在 UG 中利用【规律曲线】|【根据方程】绘制各种方程曲线：

1、极坐标（或柱坐标 r,θ,z）与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：

x=r*cos(θ)；y=r*sin(θ)；z=z

2、球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：

x=rsinθcosφ；y=rsinθsinφ；z=rcosθ

在 UG 表达式中输入的 theta=θ；phi=φ；r=rho

【注：所有 UG 表达式中，必须先在名称栏输入 t，公式栏输入 0，类型为恒定的，即无单位。t 是 UG 自带的系统变量，其取值为 0~1 之间的连续数】

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1.直线

直线的数学方程为 y-y0=tan(θ)*(x-x0)，若直线经过点（10,20），倾角 θ为 30°，长度

L 为 40，即 UG 表达式为：

theta=30

L=40

xt=10+L*cos(theta)*t

yt=20+L*sin(theta)*t

zt=0

效果如图 1

2.圆和圆弧

圆的数学方程为(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2，若圆心坐标为（50,40），半径 r 为 30，即 UG

表达式为：

r=30

theta=t*360

xt=50+r*cos(theta)

yt=40+r*sin(theta)

zt=0

效果如图 2

3.椭圆和椭圆弧

椭圆的数学方程为(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1，若椭圆中心坐标为（50,40），长半轴

a 为 30（在 X 轴上），短半轴 b 为 20，即 UG 表达式为：

a=30

b=20

theta=t*360

xt=50+a*cos(theta)

yt=40+b*sin(theta)

zt=0

效果如图 3

4.双曲线

双曲线的数学方程为 x2/a2-y2/b2=1，若中心坐标为（0,0），实长半轴 a 为 4（在 x 轴上），

虚半轴 b 为 3，y 的取值范围为-5~+5 内的一段，即 UG 表达式为：

a=4

b=3

yt=10*t-5

xt=a/b*sqrt(b^2+yt^2)或 xt=-a/b*sqrt(b^2+yt^2)

zt=0

做出一半后进行镜像复制，效果如图 4

5.抛物线

抛物线 I 的数学方程为 y2=2px，若抛物线的顶点为（30,20）焦点到准线的距离 p=8，

y 的取值范围为-25~+25，即 UG 表达式为：

p=8

yt=50*t-25+20

xt=(yt-20)^2/(2*p)+30

zt=0

效果如图 5-1

抛物线 II 数学参数方程：x=2pt2，y=2pt（其中 t 为参数）。UG 表达式为：

p=8

tt=t*4-2

xt=2*p*tt^2

yt=2*p*tt

zt=0

效果如图 5-2

6.正弦曲线

若正弦曲线一个周期 X 方向长度为 50，振幅为 10，即 UG 表达式为：

theta=t*360

xt=50*t

yt=10*sin(theta)

zt=0

效果如图 6

7.余弦曲线

若余弦曲线一个周期 X 方向长度为 50，振幅为 10，即 UG 表达式为：

theta=t*360

xt=50*t

yt=10*cos(theta)

zt=0

效果如图 7

8.圆柱螺旋线

若圆柱螺旋线半径 r 为 20，螺距 p 为 10，圈数 n 为 5，即 UG 表达式为：

r=20

p=10

n=5

theta=t*360

xt=r*cos(theta*n)

yt=r*sin(theta*n)

zt=p*n*t 或 zt=cos(theta*n)+p*n*t

效果如图 8

9.碟形弹簧

若碟形弹簧半径 r 为 20，螺距 p 为 10，圈数 n 为 5，即 UG 表达式为：

r=20

p=10

n=5

theta=t*360

xt=r*cos(theta*n)

yt=r*sin(theta*n)

zt=cos(theta*n^2)+p*n*t 或 zt=cos(theta*n^2.4)+p*n*t

效果如图 9

10.圆锥螺旋线和圆台螺旋线

若圆锥螺旋线底圆半径 r 为 20，螺距 p 为 5，圈数 n 为 10，即 UG 表达式为：

r=20*（1-t），若圆台上端半径为 5，则 r=20*(1-t*0.75)

p=5

n=10

theta=t*360

xt=r*cos(theta*n)

yt=r*sin(theta*n)

zt=p*n*t

效果如图 10-1、10-2

11.三尖瓣线

三尖瓣线数学方程：x=r(2cosθ+cos2θ)；y=r(2sinθ-sin2θ)若将 2 变为 n 即扩展为 n+1

尖瓣线。若 r=20，即 UG 表达式为：

r=20

n=2

theta=t*360

xt=r*(n*cos(theta)+cos(n*theta))

yt=r*(n*sin(theta)-sin(n*theta))

zt=0

效果如图 11

图 11 图 12

12.星形线【四尖瓣线】

星形线的数学方程：x=r*cos3θ；y=r*sin3θ。【由 n+1 尖瓣线通式：x=r(n*cosθ+cos(n*θ))；

y=r(n*sinθ-sin(n*θ))当 n=3 时的情况。三角函数公式：

sin3θ＝3sinθ－4sin3θ；cos3θ＝4cos3θ－3cosθ】若 r=20，即 UG 表达式为：

r=20

theta=t*360

xt=r*(cos(theta))^3

yt=r*(sin(theta))^3

zt=0

效果如图 12

13.渐开线

渐开线的数学方程：x=r(cosθ+θ*sinθ)；y=r(sinθ-θ*cosθ)。假设渐开线的基圆半径 r 为

10，展开角度 θ为 360*2，即 UG 表达式为：

r=10

theta=360*2*t

s=r*rad(theta)=r*(2*pi()/360)*theta=2*pi()*r*t*2

xt=r*cos(theta)+s*sin(theta)

yt=r*sin(theta)-s*cos(theta)

zt=0

效果如图 13

图 13 图 14

14.阿基米德螺线(等径螺线)

阿基米德螺线(等径螺线)数学方程：r=a*θ（极坐标），假设 a=10，θ=360*2，即 UG

表达式为：

a=10

theta=t*360*2

r=a*theta

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 14

15.对数螺线(等角螺线)

对数螺线(等角螺线)数学方程：r=aemθ。对数螺线的定义和性质：运动方向始终与极

径保持定角λ的动点轨迹称为对数螺线。假设 a=0.005，即 UG 表达式为：

a=0.005

theta=t*360*2

r=exp(a*theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 15

16.双曲螺线

数学方程：r=a/θ。若 a=10，即 UG 表达式为：

a=100

theta=t*360*2+1

r=a/theta

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 16

图 15 图 16

17.连锁螺线

数学方程：r2=a2/θ。若 a=10，即 UG 表达式为：

a=10

theta=t*360*2+1

r=a/sqrt(theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 17

图 17 图 18

18.心脏线（肾形线）

心脏线数学方程：r=2a(1+cosθ)；肾形线数学方程：r=a(1+2sin(θ/2))。

若 a=10，θ=360°，即 UG 表达式为：

a=10

theta=360*t

r=2*a*(1+cos(theta))

【或 r=a*(1+sin(theta))】

【或 r=a*(1+2*sin(theta/2))】

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 18

19.双弧外摆线

双弧外摆线的数学方程：x=3b*cosθ+a*cos3θ，y=3b*sinθ+a*sin3θ。即 UG 表达式为：

a=10

b=10

theta=t*360

xt=3*b*cos(theta)+a*cos(3* theta)

yt=3*b*sin(theta)+a*sin(3* theta)

zt=0

效果如图 19

图 19 图 20

20.肾脏线

数学方程：x=a(3cost-cos3t)；y=a(3sint-sin3t)

a=10

theta=360*t

xt=a*(3*cos(theta)-cos(3*theta))

yt=a*(3*sin(theta)-sin(3*theta))

zt=0

效果如图 20

21.Talbot 曲线 【？x=(a2+f2+sin2t)cost/a，y=(a2+f2sin2t-2f2)sint/b】

Talbot 曲线数学方程：x=(a2+f2sin2θ)cosθ/a，y=(a2+f2sin2θ-2f)sinθ/b。若 a=1.1，b=0.666，

θ=360°，f=1，即 UG 表达式为：

theta=360*t

a=1.1

b=0.666

c=sin(theta)

f=1

xt=(a^2+f^2*c^2)*cos(theta)/a

yt=(a^2-2*f+f^2*c^2)*sin(theta)/b

zt=0

效果如图 21

图 21 图 22

22.四叶线

四叶线数学方程：r=a*cos2θ，若 a=10，θ=360°，即 UG 表达式为：

a=10

theta=t*360

r=a*cos(2*theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 22

23.三叶线

三叶线数学方程：r=a*cos3θ=a*cosθ*(4sin2θ-1)，若 a=10，θ=180°，即 UG 表达式为：

a=10

theta=t*180

r=a*cos(3*theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 23

图 23 图 24

24.双叶线

双叶线数学方程：r=4a*cosθ*sin2θ，若 a=10，θ=89.999°，即 UG 表达式为：

a=10

theta=t*89.999

r=4*a*cos(theta)*sin(2*theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

绘制一半后利用 y 轴镜像，效果如图 24

25.Rhodonea 曲线

Rhodonea 曲线数学方程：r=a*sin(kθ)，若 UG 表达式为：

theta=t*360*3

xt=(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta)

yt=(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)

zt=0

则效果如图 25-1

若 UG 表达式为：

theta=t*360*5

xt=4*cos(theta)+10*cos(0.8*theta)

yt=4*sin(theta)-10*sin(0.8*theta)

zt=0

则效果如图 25-2

图 25-1 图 25-2

26.外摆线

外摆线数学方程：x=(a+b)cosθ-rcos((a+b)/bθ)；y=(a+b)sinθ-rsin((a+b)/bθ)

【其中 a、b、r 分别是基圆、滚圆、摆点半径，θ为公转角】。UG 表达式为：

theta=360*t*10

a=5

b=8

r=8

xt=(a+b)*cos(theta)-r*cos((a/b+1)*theta)

yt=(a+b)*sin(theta)-r*sin((a/b+1)*theta)

zt=0

效果如图 26

图 26 图 27

27.内摆线

内摆线数学方程：x=(a-b)cosθ+rcos((b-a)/bθ)；y=(a-b)sinθ+rsin((b-a)/bθ)

【其中 a、b、r 分别是基圆、滚圆、摆点半径，θ为公转角】。UG 表达式为：

theta=360*t*10

a=5

b=8

r=10

xt=(a-b)*cos(theta)+r*cos((1-a/b)*theta)

yt=(a-b)*sin(theta)+r*sin((1-a/b)*theta)

zt=0

效果如图 27

28.长短幅圆内旋轮线

UG 表达式为：

a=5

b=7

c=2.2

theta=360*t*10

xt=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta)

yt=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)

zt=0

效果如图 28

图 28 图 29

29.长短幅圆外旋轮线

UG 表达式为：

theta=360*t*10

a=5

b=3

c=5

xt=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)

yt=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)

zt=0

效果如图 29

30.封闭球形环绕曲线

r=10

theta=360*t

phi=360*t*10

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

效果如图 30

图 30 图 31

31.费马线（有点像螺纹线）

费马线数学方程：r2=a2θ(需分两段做)。UG 表达式为：

a=4

theta=t*360*5

r=a*sqrt(rad(theta))

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

绘制一半后，绕原点旋转 180 复制，效果如图 31

32.球面螺旋线

球面螺旋线采用球坐标系的方程：rho=10，theta=t*180，phi=t*360*20。若 UG 表

达式为：

r=10

theta=t*180

phi=t*360*20

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

则效果如图 32-1

球面螺旋线(罩形)

UG 表达式为：

r=10

theta=t*120

phi=t*360*20

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

则效果如图 32-2

图 32-1 图 32-2

33.圆内螺旋线

圆内螺旋线的 UG 表达式为：

theta=t*360

r=10+10*sin(6*theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=2*sin(6*theta)

效果如图 33-1、33-2

图 33-1 图 33-2（俯视图）

34.蝴蝶曲线

蝴蝶曲线球坐标方程：rho=8*t，theta=360*t*4，phi=-360*t*8。UG 表达式为：

theta=t*360*4

r=8*t

phi=-360*t*8

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

效果如图 34-1、34-2

图 34-1 图 34-2

35.太阳线

太阳线柱坐标方程：r=1.5*cos(50*theta)+1，theta=t*360，z=0。即 UG 表达式为：

theta=t*360

r=1.5*cos(50*theta)+1

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 35

图 35 图 36

36.九瓣花

九瓣花的 UG 表达式为：

r=20*t

theta=t*360*90

phi=t*360*10

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

俯视图效果如图 36

37.蝶线

蝶线球坐标方程：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2)，theta=t*360，

phi=log(1+t*360)*t*360。即 UG 表达式为：

theta=t*360

phi=log(1+t*360)*t*360

r=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2)

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

效果如图 37

38.无底篮子曲线

无底篮子曲线方程：r=5+0.3*sin(t*180)+t，theta=t*360*30，z=t*5。即 UG 表达式为：

theta=360*t*30

r=5+0.3*sin(t*180)+t

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=t*5

效果如图 38

图 37 图 38

39.飞蝶曲线 UFO（漩涡线）

漩涡线的 UG 表达式为：

r=20^2*t

theta=30*log(30)*t

phi=360*t*20

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

则效果如图 39-1

图 39-1 图 39-2

UFO 的球坐标方程：rho=t*20^2，theta=t*log(30)*60，phi=t*7200。即 UG 表达式为：

r=20^2*t

theta=60*log(30)*t

phi=360*t*20

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

效果如图 39-2

40.蘑菇曲线

蘑菇曲线的球坐标：

rho=t^3+t*(t+1)

theta=60*log(60)*t

phi=t^2*360*100

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=-r*cos(theta)

效果如图 40-1、40-2

图 40-1 图 40-2

41.叶（葉）形线

叶（葉）形线 I 的数学方程：x=3at/(1+t3)；y=3at2/(1+t3)。若 a=10，即 UG 表达式为：

a=10

xt=3*a*t/(1+(t^3))

yt=3*a*(t^2)/(1+(t^3))

zt=0

效果如图 41-1

叶形线 II 数学方程：r=4a*cosθsin2θ-bcosθ。若 a=10，b=2，θ=89°即 UG 表达式为：

a=10

b=2

theta=89

r=4*a*cos(theta)*(sin(theta))^2-b*cos(theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 41-2

图 41-1 图 41-2

42.概率曲线

概率曲线 UG 表达式为：

xt=t*10-5

yt=exp(0-xt^2)

zt=0

效果如图 42

图 42 图 43-1

43.箕舌线(魔线)

箕舌线 I 的 UG 表达式为：

a=10

xt=t*100-50

yt=8*a^3/(xt^2+4*a^2)

zt=0

效果如图 43-1

箕舌线 II 数学方程：x=tanθ，y=cos2θ。UG 表达式为：

theta=160*t-80

xt=tan(theta)

yt=(cos(theta))^2

zt=0

效果如图 43-2

魔线数学方程：x=aθ；y=a/(1+θ2)

a=10

theta=t*360-180

xt=a*rad(theta)

yt=a/(1+(rad(theta))^2)

zt=0

效果如图 43-3

图 43-2 图 43-3

44.正切曲线

正切曲线方程：x=t*8.5-4.25，y=tan(x*20)。即 UG 表达式为：

xt=t*8.5-4.25

yt=tan(xt*20)

zt=0

效果如图 44

45.双曲正弦曲线

双曲正弦曲线方程：x=6*t-3，y=(exp(x)-exp(0-x))/2。即 UG 表达式为：

xt=t*6-3

yt=(exp(xt)-exp(-xt))/2

zt=0

效果如图 45

图 44 图 45

46.双曲余弦曲线

双曲余弦曲线方程：x=6*t-3，y=(exp(x)+exp(0-x))/2。即 UG 表达式为：

xt=t*6-3

yt=(exp(xt)+exp(-xt))/2

zt=0

效果如图 46

图 46 图 47

47.双曲正切曲线

双曲正切曲线方程：x=6*t-3，y=(exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))。即 UG 表达式为：

xt=t*6-3

yt=(exp(xt)-exp(0-xt))/(exp(xt)+exp(0-xt))

zt=0

效果如图 47

48.蔓叶线

蔓叶线数学方程：r=2a*tanθ*sinθ（分 2 段做），若 a=10，θ=75，即 UG 表达式为：

theta=75

a=10

r=2*a*tan(theta)*sin(theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 48

图 48 图 49

49.Lissajous 曲线

Lissajous 曲线数学方程：x=a*sin(nθ+c)，y=b*sinθ。若 a=10，b=10，c=100，n=3，θ=360，

即 UG 表达式为：

theta=t*360

a=10

b=10

c=100

n=3

xt=a*sin(n*theta+c)

yt=b*sin(theta)

zt=0

效果如图 49

50."8"字线

"8"字线方程 I：x=a*cos(t*360)，y=b*sin(t*(2*360))。若 a=2，b=1，即 UG 表达式

为：

theta=360*t

a=2

b=3

xt=a*cos(theta)

yt=b*sin(2*theta)

zt=0

效果如图 50-1

图 50-1 图 50-2

"8"字线方程 II【Gernono 曲线数学方程：x=cost；y=sintcost】

theta=360*t

xt=cos(theta)

yt=sin(theta)* cos(theta)

zt=0

效果如图 50-2

"8"字线方程 III（墨镜线）的 UG 表达式为：

theta=360*t

r=10+(8*sin(theta))^2

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 50-3

"8"字线方程 IV 的 UG 表达式为：

theta=360*t

a=10

b=10

xt=3*b*cos(theta)+a*cos(3*theta)

yt=b*sin(theta)+a*sin(3*theta)

zt=0

效果如图 50-4

图 50-3 图 50-4

51.一峰三驻点曲线

一峰三驻点曲线方程：x=3*t-1.5，y=(x^2-1)^3+1。即 UG 表达式为：

xt=3*t-1.5

yt=(xt^2-1)^3+1

zt=0

效果如图 51

图 51 图 52

52.蛇形线

蛇形线 UG 表达式为：

xt=2*cos((t+1)*360)

yt=2*sin(t*(5*360))

zt=t*(t+1)

效果如图 52

53.梅花线(圆角五星)

梅花线 I(圆角五星)的 UG 表达式为：

theta=360*t

r=10+(3*sin(theta*2.5))^2

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 53-1

梅花线 II 的 UG 表达式为：

theta=t*360

r=100+50*cos(5*theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=2*cos(5*theta)

效果如图 53-2

图 53-1 图 53-2

54.手掌

手掌的 UG 表达式为：

theta=360*t+180

r=cos(360*t^3*6)*2+5

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 54

55.直叶六叶线

直叶六叶线的 UG 表达式为：

theta=360*t

r=10-(3*sin(theta*3))^2

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=-4*sin(theta*3)^2

效果如图 55

图 54 图 55

56.弯叶六叶线

弯叶六叶线的 UG 表达式为：

theta=360*t

r=10-(3*sin(theta*3))^2

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=-(r*sin(theta*3))^2

效果如图 56

图 56 图 57

57.六叶花形

theta=t*360

r=5-(3*sin(theta*3))^2

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=(r*sin(theta*3))^2

效果如图 57

58.空间螺旋椭圆线

a=10

b=20

theta=t*360*3

xt=a*cos(theta)

yt=b*sin(theta)

zt=t*3*4

效果如图 58

图 58 图 59

59.空间螺旋梅花线

theta=t*360*4

r=10+(3*sin(theta*2.5))^2

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=t*16

效果如图 59

60.鼓形线（灯笼形）

r=5+3.3*sin(t*180)+t

theta=t*360*10

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=t*10

效果如图 60

图 60 图 61

61.鼓鼓形线

r=6*sin(t*360)+t

theta=t*360*40

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=t*20

效果如图 61

62.蝴蝶结曲线(簪形线)

蝴蝶结曲线方程：

xt=200*t*sin(t*3600)

yt=250*t*cos(t*3600)

zt=300*t*sin(t*1800)

效果如图 62-1

簪形线方程：

r=200*t

theta=900*t

phi=t*900

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

效果如图 62-2

图 62-1 图 62-2

63.锁呐线

锁呐线 I 方程：

r=t^10

theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=t^3*(t+1)

效果如图 63-1

锁呐线 II 方程：

xt=2*cos(t*360*3)*t

yt=2*sin(t*360*3)*t

zt=(sqrt(sqrt(sqrt(t))))^3*5

效果如图 63-2

图 63-1 图 63-2

64.手把曲线

theta0=t*360

theta1=t*360*6

r0=400

r1=40

r=r0+r1*cos(theta1)

xt=r*cos(theta0)

yt=r1*sin(theta1)

zt=0

效果如图 64

65.向日葵线

theta=t*360

r=30+10*sin(theta*30)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 65

图 64 图 65

66.环形二次曲线

xt=50*cos(t*360)

yt=50*sin(t*360)

zt=10*cos(t*360*8)

效果如图 66

67.柱面正弦波线

r=30

theta=t*360

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=5*sin(5*theta-90)

效果如图 67

图 66 图 67

68.环形螺旋线

n=15

theta=t*360

xt=(50+10*sin(theta*n))*cos(theta)

yt=(50+10*sin(theta*n))*sin(theta)

zt=10*cos(theta*n)

效果如图 68

69.内接弹簧

xt=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)

yt=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)

zt=t*6

效果如图 69

图 68 图 69

70.多变内接式弹簧

xt=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8)

yt=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)

zt=t*8

效果如图 70

图 70 图 71

71.正弦周弹簧

theta1=t*360

theta2=t*360*20

xt=2*theta1*2*pi/360【注：在 UG 中可输入 xt=2*rad(theta1)】

yt=sin(theta1)*5+cos(theta2)

zt=sin(theta2)

效果如图 71

72.双元宝线

r=sin(t*360*10)+30

theta=sin(t*360*15)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=sin(t*3)*10

效果如图 72

73.变形阿基米德螺线(双向)

theta=360*2*(t-0.5)

r=10*theta

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 73

图 72 图 73

74.双鱼曲线

r=30+10*sin(t*360*10)

theta=t*180*cos(t*360*10)

phi=t*360*30

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

效果如图 74

图 74 图 75

75."两相望"曲线

r=30+10*sin(t*360*10)

theta=t*180*cos(t*360*10)

phi=t*360*20

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

效果如图 75

76.小蜜蜂

xt=cos(t*360)+cos(3*t*360)

yt=sin(t*360)+sin(5*t*360)

zt=0

效果如图 76

图 76 图 77

77.弯月

xt=cos(t*360)+cos(2*t*360)

yt=sin(t*360)*2+sin(t*360)*2

zt=0

效果如图 77

78.热带鱼

a=5

xt=(a*(cos(t*360*3))^4)*t

yt=(a*(sin(t*360*3))^4)*t

zt=0

效果如图 78

79.燕尾剪

xt=3*cos(t*360*4)

yt=3*sin(t*360*3)

zt=t

效果如图 79

图 78 图 79

80.天蚕丝

theta=t*3600

r=(cos(360*t*20)*0.5*t+1)*t

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 80

图 80 图 81

81.蜗轨线

theta=t*360*2

r=cos(t*360*30)*t*0.5+t*2

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 81

82.变化后的星形线

theta=t*360

xt=10*cos(theta)^3

yt=10*sin(theta)^3

zt=cos(theta)

效果如图 82

图 82 图 83

83.心电图

r=sin(t*360*2)+0.2

theta=10+t*(6*360)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=t*3

效果如图 83

84.次声波

xt=t*5

yt=t*cos(t*360*8)

zt=0

效果如图 84

85.小白兔

theta=t*360-90

r=cos(360*(t/(1+t^(6.5)))*6*t)*3.5+5

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 85

图 84 图 85

86.蜘蛛网

theta=t*360*5

r=t*sin(t*360*25)*5+8

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 86

图 86 图 87

87.十字渐开线

theta=t*360*4

r=(cos(t*360*16)*0.5*t+1)*t*10

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 87

88.五环

theta=t*360*4

r=(cos(t*360*5)+1)*10

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 88

图 88 图 89

89.蜗牛线

蜗牛线数学方程：r=a*sin(θ)/θ。UG 表达式为：

a=10

theta=360*t*5+0.001

r=a*sin(theta)/rad(theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 89

90.内五环

theta=t*360*4

xt=2+(10-5)*cos(theta)+6*cos((10/6-1)*theta)

yt=2+(10-5)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)

zt=0

效果如图 90-1

内五角星

a=5

b=3

s=t*19*180/pi()=t*deg(19)

xt=(a-b)*cos(s)+b*cos((a/b-1)*s)

yt=(a-b)*sin(s)-b*sin((a/b-1)*s)

zt=0

效果如图 90-2

图 90-1 图 90-2

91 梨形线

梨形线数学方程：x=1+sint；y=a*cost*(1+sint)。即 UG 表达式：

theta=t*360

a=0.8

xt=1+sin(theta)

yt=a*cos(theta)*(1+sin(theta))

zt=0

效果如图 91-1

图 91-1 图 91-2

梨形四次曲线数学方程：b2y2=x3(a-x)

a=10

b=6

xt=10*t

yt=sqrt(xt^3*(a-xt)/b^2)

zt=0

绘制后镜像，效果如图 91-2

92.空间梅花形

the=t*360

r=10+(3*sin(theta*2.5))^2

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=5*sin(6*theta)

效果如图 92

图 92 图 93

93.一朵小花

theta=t*360

r=3*cos(360*(t/(1+t^6))*6)+5

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 93

94.红十字

theta=t*360

r=cos(360*t*4)*0.5+1

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 94

图 94 图 95

95.波浪花环

r=5

theta=t*720

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=sin(3.5*theta-90)

效果如图 95

96.正弦波带

xt=5*t^2

yt=sin(t*8*360)*0.5

zt=0

效果如图 96

图 96 图 97

97.悬链线数学方程：y=a*cosh(x/a)

a=5

xt=t*10-5

yt=a*(exp(xt/a)+exp(-xt/a))/2

zt=0

效果如图 97

98.塔形螺旋线

r=t*80+50

theta=t*360*10

z=t*80

效果如图 98

图 98 图 99

99.铃铛形线

r=t^3+t*(t+1)

theta=t*360

phi=t^2*360*50

xt=r*cos(phi)

yt=r*sin(phi)

zt=-r*cos(theta)

效果如图 99

100.克莱线数学方程：r=4a*cos3(θ/3)

a=5

theta=359*t

r=4*a*(cos(theta/3))^3

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 100

图 100 图 101

101.对数曲线

对数函数的数学方程：y=log(x)，若 x 的取值范围从 0.0001~10.0001，即对数曲线的

UG 表达式为：

xt=10*t

yt=log(10*t+0.0001)

zt=0

效果如图 101

102.正环索线数学方程：r=a*cos(2θ)/cosθ

a=10

theta=t*178-89 或【theta=t*178+91】

r=a*cos(2*theta)/cos(theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

当 theta=t*120-60 时的效果如图 102

图 102 图 103

103.三等分角线数学方程：r=2a*sin3θ/sin2θ

a=10

theta=89*t+0.1 和 theta=89*t+90.1

r=2*a*sin(3*theta)/sin(2*theta)

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 103

104.平摆线数学方程：x=at-h*sin(t)；y=a-h*cos(t)

a=3

h=6

theta=360*t*5

xt=a*rad(theta)-h*sin(theta)

yt=a-h*cos(theta)

zt=0

效果如图 104

图 104 图 105

105.平稳曲线数学方程：x=a*sin(m+n)t/sin(m-n)t；y=2a*sin(mt)sin(nt)/sin(m-n)t

a=10

m=8

n=7

theta=179.9*t+0.01

xt=a*sin((m+n)*theta)/sin((m-n)*theta)

yt=2*a*sin(m*theta)*sin(n*theta)/sin((m-n)*theta)

zt=0

效果如图 105

106.半立方抛物线数学方程：y3=ax2

a=10

xt=15*t

yt=a^(1/3)*xt^(2/3)

zt=0

【或 yt=15*t，xt=sqrt(yt^3/a)，zt=0】

效果如图 106

图 106 图 107

107.追踪曲线数学方程：y=ax2-log(x)

a=0.1

xt=10*t+0.01

yt=a*xt^2-log(xt)

zt=0

效果如图 107

108.杖头线数学方程：r=b2/(a*cos2θ)

a=10

b=6

theta=t*120-60

r=(b^2)/(a*(cos(theta)^2))

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 108

图 108 图 109

109.双扭线数学方程：r2=a2cos(2θ)

a=5

theta=t*90-45

r=a*sqrt(cos(2*theta))

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 109

110.曳物线数学方程：x=1/cosh(t)；y=t-tanh(t) (分两段做)

xt=2/(exp(t)+exp(-t))

yt=t-(exp(t)-exp(-t))/(exp(t)+exp(-t))

zt=0

效果如图 110

111.L 曲线数学方程：(x/a)n+(y/b)n=1

a=10

b=8

n=5

xt=t*22.5-10

yt=(1-(xt/a)^n)^(n/1)

zt=0

效果如图 111

图 110 图 111

112.Devils 曲线数学方程：r=((25-24tan2θ)/(1-tan2θ))1/2

theta=t*44.9-22.45

r=sqrt((25-24*tan(2*theta))/(1-tan(2*theta)))

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 112

图 112 图 113

113.八字曲线数学方程：r2=a2cos2θsec4θ

a=5

theta=t*44.9-22.45

r=a*sqrt(cos(2*theta)/cos(4*theta))

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 113

114.蛇状线数学方程：x2y+aby-a2x=0

a=5

b=3

xt=40*t-20

yt=a^2*xt/(xt^2+a*b)

zt=0

效果如图 114

图 114 图 115

115.蚌线数学方程：a(r*cosθ-a)=k2cos2θ

a=5

k=16

theta=t*178-89

r=(k^2*cos(2*theta)+a^2)/(a*cos(theta))

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=0

效果如图 115

116.瓦特曲线数学方程：r2=b2-(a*sinθ±(c2-a2cos2θ)1/2)2

a=3

b=8

c=5

theta=t*360

r1=sqrt(b^2-(a*sin(theta)+(c^2-a^2*(cos(theta))^2)^(1/2))^2)

r2=sqrt(b^2-(a*sin(theta)-(c^2-a^2*(cos(theta))^2)^(1/2))^2)

xt=r1*cos(theta)或 xt=r2*cos(theta)

yt=r1*sin(theta)或 yt=r2*sin(theta)

zt=0

效果如图 116-1 或 116-2

图 116-1 图 116-2

117.桃形线

r=t^3+t*(t+1)

theta=t*360

phi=t^2*360*100

xt=r*sin(theta)*cos(phi)

yt=r*sin(theta)*sin(phi)

zt=r*cos(theta)

效果如图 117

图 117 图 118

118.蝴蝶兰线

蝴蝶兰线的 UG 表达式为：

theta=360*t

r=10-(3*sin(theta*3))^2

xt=r*cos(theta)

yt=r*sin(theta)

zt=r*sin(theta*3)

效果如图 118

119.长命锁曲线

a=1*t*359.5 若 a=1*t*359.5

b=q2*t*360 b=6*t*360

c=q3*t*360 c=16*t*360

rr1=w1 rr1=10

rr2=w2 rr2=8

rr3=w3 rr3=6

x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c)

y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)

该曲线方程中 q2、q3、w1、w2、w3 不知是多少？

效果如图 119、120

图 119 图 120