关注公众号 后端搬运工《王者编程大赛之五 — 最短路径》
外卖平台为了让骑手能在一天里送出更多的外卖，需要不断的优化从商家 A 到用户 G 的路径或者商家 B 到用户 E 的路径及距离。
请写出一种算法给你任意图中两点，计算出两点之间的最短距离。注：A B C D E F G H 都可能是商家或者用户，点与点之间是距离。
解题思路
该题是求解无向图单源点的最短路径，经常采用 Dijkstra 算法求解，是按路径长度递增的次序产生最短路径。
算法理论
Dijkstra 算法是运用了最短路径的最优子结构性质，最优子结构性质描述为：
P(i,j) = {Vi,...,Vk,...Vs,Vj} 是从顶点 i 到 j 的最短路径，顶点 k 和 s 是这条路径上的一个中间顶点，那么 P(k,s) 必定也是从 k 到 s 的最短路径。
由于 P(i,j) = {Vi,...,Vk,...Vs,Vj} 是从顶点 i 到 j 的最短路径，则有 P(i,j) = P(i,k) + P(k,s) + P(k,j)。若 P(k,s) 不是从顶点 k 到 s 的最短路径，那么必定存在另一条从顶点 k 到 s 的最短路径 P’(k,s)，故 P’(i,j) = P(i,k) + P’(k,s) + P(k,j) < P(i,j)，与题目相矛盾，因此 P(k,s) 是从顶点 k 到 s 的最短路径。
根据最短路径的最优子结构性质，Dijkstra 提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点 Vo，首先选择其直接相邻的顶点中最短路径的顶点 Vi，那么可得从 Vo 到 Vi 顶点的最短距离 D[j] = min(D[j], D[j] + matrix[i,j])（matrix[i,j]) 为从顶点 Vi 到 Vj 的距离）。
假设存在图 G={V,E}，V 为所有顶点集合，源顶点为 Vo，U={Vo} 表示求得终点路径的集合，D[i] 为顶点 Vo 到 Vj 的最短距离，P[i] 为顶点 Vo 到 Vj 最短路径上的顶点。
算法描述为：
1）从 V-U 中选择使 D[i] 值最小的顶点 Vi，将 Vi 加入 U 中；
2）更新 Vi 与任一顶点 Vj 的最短距离，即 D[j] = min(D[j], D[j] + matrix[i,j]) ；
3）直到 U=V，便求得从顶点 Vo 到图中任一一点的最短路径；
例如，求 CG 最短路径，算法过程可图示为：
源顶点 Vo = C，顶点与索引关系为 A→H = 0→7，初始时：
- U = {false, false, false, false, false, false, false, false}
- D = {INF ,INF, 0, INF, INF, INF, INF, INF}
- P = { {}, {}, {C}, {}, {}, {}, {}, {} }
将顶点 C 包含至 U 中：
- U = {false, false, true, false, false, false, false, false}
更新顶点 C 至任一节点的距离：
- D = {6, 9, 0, 11, INF, INF, INF, INF}
- P = { {C,A}, {C,B}, {C}, {C,D}, {}, {}, {}, {} }
再选择不在 U 中的最短路径顶点 A，则将 A 包含至 U 中：
- U = {true, false, true, false, false, false, false, false}
更新顶点 A 至任一节点的距离：
- D = {6, 9, 0, 11, INF, 25, INF, INF}
- P = { {C,A}, {C,B}, {C}, {C,D}, {}, {C,A,F}, {}, {} }
继续选择不在 U 中的最短路径顶点 B，则将 B 包含至 U 中：
- U = {true, true, true, false, false, false, false, false}
更新顶点 B 至任一节点的距离：
- D = {6, 9, 0, 11, 16, 25, INF, INF}
- P = { {C,A}, {C,B}, {C}, {C,D}, {C,B,E}, {C,A,F}, {}, {} }
以此类推，直到遍历结束：
- U = {true, true, true, true, true, true, true, true}
- D = {6, 9, 0, 11, 16, 21, 33, 16}
- P = { {C,A}, {C,B}, {C}, {C,D}, {C,B,E}, {C,B,E,F}, {C,B,E,F,G}, {C,D,H} }
因此，CG 的最短距离为 33，最短路径为 C-B-E-F-G。
编码实现
实现的代码如下，并将一一详细说明。
define('MAX', 9999999999);
class Path
{
//图对应索引数组
public $indexMatrix = array();
//顶点与索引映射关系
public $indexMap = array();
public $startPoint;
public $endPoint;
public $len = 0;
//最短距离
public $D = array();
//已寻找集合
public $U = array();
//最短路径
public $P = array();
public function __construct(array $matrix, $startPoint, $endPoint)
{
$this->indexMap = array_keys($matrix);
$this->len = count($matrix);
array_walk($matrix, function(&$value) {
$value = array_values($value);
});
$this->indexMatrix = array_values($matrix);
$this->startPoint = array_search($startPoint, $this->indexMap);
$this->endPoint = array_search($endPoint, $this->indexMap);
$this->init();
}
public function init()
{
for ($i = 0; $i < $this->len; $i++) {
//初始化距离
$this->D[$i] = $this->indexMatrix[$this->startPoint][$i] > 0 ? $this->indexMatrix[$this->startPoint][$i] : MAX;
$this->P[$i] = array();
//初始化已寻找集合
if ($i != $this->startPoint) {
array_push($this->P[$i], $i);
$this->U[$i] = false;
} else {
$this->U[$i] = true;
}
}
}
public function getDistance()
{
return $this->D[$this->endPoint];
}
public function getPath()
{
$path = $this->P[$this->endPoint];
array_unshift($path, $this->startPoint);
foreach ($path as &$value) {
$value = $this->indexMap[$value];
}
return $path;
}
}
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Dijkstra 算法求解：
public function dijkstra()
{
for ($l = 1; $l < $this->len; $l++) {
$min = MAX;
//查找距离源点最近的节点{v}
$v = $this->startPoint;
for ($i = 0; $i < $this->len; $i++) {
if (!$this->U[$i] && $this->D[$i] < $min) {
$min = $this->D[$i];
$v = $i;
}
}
$this->U[$v] = true;
//更新最短路径
for ($i = 0; $i < $this->len; $i++) {
if (!$this->U[$i] && ($min + $this->indexMatrix[$v][$i] < $this->D[$i])) {
$this->D[$i] = $min + $this->indexMatrix[$v][$i];
$this->P[$i] = array_merge($this->P[$v], array($i));
}
}
}
}
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接收标准输入处理并输出结果：
//图
$matrix = array(
'A' => array('A' => MAX, 'B' => 15, 'C' => 6, 'D' => MAX, 'E' => MAX, 'F' => 25, 'G' => MAX, 'H' => MAX),
'B' => array('A' => 15, 'B' => MAX, 'C' => 9, 'D' => MAX, 'E' => 7, 'F' => MAX, 'G' => MAX, 'H' => MAX),
'C' => array('A' => MAX, 'B' => 9, 'C' => MAX, 'D' => 11, 'E' => MAX, 'F' => MAX, 'G' => MAX, 'H' => MAX),
'D' => array('A' => MAX, 'B' => MAX, 'C' => 11, 'D' => MAX, 'E' => 12, 'F' => MAX, 'G' => MAX, 'H' => 5),
'E' => array('A' => MAX, 'B' => 7, 'C' => 6, 'D' => 12, 'E' => MAX, 'F' => 5, 'G' => MAX, 'H' => 7),
'F' => array('A' => 25, 'B' => MAX, 'C' => 6, 'D' => MAX, 'E' => 5, 'F' => MAX, 'G' => 12, 'H' => MAX),
'G' => array('A' => MAX, 'B' => MAX, 'C' => MAX, 'D' => MAX, 'E' => MAX, 'F' => 12, 'G' => MAX, 'H' => 17),
'H' => array('A' => MAX, 'B' => MAX, 'C' => MAX, 'D' => 5, 'E' => 7, 'F' => 25, 'G' => 17, 'H' => MAX),
);
//CG
while(!$input = trim(fgets(STDIN), "
r []"));
$path = new Path($matrix, $input{0}, $input{1});
$path->dijkstra();
echo $path->getDistance(), ' ', implode('-', $path->getPath()), PHP_EOL;
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总结
本问题是求无向图源点的最短路径，时间复杂度为 O(n*n)，若求解有向图源点的最短路径，只需将相邻顶点的逆向路径置为 ∞，即修改初始图的矩阵。不得不说的是，比求单源点最短路径更加复杂的求某一对顶点的最短路径问题，也可以以每一个顶点为源点使用 Dijkstra 算法求解，但是有更加简洁的 Floyd 算法。
