切点弦是什么鬼？可以秒算吗？

20201113 星期五

不在路上，就在书中。

离开深秋的川西川北、待在家中休整的这些日子，我会常常想起，扔在贵阳的“家”——我的房车——她还好吗？她是不是会恨我无情、离她而去？

宝贝莫急，来日方长。余生伴我仗剑天涯者，非你莫属。

呆在深圳，无所事事，其实不爽。哪怕此时正是深圳最好的时节，天天轻风，日日阳光。无聊的时候，只能以书为伴。今天又听了一节网课，有些感悟。

何谓切点弦？顾名思义，连接两个切点的弦。如下图，切点、切线，自然与曲线有关。本文所说之切点弦，是说圆锥曲线之切点弦也：

AP、BP均为切线，A、B为切点，线段AB即切点弦。

那，怎样求切点弦所在直线方程呢？请看例题。

例1：过点P（2，1）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，求切点弦AB所在的直线方程。

解：常规方法，有点累人，但很多人都只会这样做：先求切线，再求切点，最后求切点弦所在直线方程。（为了计算不太复杂，又能说明问题，我们选择了两条切线之一为水平情形的。）

设过点P（2，1）的直线a的斜率为k，则直线a的方程为：y-1=k(x-2)，即：

Kx-y+1-2k=0，因为：

若a为圆的切线，则圆心O（0，0）到直线a：Kx-y+1-2k=0的距离为1。必有：

经验算，知两者均为其解，无须舍去。

选点P纵坐标为1，使其一切线平行于x轴，于是计算简单了很多。开始为了情况更一般，我选的P点坐标为（4，2），哈，算到半途，想死的心都有了，太麻烦。

言归正传，所求两切线方程为：

求切点：

最后，求切点弦所在直线AB（两点式）：

解答完毕。

如果只是行文至此，太过一般，并无新意。但直线AB，长相如此简单，可我感觉却是经历了万里长征才得了这么个结果。我付出那么多、算得那么累，获得却如此少，大有一种得不偿失的感觉。

能不能有一种简单的方法，可以把直线AB的方程信手拈来？哈，还真有！

此法可取名：“代一留一”。请看本题的“代一留一”解法：

例1另解：怎么个“代一留一”呢？代哪个一又留哪个一呢？

圆锥曲线，又名二次曲线，自然有二次项。二次项，两个一次项之积也，将其“代一留一”：

即将P点的横坐标x=2代入一个x，另一个x留着不变；将P点的纵坐标y=1代入一人y，另一个y留着不变。亦即，将P点坐标如上那般代入二次曲线方程x2+y2=1，可得到：

2x+y=1

解毕！哈，是不是太爽了？？？

再看一题。前面说了，在上题中，如将P点更一般化，让两条切线都“不平也不直，都斜着”，如取P（4，2），这时再按常规解法，那真叫累死算了。但按“代一留一”法，直接“秒”：

4x+2y=1

这即所求切点弦所在直线方程！不信？自己验证吧，我是累怕了。

例2：过点(3，1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为（ ）。

A. 2x+y-3=0

B. 2x-y-3=0

C. 4x-y-3=0

D. 4x+y-3=0

用“代一留一”法，可以直接秒它!

选A。

但，如果二次曲线方程中既有二次项、还有一次项，那这一次项怎么处理？请看下例。

而一次项：2x=x+x，代一留一为：3+x。得：

3x+y-(3+x)=0，整理得：2x+y-3=0，还是选A。

还有个有趣的事情。先考虑下面问题：

1、圆上的任一弦，只要不是直径，是否都为切点弦？当然是。因为，不是直径的弦，过它的两个端点作圆的切线必不平行，必有交点。且，当交点离圆周越近时，切线越短，两切点越靠近。

2、当交点无限接近圆周时，会是什么情形？？？

想明白了这个问题，下面的事就很简单了。

例3：经过圆上一点M（2，1）作圆x2+y2=5的切线，则切线方程为（ ）。

解：由“代一留一”法得

2x+y=5，先C。

其实，过圆上一点求圆的切线，是求切点弦的特殊情形，就象正方形是长方形的特例一样。当弦的两端点（切点）无限靠近时，弦所在的直线是不是成了切线？参照下图吧，角CAB是一个弦切角：

想象一下，当B点沿圆周靠近A点时，弦AB与过圆周上点A的切线AC的相对位置会怎样变化？