算法数学基础-概率论的超重要的基本概念

总的来讲概率论研究的是不确定性现象背后的可能潜在的规律。说到随机现象，我想起了一种现象叫混沌，指确定性规则导致的不确定现象。比如鸟群的飞行时避障行为、蚁群觅食行为生物的进化现象，无不呈现出大量的不确定性，但这些现象表面上看是无规则的，背后确有它基本的运行规律，并非无轨迹可循。当无法研究单独个体行为的时候，我们转向了群体行为特征，比如均值、方差、协方差等数学概念体现的就是群体特征。研究气体单个分子的行为是困难的，但是其平均运动（气压、温度）可表现的有迹可寻。大量元素构成的复杂系统行为可能呈现出随机性行为，概率论是教我们透过随机现象发现背后规律的有力工具。上大学的时候听概率论的课，听的一塌糊涂，不知所云，到今天才悟出来概率论是研究复杂系统的最重要的工具之一。今天回头重新梳理概率论的核心概念和定理，为算法方面的研究奠定坚实的基础。

今天我们先复习概率论的几个重要基本概念：

1、随机试验：可重复的结果不确定的试验都是随机实验；比如炮弹的弹着点、掷色子或硬币、门诊每天就诊的人数等等，随机试验是概率论的核心概念之一，其潜在的规律也是概率论研究的核心对象。官方定义随机试验需要满足三个条件:1）、相同的条件下可重复进行；2）、每次实验结果都不同，而且可以预知；3）、每次实验前不知道结果是什么。

2、样本空间：随机试验每次可能出现的结果都不同，所有的结果集合称为样本空间，每个结果称为样本点。比如掷骰子，{1，2，3，4，5，6}称为样本空间，其中的1，2等称为样本点；

3、随机事件：样本空间的子集称为随机事件，比如上例中我们关心在掷色子游戏中点数大于4点的情况，即我们关系结果为{5，6}这个子集，这个子集就称为一个随机事件，而单个样本点构成的事件，称为基本事件。同样的样本空间本身我们称为必然事件，不包含样本点的空间我们称为不可能事件，注意必然事件是具有确定性的，也就一定会发生。

4、事件之间的关系：我们是用集合的形式来定义随机事件的，所以事件之间的关系与集合论中的运算有着很好的对应关系，包括了：相等（集合相等）、和事件（并）、积事件（交）、差事件（集合减法）、互不相容（交集为空）、逆事件（求补）。可用集合的韦恩图来表示上述的运算帮助理解，这里就不画了，非常简单。满足交换律、结合律、分配律（和与积运算满足交换律、结合律、分配律）

5、德摩根律：A与B和事件的补，等于A的补交与B的补的积事件；A与B积事件的补，等于A的补与B的补的和事件。换句话理解：A或B均不发生等价于A不发生并且B不发生，A与B不同时发生等价于或者A不发生或者B不发生；哈哈哈，从字面上看定律就是废话，但这个定律常用在概率论相关的定律推导中。

6、频率与概率：频率是A事件发生的频数，比如掷硬币，事件A表示正面出现的次数，如果投掷了100次，正面出现了49次，那么事件发生的频率我们可以用49/100来表示，我们发现当试验次数增多时，这个频率趋近与一个常数（如用百分数表示0.5），而这个常数就是我们说的概率，是事物本质的属性，与初始条件无关。自然这个常数是非负的、对于必然事件为1、如两个事件无关其同时发生的概率为两事件单独发生概率之和,用P(A)表示A事件发生的概率。（官方的定义大家自己查阅书籍，P(A））。

7、概率的一些性质：P(空）=0，P(样本空间）=1，P(A1,A2...)=P(A1)+P(A2)...，A是B的子集则P(B-A)=P(B)-P(A)>=0,P(A)<1,P(A)=1-P(A),P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。这些性质一眼看上去就明白了无无需做过多的解释，需要注意的是加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。

8、最后讲一个最简单的概率模型（古典概型）：一句话说就是所有结果出现的可能性都相等的随机试验，这句话理解为：结果是有限个（样本空间有限），并且每个结果（基本事件）发生的可能性相同。有想起来实例嘛？比如掷骰子、掷硬币、抓阄等等。求这类问题的概率，我们下面小例子的方法，对问题建模。

一个小例子：随机试验：掷硬币

样本空间：{正面，反面}

事件1：结果为正面，{正面}

事件2：结果为反面，{反面}

P(事件1）=事件1中基本事件的个数/样本空间中基本事件的个数=1/2=0.5；

小问题：每天门诊接诊人数是不是古典概型呢？能说明为什么呢？（欢迎在留言区留言）