《辞海》中对“证明”一词是这样解释的：“根据已知真实的判断来确定某一判断的真实性的思维形式。”

在自然科学中，真实性是通过经验方法来确立的，这些方法包括观察、测量以及实验。简单来说，就是用已知的真理来判断某一事物的真实性。

而在数学中，真实性是通过构造一个证明来确立的，证明是一个能够确立陈述的真实性的逻辑合理的认证。

01

为什么要学几何证明? 有必要看一个沉重的案例：

2014年12月15日，上午，内蒙古自治区高级法院宣布：呼格吉勒图无罪。这个内蒙古青年沉溺18年的冤屈，终于得以昭雪。

然而，正义来得太迟了。呼格吉勒图年轻的生命永远定格在1996年6月10日。那一天，他还不满19岁。

1996年4月9日晚，呼格发现女厕所中的女尸，随即到派出所报案。而在同年的6月10日呼格因此案被判处死刑并执行了枪决。直到2005年，真正的凶手赵志红落网，并交代了1996年4月9日女厕所杀害被害人的全部过程。

在这短短的两个月中，尤其是在证据极其不足的情况下，主办案人冯志明凭主观臆断就认定呼格是凶手。恰好案发时正值全国严打期间，警方压力大，急功冒进，刑讯逼供，在受害人体内精斑未进行DNA检测且也没有其他有力证据的情况下，认定凶手并实施枪决。

一个年轻的生命就这样在冤屈中死去，可以想象这对他的家人带来多大的痛苦。

很遗憾，当时的主办案人冯志明就没有做到理性的判断，而是主观地认定了结论。我们没有去调查冯志明是在求学时期就没有形成理性完美的推理思维，还是在官场中慢慢忘记了老师的教导，失去了理性。

正如哲学家罗素说的那样“人没有理性则盲”，善良是需要理性做支撑的，没有理性的善良就可能是感动了自己，害惨了别人。

那么人如何才能获取理性呢？

其实，我们少年时代所受的教育就一直引导着我们感受理性，从而获得理性，其中中最有效的一种训练就是几何证明。这也是近年来各地中考数学增强对几何推理证明问题能力要求提高的一个体现。

02

实际上，在日常生活里或历史典籍中，我们常常不自觉地运用了“证明”案例。

有个成语“酸酒不售”，说有人酒放酸了都卖不出去。出自《韩非子》，说宋国有个卖酒的人，量酒的器具很公平，对待顾客也殷勤，他家卖的酒也很好喝，酒幌子也挂得高，然而，酒就是卖不出去，酿的酒都酸了，卖酒人弄不明白是什么缘故，便请教一位有见识的老人，老人问说：“你家的狗是不是很凶？”

卖酒的说：“狗凶，跟酒卖不出去有什么关系呢？”老人说：“因为人们害怕呀，有的大人让小孩怀里揣着钱，提着酒壶来买酒，狗就扑上来咬他，所以你的酒放酸了也卖不出去”。

这种推理方式混合采用了穷举法和演绎法。酒卖不出去的原因可能有好几个，但经过分析者逐一排除，最后只剩下一个，再经推理，即合理的解释。

同样出自《韩非子》的故事也很给我们启示，燕王向民间征召有特殊技巧的人，有个卫国人说：“我能够在酸枣刺的尖端雕刻母猴。”燕王很高兴，用优厚体禄供养他。有一次，燕王说：“我想看看你雕刻的棘刺母猴。”

卫国人说：“国君您想看到它，那就必须半年不进后宫，不喝酒，不吃肉，而且还要在雨停日出的天气里，在那既明又暗的光线之间才能看得见。”燕王拿他没办法，就只好养着这个卫国人，却不能看他雕刻的母猴。

郑国有个在官府服役的铁匠对燕王说：“我是打刀的。我知道各种微小的东西都要用小刀刻削，而所刻削的东西一定要比刻刀的刀刃大。如果酸枣刺的尖端小得容纳不下刀刃，就很难在上面雕刻。

大王去看看那客人的刻刀，那么刻母猴的事能不能办到也就可以知道了。”燕王说：“好主意！”于是他跟那个卫国人说：“你在酸枣刺尖端上雕刻母猴，是用什么工具来雕刻的？”客人说：“用刻刀。”

燕王说：“我想看看你的刻刀。”客人说：“请让我回到住处去把它取出来吧。”客人退出后就趁机逃走了。

这是采用了反证法。要在棘刺尖上刻母猴，必须有刀刃比棘刺尖还小的刻刀。如果没有这样的刀，便无法在棘刺尖上雕母猴了。

上面的两则故事看似平淡无奇，但与数学证明凭据的道理一般无异。不过，我们可以把数学上的证明描述得更为精确。我们可以以一些基本概念和基本公式为基础，使用合乎逻辑的推理方法判断一个假设是否正确。

03

那么，在人类的文明史上，证明这个理念是怎样产生的呢？又是什么时候产生的？一般书本尤其是西方的著述，都公认数学证明始于公元前6世纪。

据说当时的希腊数学家、哲学家泰勒斯证明了几条几何定理，包括直径把圆平分，等腰三角形的底角相等、对顶角相等之类的问题。

可以说泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。

在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为其进一步发展打下基础；使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。

到了公元前4世纪，欧几里得写成了不朽巨著《原本》。他从一些基本定义与公理出发，以合乎逻辑的演绎手法推导出四百多条定理，从而奠定了数学证明的模式。

即使证明这种方式真的开始于公元前6世纪的古代希腊，那么当时的人为什么想证明数学命题呢？

古希腊人研究几何学有着得天独厚的条件。其他的古代文明大都属于农业社会，人们祖祖辈辈耕耘在土地上，日出而作，日落而息，拘团于一个狭小的天地里。而古希腊民族是一个擅长航海的民族，繁荣的海上贸易使他们对空间有着旅行家般的敏感，他们探求现实世界空间形式的欲望也就更为强烈。

由于几何学的研究对象不再是具体事物的形状，而是抽象的数学概念，由此而产生的抽象的几何结论也就具有极其广泛的普适性。在将其运用到各种自然现象之前，人们得保证它是正确的，不然在应用中就可能导致差错。

怎样保证一个数学结论是正确的呢？仅用人们习惯的观察、实验、归纳的方法是不够的。因为即使你能举出九千九百九十九个例子说明某结论是正确的，也不能保证第一万个例子不出意外。实验、归纳法并不是人们认识真理的唯一方法。

比如有三个球，我们知道甲球比乙球大，又知道乙球比丙球大，那么，完全不需再去实际测量，我们直接通过正确的逻辑推理就可以断定甲球比丙球大。也就是说，直接从实践中获取部分真理，再运用逻辑推理的方法，人们就可以得到真理的其他部分。

聪明的古希腊数学家正是用这种方法来保证数学结论的正确性的。具体地说，他们用的是演绎法。这是一种从一般事理成立，推出特殊事理成立的逻辑推理方法。

古希腊人把直接从实践中得到的真理叫作“公理”。

公理的正确性是经过实践反复检验的，为人所共知而且令人一目了然，如“两点可以连接一条直线”等。古希腊数学家把公理作为演绎推理的基础，去论证几何何结论的正确性。

比如欧几里得体系的五条公理：

1、任意一点到另外任意一点可以画直线；

2、一条有限线段可以无限延长为一条直线；

3、以任意点为圆心心及任意的距离为半径可以画圆；

4、所有的直角都相等；

5、同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

只从这五条公理出发，我们就证明得到初高中几何的所有定理，也就是说，这五条公理就可以描述整个几何。第五条公理也叫平行公理，因为这个公理可以导出命题：“通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。”

具体的证明在《几何原本》这本书里，感兴趣的可以看看。长期以来，数学家们发现第五公理和前四个公理比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第29个命题中才用到，而且以后再也没有使用。

例. 求证：三边对应相等的两个三角形全等。(SSS)

已知在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF。

求证：△ABC≌△DEF。

证明：在△ABC的另一侧作△GBC≌△DEF，联结AG。

∵AB＝GB，∴∠BAG＝∠BGA（等边对等角）。

∵AC＝GC，∴∠CAG＝∠CGA（同理）。

于是∠BAG＋∠CAG＝∠BGA＋∠CGA（等量加等量和相等），

即∠BAC＝∠BGC＝∠EDF，

∴△ABC≌△DEF（SAS）。

此方法据说是古希腊数学家斐洛（Philo）的证明，巧妙地利用了等腰三角形性质——“等边对等角”解决了本题。

一个几何结论被证明是正确的，就成了一个几何定理。以这个定理为基础，又可以推导出新的几何定理来，而不必切都从头开始，因为只要推理的方式正确，后一个定理的正确与否，完全可由前一个定理保证。

这样，几何学的内容就异常丰富了起来，几何学本身也就构筑成了一个严谨的科学体系，它像一根链条，每一个环节都衔接得丝丝入扣。

公理法和演绎推理是数学的本质特征，也是数学区别于其他自然科学学科的明显标志。它的引入，正是古希腊文明为数学发展做出的又一个伟大贡献。

最后说点感慨，这么多年过去了，之前做的那一大叠一大叠的包括平面几何在内的数学题，奥数题，思维题也忘得差不多了，大多数人以后也不会直接从事这个行业。但是之前留下的思维习惯，比如转化，严谨，分类，一一对应，不变量，都像模子一样地刻在了心里，在每日每夜应对长大了以后的各种问题的时候，都散发着他们潜在的力量，一辈子地厚积薄发。

在我总结整理关于数学证明相关的内容时候，就发现了很多新的内容，就像走在丛林中，除了想到达目的地，四周也到处是可以挖掘的宝藏。尤其是互联网的存在，世界就在我眼前，有心人都能得到他想要的。

参考文献:刘行光，高慧，沈敏庆编著，数学多大点事儿