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由于头条号字数限制，前一篇文章《熬了几个通宵，终于把初中到大学学习算法的必备数学知识梳理完1》没有发布完整，看大家都比较喜欢这篇文章，我就继续发完吧，大家记得关注、点赞、收藏哈！也可以关注我公众号 全栈深入，给大家持续分享干货好文。

由于文章较长，文章将分成3部分，本文是第2部分，第1、3部分可以点击下方的链接，也可以点击文章末尾的 了解更多 直达。

• 第1部分
• 第2部分（本文）
• 第3部分

本文是讲解从初中、高中、大学里面用到的数学知识，这些数学知识是计算机算法、机器学习等领域学习的基础。第1部分：介绍了初中、高中里面学到的数学概念、多项式、平方差、平方和、因式分解、一元二次方程、集合、充要条件、函数、幂函数、指数函数等知识。

这篇文章（第2部分）中将主要介绍对数函数、反函数、三角函数、数列、导数等知识。高等数学中的定积分、微积分、矩阵等相关知识将在第3部分中进行讲解。

-------------我是分隔线，接上一篇-------------

10、高中数学 - 对数函数

如果 ，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作：

。其中a为对数的底数，N为真数。

- 常用对数：common logarithm, 以10为底的对数，即 ，简写为：lgN

- 自然对数：natural logarithm, 以科技、经济、生活中常用的无理数e=2.71828..为底数的对象，即 （N>0)

- 计算机以2为底的对数：

1、指数与对数的关系

2、对数规则

- 负数与0没有对数

-

3、对数的性质

1)

2)

3)

4、对数的运算

对数换底公式：

5、对数函数

函数 叫对数函数(logarithmic function)，x为自变量，定义域为

6、对象的性质

11、高中数学 - 反函数

反函数是函数，x=logab，y∈(0,1]是函数y=ax，x∈[0,+∞) 的反函数。基定义域互换。

12、高中数学 - 三角函数

1、正弦函数

y=sinx,x∈[0,2π]

2、余弦函数

y=cosx,x∈R

3、正切函数

y=tanx,x∈R,x≠π2+kπ,k∈Z

12、高中数学 - 数列

1、数列

按确定顺序排列的数称为数列。用正整数表示事物发展过程的先后顺序，把正整数作为自变量的取值，把事物对应数值看作是相应的函数值，数列是定义在正整数集上的一类离散函数。

• 数列形式：a1, a2, a3, ..., an 简称为: {an}

因为：{an} 中每一项an和它的序号n有关系，所以数列an是从正整数集N或它的子集 到 实数集R的函数,自变量为n。记为：an=f(n)

• 递增数列：每一项都大于它前一项的数列
• 递减数列：每一项都小于它前一项的数列
• 常数列：每一项都相等的数列
• 通项公式：数列 {an} 的第 n 项 an 与序号 n之间的对应关系可用一个式子来表示，式子即为数列的通项公式
• 数列前{an}前n项和：Sn = a1 + a2 + ... + an

应用
1）根据通项公式求指定项的值，并作出图像
2）根据数列前n项写出通项公式
3）根据通项公式判断指定是否为数列的项，求序号
4）斐波那契数列

2、等差数列

一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，就叫等差数列，常数叫的公差，常以字母 d 表示。

等差中项：在a和b间存在一个数使得 2A = a+b，则A为a和b的等差中项。

应用：等差数列求和，利用等差中项来计算

3、等比数列

一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，就叫等比数列，常数叫数列的公比，常以字母 q 表示。

等比中项：在a和b间存在一个数使得 G2 = ab，则G为a和b的等比中项。

等比数列前n项公式:

=>由等比公式得到A式：

=>左右都乘以公比得到B式：

=>A式B式左右相减：

=>

13、高中数学 - 导数

1、微积分的创立与四类科学相关

• 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度。反之已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程
• 求曲线的切线
• 求函数的最大值、最小值
• 求长度、面积、体积、重心等

2、导数及应用

导数定量地刻画函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大值、最小值等性质的基本方法，是解决如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具。

3、平均变化率

对于函数 ，设自变量x从 变化到 ，相应的值y就从 变化到了 。此时x, y的变化量为：。比值 叫做函数 从 到

的 平均变化率。

4、导数

当 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 y=f(x)在 处可导，并把这个确定的值叫做 处的导数(derivative)。也叫瞬时变化率，记作 或 。即：

5、求导数

1) 设 ， 求

解：

2) 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产，需要对原油进行冷却和加热。已知在x 时，原油的温度为，（0<=x<=8)。计算第2h时第6h时原油的瞬时变化率并说明它们的意义。

解: 在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6). 根据导数的定义:

所以

同埋可得: f'(6) = 5

在第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为-3C/h与5℃/h。说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速度下降;在第5h附近,原池温度大约以5℃/h的速率上升。一般地 f'(x0) (0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况。

3) 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度为 ，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明他们的意义。

分析: 瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率, 因此在第2s与第6s时汽车的时加速度分别为v'(2), v'(6)

解: 在第2s和第6s时,汽车的瞬时加速度就是v'(2)和v'(6)

根据导数的定义

所以

同理可得: v'(6)=-6.

在第2s与第6s时,汽车的瞬时加速度分别是2m/s^2与-6m/s^2. 说明在第2s附近汽车的速度每秒大约增加2m/s; 在第6s附近,汽车的速度每秒大约减少6m/s

6、导数的运算

1、常用函数的导数

1）

2）

3）

所以：

4）

5）

所以

2、基本初等函数的导数公式

基本初等函数的导数公式

1. 若f(x)=c(c为常数), 则f'(x)=0

2. 若f(x)=x(n∈Q), 则

3. 若f(x)=sinx, 则f'(x)=cosx

4. 若f(x)=cosx, 则f'(x)=-sinx

5. ;

6. ;

7. 若f(x)=loga x, 则f'(x)=1 / (xlna)

8. 若f(x)=lnx, 则f'(x)=1/x

练习

1) 求函数的导数：

2) 求函数的导数：

3) 求函数的导数：

4) 求函数的导数：

3、复合函数求导

求导：

4、导数运算法则

导数运算法则

- [f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)

- [f(x) · g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

- (其中g(x)≠0)

7、导数在研究函数中的应用

1、函数的单调性

在某个区间(a,b)内, 如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增; 如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。

2、函数的极值与导数

求函数y=f(x)的极值的方法是:

解方程f'(x)=0. 当f(x0)=0时:

(1) 如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;

(2) 如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值

3、生活中优化问题

导数是求函数最大值、最小会上有力的工具。

练习1:

学校或班级举行活动, 通常需要张贴海报进行宣传. 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报, 要求版心面积为128dm^2, 上、下两边各空2dm, 左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?

解法：设版心的高度为x dm，则版心的宽为 128/x dm, 四周空白面积为：S(x) = (x + 4)(128/x + 2) -128 = 2x + 512/x + 8, x>0

，舍去负数，当时，S'(x)<0, 当时，

当x=16时函数S(x)的极小值点也是最小点，所版版心高为16dm，宽为8dm时，四周空白面积最小。

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