在我国，对空间图形的研究起源很早。由于建筑城墙，开掘沟渠等工程需要计算体积，所以在《九章算术》中的“商功章”以及魏晋时期著名数学家刘徽所著的《九章算术注》中介绍了当时的算法。今天，就让我们走进历史的长河，来看看中国古代数学史中的体积计算。

1 堑堵 阳马 鳖臑

刘徽曾在《九章算术注》中多次运用堑（qiàn）堵、阳马、鳖臑（nào）等几何体来验证并推导立体体积的算法。那么什么是堑堵、阳马和鳖臑呢？实际上，这些几何体我们并不陌生。

刘徽首先从几何形状的角度解释“堑堵”（底为直角三角形的直三棱柱）：

邪解立方得两堑堵；虽复随方，亦为堑堵，故二而一。

这句话说明把正方体或长方体过一组相对面的对角线平分得到两个（体积）一样的堑堵。

刘徽又提到：

推其物体，盖为堑上叠也。

这说明作为实物的堑堵可能是叠在沟堑上面的一种设施，也许这就是“堑堵”之名的由来。

沟堑

阳马为何物？刘徽在术文下注云：

阳马之形，方锥一隅也。

意思是阳马的形状，就是方锥（正四棱锥）的一个角，并且他又补充说：

今谓四柱屋隅为阳马。

这便是从实际生活中的情况来说明阳马作为实物指的是什么。

阳马

鳖臑则指的是各个面都为直角三角形的四面体。刘徽在做注时，侧重于解释鳖臑的字面含义：

“

臑者，臂骨也。或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。

鳖臑

刘徽还通过立体的分解和组合来阐述堑堵、阳马、鳖臑这三者的关系：

“

邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

这指的是把一个立方（正方体或是长方体）斜向分解成两个堑堵，再把堑堵斜向分解得到一个阳马和一个鳖臑，两者的体积比总是2：1（不易之率）。

实际上，在《九章算术》原著中“商功章”给出了“阳马”的体积公式：三条直角边乘积的三分之一。这与刘徽后来提出的“不易之率”（阳马与鳖臑的体积比为）的说法是等价的。但是《九章算术》原著中并没有给出证明。刘徽则尝试运用极限的方法对其进行解释，并将其记录在了《九章算术注》中。

2 不易之率

刘徽欲证明阳马体积Y和鳖臑体积B之比为2:1，又由于堑堵的体积是长方体的一半，由此即可推出阳马体积公式为

其中a,b,c分别为长方体的三边之长。

刘徽认为，命题Y:B=2:1应对任意长方体都成立，这个比率称为“不易之率”，意即对所有长方体都保持不变的比率.刘徽用一种极限的过程对他的命题给出了一般的证明。

如图，取阳马各棱的中点并联结，可将阳马分割为1个小长方体、2个（一样的）小堑堵、2个（一样的）小阳马。

同样地，可将鳖臑分割为2个（一样的）小鳖臑和2个（一样的）小堑堵。

容易得到，阳马中除去2个小阳马的部分的体积（记为）为鳖臑中除去2个小鳖臑的部分的体积（记为）的2倍，即

而它们合在一起（刘徽称其为“已知”部分）的体积应占原堑堵体积的。

因此，剩余部分（即2个小阳马加2个小鳖臑，刘徽称其为“未知”部分）的体积应占原堑堵的体积的。

若分别用记每个小阳马和小鳖臑的体积，则有

其中，与的比是未知的。但实际上，我们可以如法炮制，继续对每个小阳马和小鳖臑进行同样的分割，就有

由此，对第次分割，其中在“已知”部分中总有，至于“未知”部分的体积，刘徽指出，随着分割得越来越细，它将无限趋近于0。刘徽对这一过程的描述是：

半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉？

将这一过程无限进行下去，在极限的情况下就得到了“不易之率”：Y:B=2:1。

3 刘徽的无限思想

刘徽的极限方法在今天看来也十分精彩，在刘徽的观念中，分割到最后的结果得到一个“至细”，“无形”的东西，这一点可以从他的思想渊源上得到解释。

实际上，刘徽受墨家的思想影响很深。墨家曾提出“非半弗斫”命题：

非半弗斫，则不动，说在端。

这是认为对于给定长度的木棍，做连续取半的分割操作，到了不能再取半时，就不能用刀砍了，这时就会出现不动的“端”，这里的“端”指的就是没有大小，量度为零的东西。

其次，从道家思想看，刘徽这里用的“微”和“无形”两个概念，在刘徽所处的时代之前就已有密切的联系。《庄子·秋水》中云：

河伯曰:世之议者皆曰:“至精无形……” 北海若曰：“……夫精，小之微也；夫精粗者，期于有形者也；无形者，数之所不能分也；不可围者，数所不能穷也”。

这里，“微”和“无形”通过概念“精”联系起来，体现了道家强调精微细小到极点就“无形”的极限思想。

刘徽运用同样的思想方法提出了著名的“割圆术”，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来接近圆，从而计算圆周率:

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.

刘徽大胆地直接用无限过程来处理数学问题，这与中国古代数学注重实际讲求直观的传统相一致。从中国古代哲学思想的渊源来看，刘徽在无限过程的运用上和墨、道两家也是一脉相承的。

参考文献

[1]邹大海,夏庆卓.刘徽对《九章算术》中立体的辨名[J].自然辩证法通讯,2021,43(04):47-54.

[2]李文林.学一点数学史——谈谈中学数学教师的数学史素养[J].数学通报,2011,50(04):1-5.

[3]邹大海.刘徽的无限思想及其解释[J].自然科学史研究,1995(01):12-21.

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来源：大小吴的数学课堂

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