x在x = 0处有一个最大值，第一个最小值出现在x = π或ω0−ω = ±2π/t处，如图所示；频率扩散随着交互时间t的增加而减小。

辐射频率的激发概率函数在原子共振处有一个最大值，线宽与交互时间成反比。

该函数sinc2还描述了光通过单个狭缝时的夫琅和费衍射——衍射角随着孔径宽度的增加而减小。

«●—【爱因斯坦B系数】—●○»

在前面，我们发现了电场E0 cos（ωt）对原子的影响。

为了将这与爱因斯坦对与宽带辐射相互作用的处理联系起来，我们考虑了在频率间隔ω到ω+dω中的能量密度ρ (ω)的辐射发生了什么。

这就产生了一个由ρ (ω) dω =0 E0 2 (ω)/2给出的振幅E0 (ω)的电场。

宽带辐射的激发概率为：

我们对振幅的平方进行积分，而不是取总振幅的平方，因为在不同的频率下的贡献不受干扰。

与sinc函数的范围相比，积分∆的范围必须很大，但这很容易实现，因为随着时间的增加，这个函数在ω0急剧峰值。

在关于ω0的小范围内，sinc函数有一个可观的值，像ρ (ω)这样的平滑函数变化很小，所以我们将ρ（ω0）取在积分之外。如果将变量更改为x =（ω−ω0）t/2，则会导致：

该集成具有x = ±φ =的±∆t/4π，该积分近似于∞−∞x−2sin2xdx=π。我们采用一个长时间相互作用的假设来寻找宽带辐射的稳态激发率。

从1级到2级的概率随时间线性增加，对应的过渡率为：

与爱因斯坦处理辐射中的上升速率B12ρ (ω)的比较表明：

其中|X12| 2→|D12| 2 /3，和D12是矢量的大小1/3的因子来自于D·误差的平均，其中误差是沿电场的一个单位向量，在原子的所有可能的空间方向上。

其中，α=e2/（4π0hc）为精细结构常数。在上述方程中，初始态和最终态之间的矩阵元依赖于一个涉及原子的电子波函数的积分。

因此，正如前面所强调的，爱因斯坦系数是原子的性质。

虽然我们没有对自发发射给出物理解释，但爱因斯坦的论点允许我们计算它的速率；他得到了A21和B21之间的关系，我们使用TDPT从原子波函数中确定了B21。

对于一个允许在能级之间跃迁的两能级原子，量子力学结果与经典电磁学处理辐射衰变密切相关。

«●—【与单色辐射的相互作用】—●○»

前面的推导假设单色辐射对原子的扰动很弱，因此大部分粒子保持在初始状态。

我们现在将找到一个不假设一个弱场的解。我们将它写成：

带有（ω + ω0）t的项振荡非常快，因此在任何合理的相互作用时间内平均为零——这是旋转波近似，它导致：

这些结合起来：

通过对初始条件c1 (0) = 1和c2 (0) = 0的二阶微分方程的解，给出了处于上状态的概率为：

在共振网站上，ω = ω0和W = Ω，所以：

人口在这两个层次之间摇摆。当Ωt = π时，所有种群从第1级进入上状态，|c2 (t)| 2 = 1，当Ωt = 2π时，原子返回到下状态。

这种行为完全不同于由速率方程控制的两能级系统，在速率方程中，当激发速率的增加时，种群趋于相等，而种群不能发生反转。

这些在两个能级之间的拉比振荡很容易在射频光谱学中观察到，例如在塞曼态或超精细态之间的跃迁。

射频和微波跃迁的自发发射可以忽略不计，因此，在大多数情况下，原子是相干演化的，因为磁偶极子跃迁比电偶极子跃迁具有更小的矩阵元素。

对于光学区域的电偶极子跃迁，自发发射在几十纳秒的时间尺度上洗去拉比振荡（τ = 1/A21，假设主要衰减从2到1，我们在上面估计了A12）。

然而，实验人员通过用强激光辐射驱动跃迁来观察到相干振荡，从而获得一个高拉比频率（Ωτ > 1）。

«●—【π脉冲和π/2脉冲的概念】—●○»

共振辐射脉冲的持续时间tπ = π/Ω称为π-pulse，从公式7.29我们看到Ωt = π导致人口从一个状态转移到另一个，例如一个原子最初在|1最终在|2后脉冲。

这与宽带辐射的照明形成了对比，在宽带辐射中，随着能量密度ρ (ω)的增加，种群（每个状态）变得相等。更准确地说，π脉冲以叠加的方式交换状态。

这种交换操作有时也表示为|1↔|2，但−i的因子在原子干涉测量中很重要。

干涉测量实验也使用π/2脉冲，其持续时间只有π脉冲的一半（对于相同的拉比频率Ω）。对于最初处于|1状态的原子，π/2脉冲将其波函数转换为具有相同振幅的状态|1和|2的叠加。

«●—【冉赛条纹】—●○»

前面我们介绍了如何计算一个两能级原子对辐射的响应，接下来我们将把这一理论应用于射频光谱学。

然而，当线宽受到有限相互作用时间的限制时，同样的原理是重要的，无论是在原子物理中还是更普遍的。

我们将计算一个原子受到两个脉冲辐射的影响会发生什么，因为这样的双脉冲序列对精确测量具有良好的特性。

一个与正方形辐射脉冲相互作用的原子，即从时间t = 0到τp的振幅不变的振荡电场，否则为E0 = 0。

作为辐射频率与（角度）共振频率ω0的频率失谐的函数。如下所述，由sinc2函数的第一个最小值给出的频率分布对应于一个宽度。

频率分布与交互时间成反比。

我们现在将考虑，当一个原子与两个独立的辐射脉冲相互作用时，会发生什么，从时间t = 0到τp，再从t = T到T + τp。

这是两个脉冲后激发到上层的振幅（t > T + τp）。这个表达式中的第一项是由第一个脉冲产生的振幅。

在这个近似情况下，与第二个脉冲的相互作用产生一个类似的项乘以exp[i（ω0−ω）T]的相位因子。

单独作用的任何一种脉冲都会以同样的方式影响系统。

其中，δ = ω−ω0为频率失谐，双脉冲序列产生的信号形式如图上述所示。

这些被称为拉姆齐条纹在诺曼拉姆齐之后，他们有一个非常相似的干涉条纹在一个年轻的双缝实验光学夫琅霍夫衍射光波k从两个缝宽度和分离d导致强度分布作为角θ的函数：

与sinc2成比例的整体包络线来自于单缝衍射。

对于被两个辐射脉冲激发的原子，当δT/2 = π/2时，激发从ω = ω0的最大值下降到零（或在π/4时达到最大值的一半）；因此，中心峰的宽度（FWHM）为∆ω=π/T，或等效。

这表明，由时间T分开的两个相互作用的拉姆齐条纹的宽度是单个长相互作用的信号宽度的一半持续时间T (cf。方程n7.50)；此外，通常最好有两个分离的相互作用区域。

«●—【总结】—●○»

在实践中，微波实验使用强激发而不是弱激发（如上假设）来获得最大信号，即|c2|2约等于1。

这并不改变拉姆齐条纹的宽度，如考虑由时间T分开的两个π/2脉冲所示。

如果两个脉冲之间没有相移积累，它们加在一起作为一个π脉冲，将所有的种群转移到从布洛赫球的北到南极的上层状态。

但如果π的相对相移在时间间隔T期间产生，那么在两个脉冲产生的上部状态的振幅之间就存在破坏性干扰。

参考文献：

原子在单色辐射作用下长时间内的行为研究[J]. 刘月新.光子学报,2006(06)

光波偏振态的静态测量研究[J]. 路绍军.科学技术与工程,2016(25)

爱因斯坦的思维方式[J]. 沙玲.小康,2019(34)

Kalampounias Angelos G. Vibrational relaxation of monomeric and self-associated acrylonitrile species in solutions[J] Vibrational Spectroscopy, 2021, 117

Mikhelashvili V.;Eyal O.;Khanonkin I.;Banyoudeh S.;Sichkovskyi V.;Reithmaier J. P.;Eisenstein G. On the relationship between electrical and electro-optical characteristics of InAs/InP quantum dot lasers [J] Journal of Applied Physics,2018