文|苏荨墨

编辑|苏荨墨

序

齿轮作为一种重要的机械传动元件，在工程领域中广泛应用，齿轮的动态啮合激励计算是齿轮系统振动噪声预估的关键环节。

为了准确评估齿轮箱在运行过程中可能产生的振动噪声，我们将在本次研究中深入探索和研究齿轮动态啮合激励计算方法。

那么我们能否通过设计和优化齿轮系统、来对齿轮箱的噪声进行预估和减振呢？

齿轮动态啮合激励计算研究

在本次研究中，我们团队先计算了齿轮动态啮合激励，而动态啮合激励的算法多种多样，主要有解析法、有限元法，以及最近几年逐步发展的FEPreprocessor法。

其中解析法包括材料力学法与弹性力学法，材料力学法的代表为石川法和Weber能量法，就是把齿轮轮齿的受载变形问题简化为一个半无限体的受载变形，利用保角映射函数把齿轮的曲线边界映射成直线边界。

这样就可以使用弹性力学中平面问题的复变函数解答求解集中力作用下的半无限体位移场，再由此确定受载轮齿的位移场。

除此之外，因为解析法的变形计算简化公式把齿轮作为悬臂梁以及半无限体处理是不符合实际的，所以用Weber能量法等方法进行计算都会有很大的误差，导致目前工程实际问题很少使用解析法。

而有限元法也叫切片法，就是是指通过对啮合面进行切片，在求解传递的误差同时可以考虑载荷的非均匀分布，并且可以用于研究微观修形、材料属性、错位以及传递误差等方面对啮合激励的影响，同时用于齿轮动力学分析和振动噪声分析。

另外一种方法是FEPreprocessor方法，它与非线性有限元计算方法十分类似，同时其计算的时间成本较低，可以准确的捕捉齿轮啮合时的啮合刚度在渐开线齿廓与齿宽方向的变化量。

FEPreprocessor法的计算思路为，齿轮某一啮合位置处由接触力造成的齿轮宏观弯曲变形与局部的接触变形之和应当等于无误差齿轮的传递误差，变形示意见图2.2。

随后我们团队对这三种方法做了对比，由于目前解析法由于计算精度较差已经很少被应用到工程实际问题中，所以现在工程问题上对于动态啮合激励的求解多是基于传统有限元法或拟合回归推导的计算公式。

虽然传统有限元法计算精度十分高，然而会受到齿轮模型网格划分精度以及计算机运行速度等因素的影响，时间成本非常高，导致其在工程问题上使用相对较少。

因此，使用更多的还是通过拟合回归推导的公式来进行啮合激励的求解，但是该公式也存在计算结果与工程实际数据匹配较差的问题。

而最近几年才开始逐渐发展起来的FEPreprocessor方法兼顾了精度与效率的要求，因此本次研究我们将FEPreprocessor方法应用于斜齿轮动态啮合激励的求解，同时加入切片法搭配拟合回归公式进行对比，探究FEPreprocessor方法的可行性。

但是在求解动态啮合激励时我们需要创建齿轮传动系统模型，齿轮系统动力学建模方法一般有集中质量法、传递矩阵法、有限元法、模态综合法、接触有限元法与多体动力学法这六种方法。

而多体动力学建模法的求解效率远高于有限元法与接触有限元法，耗时较短，同时其计算结果与接触有限元法十分接近，因此我们团队在考虑求解精度与计算效率后，选择多体动力学建模方法。

同时还使用Simcenter3D软件的多体动力学模块进行齿轮模型创建，模块自带的专业变速箱建模工具可以配合齿轮、轴长度、内外径以及轴承所在位置等参数创建齿轮副模型，齿轮的各项参数如表2.1所示。

根据齿轮参数建立的齿轮副模型见下图2.3，图中上侧为主动轴，下侧为从动轴。

我们将建立的的齿轮箱箱体模型与图2.3所示的齿轮副模型装配在一起，并在轴承实际所在位置处根据以往的经验赋予轴承刚度，轴承刚度数值见下表2.2。

而装配完成后的模型见下图2.4

随后，我们团队有人提出在齿轮箱动力学模型创建完成后进行模型验证，确保其在计算时能够满足使用要求，输入转速400r/min，加载扭矩100Nm进行计算，查看两个轴的转速与啮合刚度变化是否正常，计算完成后两根轴的转速示意图见2.5，啮合刚度见图2.6。

我们从转速示意图中可以看到动力学模型Shaft1转速为400r/min，与输入转速相同，Shaft2转速为434.1r/min，根据齿轮参数求得的载荷施加轴转速应为434.0r/min。

通过对比两者结果相一致，同时图中所示的转速波动也非常小，啮合刚度示意图表明啮合刚度有特别好的周期性特征。通过转速与啮合刚度的计算结果充分说明了齿轮箱动力学模型的正确性。

也就是说，我们可以在多体动力学建模的基础上，开展齿轮啮合动力学仿真分析，以求解齿轮啮合激励。

因为齿轮传动系统是通过箱体等固定件支撑的，在运转过程中箱体由于受力产生变形，会进一步影响轮齿的啮合状态，对啮合激励产生影响，因此在齿轮啮合激励计算和其传递过程分析时，有必要考虑箱体结构的柔性。

同时根据模型柔性体变形相比纯刚体可以提高系统的稳定性的理论，我们发现发现柔性化设计结构计算得到的结果精度要更高一些，所以在本次研究中使用多体动力学方法求解啮合激励时进行了刚柔耦合状态下的计算。

而刚柔耦合系统是指由多个刚体或柔性体通过一定方式互相连接构成的复杂系统，是多刚体系统动力学的延伸。

随着计算机有限元技术的发展，软件便可以将刚柔耦合建模过程进行整合，一键完成刚柔耦合设计，因此我们分别使用切片法与FEPreprocessor法对刚柔耦合模型的动态啮合激励进行求解，刚柔耦合模型见下图2.7。

我们先根据切片法来分别计算刚柔耦合模型工况1、2、3、4的动态啮合激励，对于齿轮传动系统来说，轴承力是由动态啮合激励结果、齿轮到轴承之间的传递路径以及给定的轴承刚度计算得到的。

而此时的计算得到的轴承力与动态啮合激励一样为时域结果，对轴承力结果进行傅立叶变换，可以将其转换为频域结果。

在我们绘制的四个轴承位置示意图中，可以看出轴承1、2所在的轴为转速施加轴，轴承3、4所在轴为载荷施加轴。

同时还可以通过输入转速与输入轴上的齿轮齿数得到啮合频率数值，其中工况1与工况2的啮合频率为510Hz，工况3与工况4的啮合频率为637.5Hz。

但由于使用轴承合力没有办法清晰的表述受力方向，所以一般将轴承力分为横向、轴向与垂向进行对比，本次研究的轴承力横轴垂三个方向分别代表模型的X方向、Z方向与Y方向。

随后，我们团队还列出刚柔耦合模型使用切片法计算的轴承分力数值大小，见下表2.3所示。

而我们根据上表的结果进行分析得知了，转速施加轴上的轴承1和轴承2的分力基本一致，载荷施加轴上的轴承3与轴承4的分力也基本一致。

除此之外，载荷施加轴上的轴承力结果普遍大于转速施加轴上的轴承力结果，四种工况下的轴向轴承分力均远小于其他两个方向的轴承分力。

并且从轴承力大小趋势与动态啮合激励幅值趋势相一致，我们发现轴承力结果为工况4>工况3>工况2>工况1。

在这之后，我们还使用了FEPreprocessor法分别计算工况1、2、3、4的动态啮合激励，并且得到了计算该方法下的轴承力结果，具体计算数值见表2.4。

而我们还根据这些数据进了对比，发现转速施加轴上的轴承1和轴承2的分力基本一致，载荷施加轴上的轴承3与轴承4的分力也基本一致。

四种工况结果均存在横向轴承分力与垂向轴承分力相差不大，但是远大于轴向轴承分力的现象，并且这些轴承力结果存在以下规律：工况2>工况1，工况4>工况3，工况2>工况3，这充分说明使用FEPreprocessor法计算轴承力时，施加载荷对其影响更大。

虽然我们使用切片法与FEPreprocessor法两种方法计算都得到了动态啮合激励与轴承力结果，但通过计算结果可以看出两种计算方法还存在一些不同之处。

因此我们团队针对此现象，对两种方法的动态啮合力结果以及轴承力结果进行对比，探究两种计算方法的异同。

但是由于我们每种计算方法方法都计算了4个工况，因此我们要对4种工况分别进行对比图的绘制，先对使用两种计算方法求得的动态啮合激励进行对比，结果对比图见2.17至2.20。

通过这4副结果对比图，能够看出两种计算方法在动态啮合激励计算时存在许多异同之处，所以我们对比了两种计算方法在轴承力计算上的差异，并绘制出了对比分析见，表2.5至2.8。

而通过计算结果的对比，我们发现了这两种计算方法均能较好反应轮齿的啮合周期特点，有较好的一致性，但两者的波动幅值有差异，同时FEPreprocessor法的结果受载荷变化因素影响更显著。

除此之外，齿轮系统动力学研究的是激励、系统模型和响应三者之间的关系，所以我们可以通过其中的两者即可求出第三者。

因为我们团队已经通过不同方法计算得到了齿轮啮合激励，所以为求解结构的响应，还需要建立准确的系统模型，接下来我们研究的就是如何完成齿轮箱的系统建模。

因为现在主流的CAD软件与各种模型处理软件、有限元分析软件之间均存在接口，能够顺利实现模型互相导入，因此我们将对齿轮箱的上、下箱体分别建立三维模型。

同时在建模时我们团队对模态特性影响不明显的细微结构进行了简化处理，有效减少了后续划分的网格单元数量，提高了计算效率，建立的齿轮箱体简化三维模型见下图3.1。

随后，我们将上箱体与下箱体模型分别导入专业网格划分软件中，使用5mm尺寸的高阶四面体网格单元对模型进行划分，划分完成之后上箱体网格拥有48645个单元，235692个节点，下箱体网格拥有91069个单元，432046个节点，如下图所示。

除此之外，我们团队有人将齿轮箱实际采用的Q-235号钢的材料属性赋予给划分的网格，Q-235号钢的各项数值见表3.1所示。

在这之后，我们需要将赋予了材料属性的上箱体与下箱体的网格单元分别导出成NASTRAN计算软件可读写的bdf格式文件，并使用bushing单元将上下箱体的网格单元进行装配，装配图见下3.3，

根据对齿轮箱的三维模型建立，我们还要对其进行模态分析，而机构的模态计算一般是使用有限元软件进行的，所以也能将计算模态分析称为有限元模态分析。

因此在本次研究中，我们会使用Simcenter3D软件分别对齿轮箱的上箱体、下箱体与装配网格单元进行有限元模态分析，同时还软件自带的NASTRAN求解器计算齿轮箱体前12阶自由模态。

但需要注意的是，对于自由模态而言，前6阶为刚体模态，即前6阶模态数值为0，所以我们只列举齿轮箱的前六阶非刚体模态，具体数值见表3.2。

不仅如此，对装配箱体的振型进行描述，还可以更加准确的确定每阶模态的不同，振型描述见表3.3。

这样一来，便可以对齿轮箱体进行模态试验，我们团队先在试验分析软件中对齿轮箱进行了试验模型框架图的建立，同时根据现场齿轮箱的实际情况，选择了一个新的111号点作为激励点，上下箱体与整体模型试验框架图如下图所示。

而试验模态分析方法是指人为对结构施加一定的动态激励，得到各个测点的振动响应信号以及激振时所施加的力源信号后，对这些信号使用参数识别方法去得到模态相关参数的方法。

我们考虑到试验齿轮箱所在场地的影响，所以选择使用锤击法进行测试，而由于上下箱体与箱体整体试验过程完全一致，所以我们只列出了箱体整体试验的过程，试验测点布置图见图3.15与图3.16

试验完成后还得对数据进行分析，提取结构的模态参数，因为本次研究所使用的模态参数识别方法为PolyMAX法，也被称作多参照最小二乘复频域法。

所以我们还需要使用Test.Lab对所有测得的频响函数作平均处理，而上下箱体以箱体整体的自由试验模态频响函数曲线图见图3.19至3.21。

随后，我们根据在这一过程中得到的频响函数曲线，参考之前有限元模态计算结果，提取了试验模态信息，整理的结果见表3.4、3.5。

但是我们发现，不管是有限元分析还是模态试验分析，结果上都存在误差，这种误差不仅仅会表现为同一阶模态下模态数值存在差异，还可能会表现为模态阶数无法一一对应。

所以说，想要对有限元模型进行精准度判断，还必须要通过两者的误差去修正有限元模型的参数，得到更加精准的有限元模型。

因此我们团队选择使用优化模块对齿轮箱上下箱体之间的连接刚度进行了优化设计，而通过优化提高了箱体整体模型分析模态与试验模态的置信度。

并且修正后的有限元模型可以更好的切合实际，这也为齿轮箱的噪声预估提供了必需的较为准确的系统分析模型。

结语

本次研究我们主要探索了齿轮动态啮合激励计算方法对比以及其在齿轮箱振动噪声预估中的应用，并将FEPreprocessor法作为研究重点。

通过对比分析，我们发现使用FEPreprocessor法计算动态啮合激励，并进行轴承力分析，能够在齿轮箱振动噪声预估中起到较好的性能和准确性。