终于把机器学习要复习的线性代数的几个知识点学习完了，现在开始学习微分、积分、导数、泰勒展开公式、梯度、概率论等。学习过程中会发现微分、积分、导数、泰勒展开公式联系非常紧密。

这次学习微积分找到了单维彰教授的视频，单从技术领域来说，单维彰教授的微积分讲的还是挺好的。

现在开始学习微积分

函数 VS 微分

函数 x = x(t)，设x为位置(km)、t为时间(hr)。如果位置和时间变化很大的话，很容易得出结果；如果位置和时间变化非常非常小，无法用常规方法识别，这种情况下该怎么办呢？

对于瞬间变化引入了微分的概念：

x (速度)=

一滴代表瞬间的变化，这里将d作为变量，那么就将瞬间的变化叫做一滴滴的变化。一滴滴x的变化除以一滴滴t的变化，就求出了单位要求下的瞬间变化，求瞬间变化率也就是x的结果的这个过程，就是微分的求解方式。

求(平均速度)，分析下，若 t = a，则分母不能为0，这个式子不成立。微分上对定义表达式为

面积 VS 积分

已知有 y = f(x)，x ∈ [a,b]；求x轴上f(x)垂直下来线段的面积，一个直线的面积按照常理推论不好求，但是将直线无限放大，它也是有宽、高的。设宽有一滴滴x长，即dx。则垂直线段一滴滴面积为dx*f(x)。求解垂直线段面积这种形式的解题过程就是(定)积分的表现。

积分符号由summation演变而来：Summation --> S -->

表示一滴滴的x面积

这里延伸一下：表示离线的一大堆东西加在一起；表示连续的一大堆东西加在一起

多项式函数的局部圆形像直线

附近的函数图形以点(a,f(a))为中心的小正方形内所画的函数图形就叫做f(x)在 x = a 的局部图形

f(x)在x=a的局部图形

放大上图中f(x)=x²中，以(1,1)为中心，边长为1的正方形，正方形中的线段有点直。如果再以(1,1)为中心，边长为0.1画正方形。放大该正方形，则线段几乎就像一条直线。

数学家们经过多次论证，证明：多项式函数的局部图形像一条直线

泰勒多项式

由除法原理 F ÷ P = Q ... r 得 F = PQ+r。或许对这个公式不是很理解，下面举一个例子，证明一下。比如，17 ÷ 3 = 5 ... 2 等价于 17 = 3 × 5 + 2 这个公式在处理复杂计算题时会频繁用到，等后面用到F ÷ P = Q ... r 得 F = PQ+r时会有豁然开朗的感觉。

下面看一个3次方得除法化简，已知(+ + x + 1 ) ÷ ( x - 1)

通过下图中得综合除法得(+ + x + 1 ) ÷ ( x - 1) = + 2x + 3（商）... 4（余）

综合除法

由 F ÷ P = Q ... r 推出 F = PQ + r 推出：

(+ + x + 1 ) ÷ ( x - 1) = + 2x + 3 ... 4

(+ + x + 1 ) = ( + 2x + 3 ) ( x - 1) + 4

继续优化( + 2x + 3 ) ÷ ( x - 1 )得

( + 2x + 3 ) ÷ ( x - 1 ) = ( x + 3 )...6

( + 2x + 3 ) = ( x + 3 )( x - 1 ) + 6

(x² + 2x + 3 ) ÷ ( x-1 )综合除法求解

继续对( x + 3 ) ÷ ( x - 1 )进行优化得

( x + 3 ) ÷ ( x - 1 ) = 1 ... 4

( x + 3 ) = ( x - 1) + 4

( x + 3 ) ÷ ( x - 1 )综合除法求解

由以上例题推论可得出

+ + x + 1

= ( + 2x + 3 ) ( x - 1) + 4

= ( ( x + 3 )( x - 1 ) + 6 )( x - 1) + 4

= ( x + 3 )( x - 1 )² + 6( x - 1 ) + 4

= ( ( x - 1 ) + 4 )( x - 1 )² + 6( x - 1 ) + 4

= + 4( x - 1 )² + 6( x - 1 ) + 4

由上得出+ + x + 1为+ 4( x - 1 )² + 6( x - 1 ) + 4降幂排列得式子

常数项为第一次运算得余数，一次项系数为第二次运算得余数，二次项系数为最后一次运算得余数，三次项系数为最后一次运算得出的系数

将得出的式子按升序排列，+ + x + 1 = 4 + 6( x - 1 ) + 4( x - 1 )² + ,升序排列的式子和上图做比照是不是更清晰了呢？

由此可得出： + + x + 1是以1为参考点的泰勒(Taylor)多项式，泰勒形式是4 + 6( x - 1 ) + 4( x - 1 )² +

经过一系列推算求导引出了泰勒多项式，为了加深印象，再看一个例题：

- x² - x + 1是以 -1 为参考点的泰勒多项式 -1 + 7(x+1) - 7(x+1)² +

先分析一下上面的式子：- x² - x + 1是以 -1 为参考点的泰勒多项式先理解为(- x² - x + 1) ÷ ( x + 1 )，还是利用综合除法进行求解

由上图综合除法可知：- x² - x + 1以 -1 为参考点的泰勒多项式等于

-1 + 7( x + 1 ) - 7(x+1)² +

做完这个例子，是不是感觉泰勒多项式很有意思呢！

前面两个例子可以看出，泰勒多项式第一次算法的余数就是函数值，下图可以更直观的展现

泰勒形式的一次系数

已知f(x) = + + x + 1 ，求f(0.98)的百分位估计值

对该题进行分析：

①f(x) =

=
由上面的式子可知，求f(0.98)的百分位估计值，只求到f(x) = 即可，后面的式子可省略。

②f(x) = + + x + 1

= +(x-1) + (x-1)² +

求f(0.98)的百分位估计值，可以令x=1,求出f(1) = = 4

现在已经知道 f(0.98) = +(x-1) = 4 + ( 0.98 - 1 )

= 4 + 0.02

③接下来求一次项的系数

f(x) = +++...+

当x=a时f(x) = f(a)且f(0.98)的百位估计值可求到一次项

则f(x)=f(a)++
f(x)=f(a)+ 等价于 f(x) = × ( x - a ) + f(a)

(注：根据F ÷ P = Q ... r 得 F = PQ+r得出上式)

∵ Q ÷ ( x - a ) = R (商)... (余数)

∴ Q = R ( x - a ) +

∴f(x) = × ( x - a ) + f(a)

= (R ( x - a ) +)( x - a ) + f(a)

= R( x - a )² + ( x - a ) + f(a)

= f(a) + ( x - a ) + R( x - a )²

∵ 求解百分位，所以二次方以后得数可以省略

∴ f(x) = f(a) + ( x - a )关键在这，是以a为参考点得商式

由f(x) = + + x + 1 = ( x² + 2x + 3)( x - 1 ) + 4得

就等于 ( x² + 2x + 3)
前面说到f(0.98) = +(x-1) = 4 + ( 0.98 - 1 )= 4 + 0.02

当x取1时， = x² + 2x + 3 = 6 （这种求法是不是和综合除法求出得一次项系数值一样呢，对，是一样的）

则f(0.98) ≈ 3.88

通过计算机算出得f(0.98)得真实值为3.881592，近似值是不是和真实值很接近呢

本次是求解百位数得近似值，泰勒多项式一次项后边的式子可以省略。实际需求中若求百万位，那后面得式子都要算，根据项目估算式子求到哪一步

泰勒一次项系数即导数

f(x) = 得以a为参考点得泰勒表达式为

+

则称是f以a为参考点得泰勒形式之一次项系数

是由f和a决定得一个数，给它一个符号： =

是由f和a导出来得一个数，称为f在a的导数

多项式函数的切线与导数

多项式函数f(x)以a为参考点的泰勒多项式f(a)+m(x-a)+...在a的切线方程式为 y = m(x-a)+f(a)

f在a的切线斜率称为f在a的导数，记作

f(x)在a的切线方程式为 y = ( x - a ) + f(a)

f(x) = - 3x² + 2x + 1以0为参考点的泰勒多项式为 1 + 2x - 3x² +

在 x = 0的切线方程式为 y = 2x + 1

f在0的导数：= 2

如下图，x=0时，f(a) = 1，切线与曲线相交部分近乎直线

f(x)以1为参考点的泰勒多项式为 1- ( x - 1 ) + ...

在 x = 1的切线方程式为 y = 1 - ( x - 1 ) = 2 - x

则

f(x)以2为参考点的泰勒多项式 1 + 2( x - 2 ) + ...在 x = 2的切线方程式y = 1 + 2(x - 2) = 2x -3
则 = 2

导数基本公式

当f(x) = (该式子为单项函数，且n≥2），做q(x)是f(x) ÷ ( x-a )的商,求

÷ ( x - a ) = ( ) ...

f(x)综合除法求解

= +( )( x - a )

= + ( x - a ) + ......

在泰勒形式的一次系数中推到过等于对第一次除(x-a)的得到的商进行第二次除(x-a)得到的余数，这个余数也等于当 x = a 时的第一次除(x-a)的得到的商

高中时学过一个公式：

当x=a时，第一次除(x-a)的得到的商：

( )

=（）

=

∴ =

推出基本公式：当 f(x) = 时，=

看几个例子：

当f(x) = x²时， = 2 * = 4

当f(x) = 时， = 3 * = 3

当f(x) = 时， = 4 * () =

做了上面三个例题是不是感觉有点别扭，当x得到具体值需要换算成a还要看n是多少？有没有简单便捷的推导式呢？继续往下看

代入 x = a

令则就是代入 x = a时的数值，新的导出来的的函数称做 f 的一阶导函数

基本公式(导函数形式)

当f(x) = 时，=

故=

(1)若f(x) = x²， f'(x) = 2, f'(2) = 2 × 2 = 4

(2)若f(x) = , f'(x) = 3 =3 * x² , f'(-1) = 3

(3)若f(x) = , f'(x) = 4 = 4*,f'() =

微分的系数积法则

看第一个性质：[c*f(x)]' = c*f'(x)

f(x) ÷ （ x - a ）= q(x) ... f(a) f(x) - f(a) = q(x) * ( x - a )

(c * f(x)) - (c * f(a)) = c * q(x) * ( x - a)则(c * f(x)) ÷ ( x - a ) = c * q(x)...c * f(a)

所以 c * f(x) = c * q(x) ( x - a) + c * f(a)

注：c ≠ 0

一阶导数的值是对商进行处理，代入常数a求值

f'(a) = q(a)

(c * f(x))' = c * q(a) = c * f'(a)

例 当f(x) = 3x²

f'(x) = (3 * x²)'

= 3 * (x²)'

= 3 * (2x)

= 6x

当 f(x) = -

f'(x) = (-1 * )'

= -1 * ()'

=-1 * (4)

f'() = -1 * (4 * ) = -

微分的加法性质

1的导数是0

有两种方法可证明1的导数为0

① 1 =

∵ 等式左边只有常数项，没有一次项，二次项...n次项

∴ = 1,

∴ [1]' = = 0

② f(x) = 1 =

f'(x) = n * = 0 * = 0

微分的性质2 [f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)

当 f(x) = x² + 1

f'(x) = [ x² + 1 ]'

=(x²)' + [1]'

= 2x + 0

=2x

当f(x) = + x² + 2x + 1

f'(x) = (+ x² + 2x + 1)'

= ()' + (x²)' + (2x)' + [1]'

= 3x² + 2x + 2*(x)' + 0

= 3x² + 2x + 2* 1 + 0

= 3x² + 2x + 2

看了两个例子，推导一下性质2

若f(x) ÷ ( x - a ) = q(x) ... f(a)

则f(x)-f(a) = q(x)( x - a )

若g(x) ÷ ( x - a ) = p(x) ...g(a)

则g(x)-g(a) = p(x) * (x-a)

(f(x)+g(x))-(f(a)+g(a)) = (q(x)+p(x))( x - a )

则(f(x)+g(x)) ÷ ( x - a ) = (q(x)+p(x))...(f(a)+g(a))

商为q(x) +p(x)，(f(x)+g(x))' = q(x) + p(x)

∵ q(x)、p(x)是f(x)+g(x)的商

所以(f(x)+g(x))' = f(x)' + g(x)'

导数的极限记号

微分是求导数的过程，是一个动词、程序

（1）除法程序

设f(x)是一个多项式函数，则 f(x) ÷ ( x - a ) = q(x) ... f(a)；f'(a) = q(a)

再温习下一个公式，2个性质：

一个公式：[]' = n*

两个性质：①[c*f(x)]' = c*f'(x) ②[f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)

例 f(x) = + 2x - 1

f'(x) = 3x² + 2

则f'(-2) = 3*(-2)² + 2 = 14

做导函数比做多项式除法简单很多

（2）极限记号

f(x) - f(a) = g(x) * ( x - a )

当 x ≠ a 时，同除以 x - a

g(x) =

欲代入 x = a，用= f'(a)

切线与一次估计

(一阶)导数的应用

（1）求 y = f(x)的曲线在x=a处的切线方程式f(x) = + ...

切线方程式 y = f'(a)( x - a ) + f(a)

例 f(x) = + x² + x + 1

f'(x) = 3x² + 2x + 1

当x = 1时，f(1) = 4 f'(x) = 6

y = f'(1)(x-1) + f(1)

= 6(x-1) + 4

则f(x) ≈ 6(x-1) + 4

当 x = 0.97时，f(0.97) ≈ 6(-0.03) + 4 = 3.82

真值是3.823573

（2）一次估计

f(x) ≈ ,求f(0.97),精确到百分位

f(x) ≈ f'(a)(x-a) + f(a)是f在a的一次估算

用f在1的一次估算后求解f(0.97)

扩张的基本公式

先熟悉一个微分乘法公式：[fg]' = f'g + fg'，这个公式在后面扩张的基本公式证明时会用到

现在说该部分的重点内容：扩张的基本公式

由 = 得扩张公式=

例：=

扩张公式是不是很简单呢？它不止简单也很实用，下面证明扩张公式

证明用到了数学归纳法：

当n=0为非正整数时

∴当n=0时检查成立

当n=1时

== - 0 = 1

= 1 *

∴当n=1时检查成立

假设当n=k-1时成立，则考虑n=k的情况

=

=

=+

注：上式用到微分乘法公式[fg]' = f'g + fg'

=1 *+

注：上式中假定n=k-1成立，得出

= 1 *+

=( 1 + k - 1 )

= k

∴ 公式对所有正正数都成立

经过证明推导， = 得扩张公式=，也可以理解为为平移的单项函数

高阶导数与泰勒系数

一阶导数记做，二阶导数记做,三阶导数就是记做,那么四阶导数、五阶导数、六阶导数等等怎么表示呢？四阶导数：,五阶导数：,六阶导数：......

例：

已知：f'''(x) = [ 6x + 2 ]' = 6 + 0 = 6

则：= [f'''(x)]' = [ 6 ]' = 0

高阶导数的一般公式为

下面证明

f(x) =

代入x=a，发现f(a) =

左右微分 f'(x) =

代入x=a，发现f'(a) =

再对f'(x)左右微分 f''(x) =

代入x=a，发现f''(a) = 2 , = f''(a)

再对f''(x)左右微分 f'''(x) =

代入x=a，发现f'''(a) = 6, = f'''(a)

......

概括： = *(a)； = ；= ......

即

例： f(x) = + x² + x + 1 求f(0.97)

①估算

∵ f(x)的泰勒多项式为4+6(x - 1)+4(x - 1)²+

注：泰勒多项式综合除法求得

∴ f(0.97) ≈ 4 + 6(x - 1) = 3.82

②确算

f(x)以1为参考点的泰勒多项式为

当x=1时 ，f(1) = 4 =

怎么求呢？这次运用求解

∵ f(x) = + x² + x + 1

左右微分f'(x) = 3x² + 2x + 1

∴ = f'(x)

左右微分f''(x) = 6x + 2

∴ = f''(x)

左右微分f'''(x) = 6

∴ = * 6 = 1

当x=1时，= 6， = 4

所以f(x) = 4 + 6(x-1) + 4(x-1)² +

f(0.97) = 4 + 6(0.97-1) + 4(0.97-1)² +

= 4 - 0.18 + 0.0036 - 0.000027

= 3.823573

好了，本篇先到这了，下一篇继续学习交流微积分

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