钻研复杂的数学总是一件令人愉快的事情。它不仅有助于提高思维能力，而且还会产生一种精神充实的愉悦感。

• 科拉茨1到100,000序列，每个数字都连接到1。

扮猪吃虎

但是，在数学的黑暗深处，一个魔鬼却装扮成圣人，以其简单的外表和简单的论点引诱着它的猎物，连理论家都不敢进入这个角落。小猎物从一张白纸和一支笔开始。第一页没什么变化，问题似乎太简单了。最终，捕食者把容易上当的无知者带到第二页，接着是第三页、第四页和第五页。问题似乎逐渐明朗了，但没有什么具体的结果。他每天，几周，几个月都在工作。最终，一年过去了，他的进步并不比他在第一页上的表现好多少。

这就是所谓的“科拉茨猜想（The Collatz Conjecture）”。读者可能不明白我在说什么，别急，我们继续往下看！

保罗·埃尔德什（Paul Erdős）可能是有史以来最著名的数学家之一，他说：

数学可能还没有为这些问题做好准备。最伟大的数学家们已经放弃了对这个猜想的研究。

我一直是这个问题的粉丝，我浪费了一年的时间试图自己找到一个可能的答案，结果显而易见，我甚至还没有入门。这篇文章，我尝试了一些不同的方法。我并没有解决问题，而是分析了数字是如何“跌落”的，结果令人震惊。

科拉茨猜想

在我们分析这个问题之前，理解问题本身是很重要的。

科拉茨猜想，正如杰出的数学家泰伦斯·道所说：

科拉茨映射Col：正整数N + 1 = {1, 2, 3， . .}，当N为奇数时Col(N)等于3N + 1，当N为偶数时为N/2，让Col_min(N):= infn∈N Coln (N)表示科拉茨轨道N的最小元，对于Col(N)， Col2(N)， . . . .，科拉茨猜想断言，对于所有的N∈N + 1, Col_min(N) = 1。

还是很晕对吗？降维说就是：取任何正整数，如果是偶数，就除以2。如果是奇数，把它与3相乘再加1。不管你得到什么答案，对答案做相同的运算。假设这个数是13。然后，操作如下：

13–40–20–10–5–16–8–4–2–1–4–2–1…

最终，对于所有的数字（理论上），这个序列在4，2，1的循环中结束。不管起始数字是300、3000还是300万，如果你算对了，你最终会得到4，2，1循环。对这一猜想，已经验证到数字10^18。

和哥德巴赫猜想一样，这个问题看起来很简单，学过小学数学就能理解，但是地球上没人知道为什么会这样。为什么这些数收敛于1而不是趋近于无穷，为什么没有其他这样的循环，这是一些最大的问题之一，但答案未知。

但是，我们知道的是，解决这个问题的关键是知道这些值是如何达到2^n 的，这是任何数最终变成4，2，1循环的唯一方法。因为我们总是对奇数做一个“求偶”函数（任何奇数乘以3是奇数，加1是偶数），我认为我们需要从奇数中得到偶数。

硬数

我创造了“硬数”这个术语来定义任何数在变成2^n之前达到的最后一个奇数。因此，我们将硬点称为当执行3n+1操作时，它表示2的幂。

最小的硬数是5。这个列表的第二名是21，然后是85，然后是341，以此类推。求硬数的一般公式是：

计算这些数字的主要目的是，除了2的幂以外的任何数字在收敛到1之前都必须变为一个硬数。这种在变成2的幂之前达到某个特定数字的确定性给了它理解问题的独特地位。

我从这些数字中得出在这些数字一定有一个频率分布。随着数字的增加，一定会出现一个固定的数字模式，这可能会帮助我们理解这个问题。所以我做了一个快速的计算，写了一些迭代代码并查看结果。我用它计算了前1000个数字，并记下了其分布——我重复这个过程，直到最多计算出前50000个数字。我总共做了超过18万次的迭代。

我的预测是，随着数字的增长，更大的硬数字出现的频率也一定会增加。毕竟，更大的数必须以更大的数结束并收敛。

但是，我错了。

结果

结果令人震惊。在所有前50000个数字中，大约有47000个数字最终变为了5。这意味着，超过94%的数字在变成2的幂之前变成了5！

不仅如此，对于前10000个数字，值变为5的百分比增加了，而不是减少了！5的占比从未低于92%，因此最常见的硬数是5。

10,000、100,000和1,000,000在变成2的幂之前都是5 ！

• 前6000次迭代的硬数百分比分布

此外，频率分布是非对称的。5的生成时间超过92%。变成硬数85的数字是变成数21的10倍，21出现的频率比1365高，但没有341高。我不知道为什么会这样。

以下是频率分布的饼状图：

• 不同值的硬数频率（10,000次迭代）

如图所见，5是最突出的值，其次是341，它比85大，85仍然比21大。小于10000的数字中， 5461仅出现2次。

这些看似无关的频率的疯狂行为表明，需要更多的关注硬数之间的频率模式。为什么会出现这种不对称？为什么5是最突出的数字？即使超过了一百万次迭代，5仍然是最常见的硬数吗？这些问题非常值得思考。

结论

我所有的观察都证明，科拉茨猜想是个非常非常奇怪的问题。

总结一下，我们理解了这个问题，试图确定重要的数，并看到了一些令人惊讶的结果。从这些数字中可能会冒出无数的问题。我希望有一天，我们知道所有这些问题的答案。我只希望有一天，能有个战士来屠龙。在那之前，我只能问你一堆问题。

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