小乐数学科普：拓扑学：孔洞的真理，译自量子杂志

作者：David S. Richeson是狄金森学院（Dickinson College）的数学教授 2021-1-27

译者：zzllrr小乐 2021-1-27

如果你想挑事打个架，只需问问朋友，“冥王星是行星吗？” 或“热狗是三明治吗？” 或“吸管有几个洞？” 前两个问题会让他们争论是或否，而第三个问题会提出两个，一个甚至为零的主张。

这些问题都取决于定义。行星的确切定义是什么？一个三明治？一个洞？我们会将前两个留给您的朋友讨论。但是，可以通过数学视角来查看第三个。数学家（尤其是研究空间关系的拓扑学家）如何看待孔洞？

在日常语言中，我们以各种非等效的方式使用“空洞”。一个就像一个洞，就像在地下挖的坑一样。另一个是物体上的开口或孔，例如穿过山的隧道或三环装订纸上的冲头。还有一个是完全封闭的空间，例如瑞士奶酪中的气袋。拓扑学家会说，除了第一个例子以外，其他所有东西都是孔。但是要了解为什么-以及为什么数学家首先关心孔-我们必须遍历拓扑的历史，从拓扑与其近亲——几何的区别开始。

在几何学中，圆形和多边形等形状是刚性对象。衡量的工具是长度，角度和面积。但是在拓扑学中，形状是柔性的，就像橡胶制成的一样。拓扑学家可以自由拉伸和扭曲形状。只要精确地确定了切口，就可以进行切割和粘合。球体和立方体是不同的几何对象，但是对于拓扑学家而言，它们是无法区分的。如果您想从数学上证明T恤和一条裤子不同，则应求助于拓扑学家，而不是几何学家。证明内容是：它们具有不同数量的孔。

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在18世纪开始了形状的拓扑研究。您可能会认为，那时数学家几乎了解所有关于多面体的知识。但是在1750年，欧拉发现了我认为是有史以来最伟大的定理之一：如果一个多面体具有F个多边形面，E个边和V个顶点，则V – E + F=2。例如，一个足球有20个白色六边形和12个黑色五角形小块，总共32个面，90个边和60个顶点。的确是60 – 90 + 32 =2。这个基本的观察与数学的许多领域都有着深厚的联系，但足够简单，可以向幼儿园的学生讲授。但是它避开了像欧几里得，阿基米德和开普勒这样的几个世纪的几何学家，因为结果不取决于几何形状。它仅取决于形状本身：它是拓扑。

欧拉隐含地假设他的多面体是凸面的，这意味着连接任意两个点的线段完全位于多面体之内。不久之后，学者发现了欧拉公式的非凸的例外情况。例如，在1813年，瑞士数学家西蒙·吕利埃（Simon Lhuilier）认识到，如果我们在多面体上打一个孔以使其更呈甜甜圈形，改变其拓扑，则V – E + F = 0。

塞缪尔·维拉斯科/ Quanta杂志

有趣的是，虽然Euler和Lhuilier认为它们的多面体为实体，但是Euler的公式仅使用零维顶点，一维边和二维面来计算。因此，欧拉数（V – E + F）实际上是从多面体的二维表面得出的。今天，我们将这些形状想象为空心壳。

此外，重要的是对象的拓扑。如果我们用粘土制作多面体，用记号笔标记边缘，然后将其滚动成球状，则面和边缘会弯曲，但其数量不会改变。因此，对于在拓扑上是球体的任何形状，其欧拉数均为2；对于甜甜圈状的圆环，为0；对于平盘，它是1；等等。每个表面都有自己的欧拉数。这种对Euler公式的拓扑理解（形状是橡胶状而不是刚性的）首先由Johann Listing在1861年发表。尽管今天在很大程度上被遗忘了，Listing还因莫比乌斯环（Möbius Ring）而著称（4年8月前的文章）。并创造了一个术语拓扑学Topologie。

球的欧拉数 V – E + F为2，圆环为0，圆盘为1，双圆环为–2。

大约在同一时间，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）正在研究在他的复数研究中出现的曲面。他观察到计数孔的一种方法是查看物体不被切割开两块时可以切割多少次。对于具有边界的表面（例如带有两个边界圆的稻草），每个切割必须在边界处开始和结束。根据黎曼所说，因为一根吸管只能被切割一次（从一端到另一端），所以它只有一个孔。如果曲面没有圆环之类的边界，则第一次切割必须在同一点开始和结束。可以将空心圆环切割两次-一次绕管切割，然后沿所得圆柱体切割-因此根据此定义，它有两个孔。

可以将一根稻草切开一次而不断开它，而空心花托可以切割两次。

亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在1895年发表了开创性的123页的开篇文章“ Anatus Situs”（拓扑学）之后，便在此基础上进行了进一步发展，并极大地扩展了拓扑学。在其中及其五篇续篇中，他种植了许多可以生长的拓扑种子，开花并结出数十年的果实。其中值得注意的是同源性概念，庞加莱引入了homology同调概念，将黎曼的思想推广到更高的维度。通过同调性，庞加莱（Poincaré）的目标是捕捉一切，从黎曼在吸管或装订纸上的一维圆形洞，到瑞士奶酪内部的二维腔状洞，再到更高维度。为了纪念恩里克·贝蒂（Enrico Betti）（曾尝试进行类似工作的黎曼的朋友），这些孔的数量（每个维度一个）被称为物体的贝蒂数。

同调的现代定义相当复杂，但是它大致是一种将每个数学对象与每个形状相关联的方法。从该对象中，我们可以提取有关形状的更简单信息，例如其贝蒂数或欧拉数。

为了了解同调性和贝蒂数是什么，让我们集中在第一维上。我们将从查看曲面上的环开始。规则很简单：环可以滑动和到处移动，甚至可以交叉，但不能离开表面。在某些表面上，例如圆盘或球体，任何环都可以缩小到单个点。这样的空间具有平凡的同调性。但是其他表面，例如稻草或圆环，则有环绕其孔的环。这些具有不平凡的同调性。

圆环向我们展示了如何可视化贝蒂数。我们可以在一个环上产生无限多个非平凡的环，它们可以缠绕，折返并环绕多次，然后在其起点处结束。但是，这些环并没有产生混沌的混乱，而是拥有优雅的数学结构。我们称一个穿过中心孔并围绕管的环称为“ a”。现在，它可以作为更多环的基础。由于回路可以绕管一次，两次或任意多次，并且方向很重要，因此我们可以将回路表示为a，2a，– a等。但不是每个回路都是a的倍数，例如沿着管的长圆周且围绕中心孔的环，我们可以将其称为“ b”。从这一点来说，此时不再有独特的行程了：圆环上的任何环都可以变形成环a和b的整数倍。有两个一维环可用于构建所有其他环，这意味着一维圆环的贝蒂数为2，与黎曼切割数相同。

圆环在其表面上具有无限多个不同的环。定向的环 a， b和 c 都不同，但是 c 可以变形以获得环 a 和b的并集 。

如果环c等效于环a与环b的组合，则我们将c = a + b写成。这种表达不仅仅是符号上的方便。可以使这种算法（环的加法和减法）严格。在数学术语中，允许加减的集合称为群。因此，在圆环上，例如，一维同调群由诸如7 a + 5 b，2 a – 3 b等表达式组成。

恰当地，同调的群结构是在1920年代由艾米·诺特（Emmy Noether）发现的，她是研究群和其他代数结构的先驱。由于Noether的观察，数学家现在可以利用代数的力量，结构和定理来理解拓扑。例如，我们可以在数学上确定地说，稻草，T恤和一条裤子在拓扑上都是不同的对象，因为它们的同调群不同。特别是，它们具有不同数量的孔。

那么，最后，拓扑学家如何计算孔？使用贝蒂数。第零个Betti数b₀是一种特殊情况。它只是计算对象的数量。因此，对于单个连通的形状，b₀ =1。正如我们刚刚看到的那样，第一个贝蒂数b₁是形状中的圆形孔的数量，例如圆柱吸管周围的圆形，装订纸中的三个孔和圆环的两个圆形方向。庞加莱（Poincaré）向我们展示了如何计算同调，以及更高维度上的相关贝蒂数：第二贝蒂数b₂是空腔的数量-像球形，圆环和瑞士奶酪中的空腔。一般而言，bn计算n维孔的数量。

值得注意的是，庞加莱的同调性使我们回到了欧拉身上。正如可以使用顶点数，边数和面数来计算曲面的欧拉数一样，也可以使用其Betti数来计算：b₀ – b₁ + b₂。例如，圆环，是连通的，因此b₀ = 1; 如我们所见（圆形孔的数量），它的b₁ = 2；并且，因为它具有一个内部空腔，所以b₂ =1。正如Lhuilier指出的那样，圆环的欧拉数为1 - 2 + 1 = 0。

尽管数学家已经有近一个世纪对同调性的基本理解，但是代数拓扑仍然是一个活跃的，将代数和拓扑进一步结合在一起的研究领域。研究人员还向其他方向开辟分支，发展了用数字表示各形状的同调性所必需的定理和算法，建立了识别大型数据集（通常位于高维空间）的底层形状的工具，等等。

还有其他人已经将这些理论工具应用于真实世界。例如，想象一下，分散的小型，低成本传感器集合，它们在一定的半径覆盖范围内检测到某些东西，例如运动，火灾，气体排放。传感器不知道它们的位置，但是他们知道附近还有哪些其他传感器。2007年，Vin de Silva和Robert Ghrist展示了如何基于这种粗糙的信息，利用同调性检测传感器覆盖范围中的孔。在更近的一篇论文中，米歇尔·冯（Michelle Feng）和梅森·波特（Mason Porter）在2016年总统大选期间的加州，使用了一种称为持久同调性的新技术来检测政治孤岛（支持一个候选人的地理空缺，支持了另一个候选人）。

因此，就像许多纯粹的数学领域只是从理论上开始思考一样，拓扑已经证明了其现实价值，而不仅仅是解决稻草有多少个孔的问题。