一个文科老母亲的迷思——我们是如何被数学打败的？

如果你要造船，不要招揽人来搬木材，不要给人指派任务和工作，而是要教他们去渴望那广袤的大海。 ——安托万 · 德 · 圣埃克苏佩里

这段话印在《一个数学家的叹息》的扉页。

开门见山地说吧，无论你喜不喜欢数学，这本书会改变你对数学的认知。尤其对于我这样的数学渣来讲，还有治愈童年的奇效呢。

纠结了一阵要不要读，毕竟我是一个与数学为敌的女人。直到翻开这本书还在不停感叹：我，竟然，会读，和数学有关的书……

更恐怖的是，我还读了三遍！

记忆中的数学课，是小学被老师扇耳光（因为没有考满分），中学被数学班主任无尽奚落，高中已经不再听数学课，彻底放弃了。那么高考呢？自然是不及格……我衷心希望，我的人生不要再碰到这两个字。

我的数感差到什么地步呢？现在碰到20以上的加减法还得在心里默默列算式……电商大促时候的各种满减满赠薅羊毛，对我而言就是酷刑，永远算不清楚！

因为数学成绩不好，一度十分自卑，仿佛数学不好就天生低人一等，活该到处垫底。记忆中，唯一让我稍稍得以喘息的是几何，我喜欢空间想象推理，而不是陷入一堆莫名其妙的符号里。平面几何、立体几何都学的不错，但到了解析几何就翻船了，而三角函数又是什么鬼？

可以说，完全是出于对孩子教育的关注让我拿起了这本书。亲生的没办法。
全书分为两部分：

上篇“悲歌”，旗帜鲜明地对现行数学教育发起讨伐；

下篇“鼓舞”，细致妥帖地告诉我们如何理解和进行数学游戏。

作者在书中抛出了许多惊世骇俗的观点，痛斥现行数学教育是如何破坏了“这么丰富且迷人的想象力探索过程”，试图让我们明白何为数学的原始创造力和美学感受力。

他说，我们的数学课堂里，没有数学。问题在提出来的同时就被解答了。

首先我们要了解，数学是一门艺术。数学和其他类型的艺术（如音乐和绘画）的差别只在于，我们的文化不认同数学是一门艺术。

许多数学优等生甚至专业研究生在被人夸了十几年之后才发现，自己并没有真正的数学天分，只是很会遵循指示而已。

唯一了解问题所在的是那些最常被责备，但是又最常被忽略的人——学生。他们说“数学课愚蠢又无趣”，他们说对了。
数学改革一直在轰轰烈烈地进行，举办一堆研讨会，组成数不清的专家小组，遗憾的是，整个改革运动一直都是失焦的。数学课程不需要被改革，它需要的是被砍掉再造。

我们的文化如果只是对数学无知，这已经够糟了，但更糟的是，人们真的以为他们了解数学——普遍地误以为数学对人类社会具有实用价值。

值得一提的是，书中对于这些观点的阐述和论证，模拟了伽利略的《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》，用辩论的方式展开，清晰易懂，精彩绝伦。有反驳欲望的同学可以借步一阅。

他用一个数学家特有的傲娇口吻说：

你不需要让数学变得有趣——它本来就远超过你了解的有趣！而且它与我们的生活完全无关，这就是为什么它如此有趣！
想要让数学和我们的生活产生关联，不可避免就会显得牵强而做作：“小朋友，如果你会代数，那你就能算出来玛丽亚现在的年龄，如果我们知道她现在的年龄是她七年前的两倍！”

这里可以划重点：数学和音乐绘画一样，从人类活动中发源，又凑巧能够对现实生活有一些指导，但它的存在不是为了这个目的。一件事物如果有实际的用途，并不表示它的本质就是如此。音乐可以让军人上战场，但这不是人们作曲的目的。艺术的本质永远是创造和表达，而世俗上的“有用”只不过是艺术的副产品。

至于几何，他说的确有很多人喜欢几何题，但那是因为——“要完全摧毁这么美丽的事物，是非常困难的。” 绝倒！

顺带语重心长地cue了一下“老师”这个职业：

教学是开放与诚实的，是能分享兴奋与惊喜之情的能力，是对教学的热爱。没有这些，世界上所有的教育学位都不能帮助你成为一个好老师，反之，有了这些，教育学位就完全是多余的。

然而老师们也很无辜：我的老师也是这样教我的呀，我能怎么办？

麻烦的是，数学就像绘画或诗篇，是“费劲的创意作品”，因此很难教。数学是一个缓慢、沉思的过程。产生一个艺术作品需要时间，而且需要有能力的老师可以辨识出来。

甚至对现行数学教学大纲的阶梯内容逐一进行解剖，讽刺到位，令我等学渣有种复仇的快感。（我们必须承认，好的作家都是自带刻薄属性的。）

• 低年级数学。强调的重点是坐好不动，填写作业，遵照指示。父母、老师和小孩本身，都要重视乘法表。
• 中年级数学。教导学生将数学视为一套程序，就像宗教仪式，是永恒且铭刻于金石之上的。做作的应用题在此时引入，让这些不需用脑的单调计算，看起来似乎有趣一些。

代数一。为了不浪费宝贵时间去思考数字及其模式，这门课程将焦点集中在运算时的符号和规则。从古代美索不达米亚到文艺复兴时期，这一路走来长达数个世纪的数学家们的探索，完全略过不提。因为某些原因，学生必须要背记二次方程式的公式。

几何。让渴望投入有意义的数学活动的学生燃起一丝希望，然后又破灭。介绍一堆奇怪的符号，不遗余力地让简单的事物看起来很复杂。这门课的目标是将残余的数学自然直觉连根拔除。为代数二做准备。

代数二。这门课的主题是不知所谓地使用坐标几何，然后学生要学习没来由地把二次方程式重写成各种标准格式。还会介绍指数和对数，尽管这并不属于代数……为什么把几何摆在代数一和代数二之间，至今仍是个谜。

三角函数。两个星期的课程内容，靠着反复耍弄定义，硬是拉成了一个学期的课。真正有趣的现象，比如三角形的边是由夹角决定的，其篇幅还不如过时的sin符号，以避免学生对于这个主题的真义产生一点清晰的概念。

……

以上所述，能有效根治好奇心。

如果仅仅只有批判和无能为力，这本书当然算不上经典。然而，作者打开他的宝藏，耐心地向世人展示了数学的真实魅力。
让我们跟随他一起来想象一下：

在一个充满奇怪生物的丛林中，有一种绝妙的野兽：1，2，3，4，5……它们的行为很有趣，而我们想要了解它们。

事实上，这些生物叫什么名字不重要——在数学上，我们应当注重事物本身而不是表征。你可以觉得它们是一群仓鼠，在挖地洞、配对、跑来跑去、晒太阳、做窝。重点是，你注意到了它们，开始观察，然后变得好奇。

为什么有些仓鼠的行为和其他的不一样？

可以把仓鼠做有趣的分类或分组吗？

什么样的特征会遗传下去？

你自然而然有了关于仓鼠的问题，想要得到答案。这就是我们进入数学之门的钥匙。

作者显然更喜欢小石子的概念，“432”这个数字在他看来，就是有432颗石子的石头堆，而其中每一颗石子都是独立的生命体，就像仓鼠，有特征，有行为。那么，这些小石子到底和数学有什么关系呢？

首先，关于数字的基本概念。

5+7=12，不只是说5个柠檬和7个柠檬，变成了12个柠檬。而是有一种叫“5”和“7”的东西，喜欢进行一种活动（就是“加”），当它们这样做的时候，会形成一个新的东西，我们称之为“12”。

并且！12并不是一个以“1”开头或是“2”结尾的东西，它就是自己。只有阿拉伯数字十进制才将12表征为12，以1开始，以2结尾。你能明白我的意思吗？

关于奇偶数

数字的本质就是聚落的大小。让我们想象数字就是这些会做出有趣行为的石头堆（这正是人类一开始遇到它们时的样子）。

然后有人注意到，它们之中有些石堆可以排成两个相等的行列：

数字4，8，14具备这样的属性，而3，5，11则没有。这不是因为它们的名字使然——而是因为它们本身的样子和行为决定的。从而得出一项行为区别：有些会这样做（即“偶数”），而有些则不（“奇数”）。
我们发现，偶数具有温和平滑的个性，奇数则总是有些头角突出。

由于将石头堆在一起，我们很自然就会想知道加法对奇偶数的区别有什么影响，所以我把这些石头堆摆来弄去一番，结果注意到一个有趣的模式：

偶数 和 偶数 成为 偶数
偶数 和 奇数 成为 奇数
奇数 和 奇数 成为 偶数

我尤其喜欢两个奇数配在一起的样子：

奇妙的“负负得正”特性在此发扬光大，那些烦人的头角正好彼此填平了！
我们再深入这个丛林一些，好吗？你把前面几个奇数相加，会得到什么结果？

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

4，9，16，25……这个序列可绝对不是一组随机数字，这些正好是平方数。也就是说，正好是你要做完美的正方形时，所需要的石头数量。

因此，“平方数”因为具有这种特别吸引人的特质，而从其他数字中凸显了出来。这个序列名单当然会无限延续下去，因为你可以做任何规模的石头正方形（我们的头脑可以无限量供应这些想象中的小石子）。

但这是多么惊人的发现呀！为什么会这样呢？

在这里，艺术就产生了。观察和发现是一回事，但说明是另一回事，数学证明的标准高得要命，在推理上绝对不能有缺口，或者任何模糊空间。就像很多人可以完成一副漂亮的画，但要画出能够传递情感的有内涵的画，则完全是另一回事。

我的学生通常会从这里开始思考，研究，看看会搞出什么样的说明。比如，这个模式要说的好像是任何正方形都能分解成奇数的碎片。因此你开始尝试各种切割的方法，但没有真正的统一性——它们看起来像是随机的。

然后，突然之间，屏住呼吸云开见日，你终于看到了：

一个正方形是L型叠起来的集合，这些L型里面全部都是奇数，我发现了！
我们不知道要去哪里，也不知道要怎么做，只能不断尝试，忍受失败，在挫折万分中渴望灵感到来。这个火花闪烁的瞬间就如同我们在几何图形中画下的辅助线一样，属于“神圣天启”，这种最终的愉悦完全补偿了痛苦。数学就是一场探索之旅。
我们继续启程。当正方形大到一定范围后，这个L型模式也会持续下去，它可以是任意大小：

任何L型都可以分解成两条“臂”和一个“交点”。两条臂是相等的，所以它们包含相同的数目，而交点则只有一个。

这就是为什么总数永远是奇数！

更进一步，当我们从一个L型到下一个L型时，我们看到每一条臂都正好多了一个石子——这表示每个L型都比前一个正好多了2个石子，这就是为什么这个模型可以一直延续下去！

由此，我们不但知道“连续的奇数相加会得到平方数”这个事实，更重要的是，我们知道为什么。如果我们将连续的偶数加起来呢？将所有的数加起来呢？是否有更简单的模式存在呢？你可以解释为什么是这样吗？

…………

我所举的例子只是一小部分，无法完整呈现这本书的精彩，书中还有更多美妙的几何论证等着各位去发出惊叹。
跟着他的仓鼠、小石子和线条走了一趟下来，现在我终于了解，为什么这个毫不实用的游戏，会令数学家从浴缸里跳起来，裸着身体冲到街上了……因为连我的眼睛都开始发亮了。

能改变人们对一个学科的整体认知，引发群体性思考，才是这本书的伟大之处。

不要再让孩子埋头刷题背定义了啊同学们！

我们可以教孩子用运算法则做出各种演示和计算，可以用大量刷题来提高计算速度，可是对于这些计算和概念背后的真正含义，有多少人关心？又有多少人理解并且能够耐心地传递给孩子？

是时候拿出积木，豆子，木棒，甚至小纸团带着孩子一起好好玩一下了，说不定这其中就会产生无数的奇思妙想，说不定就可以激发起孩子对数学探索的真正热情……虽然我们成年人已然忘却学习和游戏是一回事，但小孩子毫无疑问是了解这一点的。

作者所痛心的，是我们的数学教育里面缺少了“思考的过程”，存在大量的“死记硬背”，呼吁人们尽可能放弃对符号的在意，去关注数学这种生物的内在属性。而这种拨开表象深入本质的思维方式，恰恰能够让我们的孩子受益终生！

这本薄薄的小书原本只是一部手稿，在美国数学教育圈里无声流传，后来被斯坦福大学一位德高望重的数学教授获知，推荐出版，风靡全美。台湾率先引入，2019年在大陆正式出版。

第一次听闻书名，是在我女儿的数学俱乐部。据说这个俱乐部首次招生的时候，就要求家长必须阅读此书，并提交读书笔记作为筛选条件，使得当当网上繁体字的台湾版一度脱销。没错，他们不选孩子，选家长！

后来这个要求没能坚持下去（不然他们可能招不到学生了……）。但创始人和教职人员一直都在身体力行地实践“如何用正确的方式学数学”，也在各种场合推荐家长阅读此书，以及其他数学教育类书籍。深谙“鸡娃不如鸡家长”之道。

我，作为一个毫无疑问的数学学渣，为什么能与这家俱乐部一拍即合，退掉其他机构的学费，不远千里风雨无阻横跨黄浦江把孩子送去上课，也是个谜……

可能它击中了我的痛点。

可能我潜意识里并不甘心，只好承认数学很重要，但怎么教更重要。

在读到作者如何理解奇偶数时，我不禁一阵脸热，羞愧不已。

因为不久前在一个数学游戏中，我是这样教孩子的：

0，2，4，6，8是偶数，1，3，5，7是奇数。

孩子本能地问，为什么呀？

哎呀，没有为什么，你记住就行啦。

……

因为疫情关系，勉强在家教了两次之后，自己就先崩溃了。然后发现在数学学科里，越是看似简单的定义，越是看似基础的概念，越难说清楚！特别是当你要求孩子“知其然，也知其所以然”的时候！Talk math，臣妾真心做不到啊！

我们自己，就从未在数学中习得过“所以然”，代代相传。

还记得两年前，为了考研重新学习中学数学时，我有隐约窥见数学之美。当然，重点是因为遇到了一位对数学富有激情的教授，令我多次惊呼——数学竟然这么有趣！高考可以重来一遍吗？！

这次境遇有效改善了我从小对数学噩梦般的体验。

我们迫切需要真正热爱数学且懂得这门艺术的老师，来打破这个死循环。

坦白说，我仍然不太可能像热爱音乐和绘画一样爱上数学，也无法改变教育的大坏境，唯有扩充自己的认知边界，在力所能及范围内，让孩子用对的方法学会重要的数学。若能由此带给周围的人们一些启发，也算为这团迷雾发出了一丝微小的光。

童行学院介绍

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