1.引言

转子动力学主要研究高转速条件下轴对称旋转结构（例如电机转子、传动轴、涡轮机等）的振动特性。随着转速的增加，结构在旋转过程中由于惯性力矩的作用，使得转子倾向于保持自身的旋转轴方向，该效应称为陀螺效应，对应的惯性力矩又称为陀螺力矩。 由于陀螺力矩的作用，在某些特定转速下，转子可能会出现旋转轴的偏离，从而引发不稳定的振动和失稳现象，并引起共振。引起共振时的转速，称之为转子系统的临界转速，其数值上等于转子固有频率的转速。了解系统的临界转速可以帮助工程师避免将转子系统运行在可能引发失稳现象的速度范围内。

工程师可以通过调整材料、几何形状、支撑方式等参数，来改变系统的临界转速，从而指导转子系统的设计和优化，改善系统的稳定性和性能。因此，转子动力学分析的目的之一在于确定转子支承系统的临界转速，并按照经验或有关的技术规定，调整这些临界转速，使其与机械的工作转速有足够的裕度，从而得到可靠的设计。

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2.转子动力学临界转速的计算和分析方法

从力学的角度看，结构的动力学计算分析是求解一个机械系统的特征值和响应问题，其运动微分方程式可以写成：

其中M、C、K为系统的质量、阻尼和刚度矩阵，z为广义坐标矢量，F是广义外力。

转子动力学计算中，考虑陀螺效应，方程变为：

其中G为取决于旋转速度的反对称陀螺矩阵，K是刚度矩阵对称部分，S为旋转阻尼矩阵，也取决于旋转速度，改变结构的刚度，并可能产生不稳定的运动。

求解这一方程的特征值或响应是很困难的，特别是当自由度数较多时尤为如此。科技发展到至今，目前对转子动力学计算方法主要有两大类：传递矩阵法和有限元法。

传递矩阵法：该方法先把转子分成若干段，每段左、右端四个截面参数(挠度、挠角、弯矩和剪力）之间的关系可用该段的传递矩阵描述。如此递推，可得系统左右两端面的截面参数间的总传递矩阵，再由边界条件和固有振动时有非零解的条件，借试凑法得出各阶临界转速，并随后求得相应的振型。传递矩阵法矩阵的阶数不随系统的自由度数增大而增加，因而编程简单，占内存少，运算速度快，特别适用于像转子这样的链式系统。

有限元法：有限元法是一种更精确的方法，可以考虑转子的柔性和形变。通过将转子划分成有限数量的小单元，并考虑材料的弹性特性，可以计算出转子在不同转速下的振动模态和临界转速。有限元方法表达式简洁、规范，在求解转子和周围结构一起组成的复杂机械系统的问题时，有很突出的优点。且随着计算机技术的发展，很多适合于求解的商业仿真软件应运而生，其后处理可以便捷获取某些难以用理论分析方法或实验观察获得的现象。

本文以有限元法为基础，通过国产自主仿真软件PERA SIM Mechanical验证其转子动力学分析功能。PERA SIM Mechanical作为安世亚太自主研发的核心产品之一，是功能强大、模块整合的机械仿真分析工具，它提供了全面的结构静力、动力、线性、非线性及热分析等功能，满足各行业的结构分析需求。

3.单圆盘支撑转子的计算

3.1 问题描述

单圆盘支撑转子是旋转结构的简单表达，如图1示，转子看作由圆盘装在无重的弹性转轴上，转轴的两端由轴承（刚性或柔性）支持。假设圆盘质量m = 20kg，半径R = 12cm，转轴跨度L= 75cm，直径d = 3cm。圆盘至左支点的距离a = L/3 = 25cm（注：Jeffcott 转子模型a=L/2，此模型可称为偏置的Jeffcott 转子模型），求转子的临界角速度。通过对其计算，可以定性地说明一些转子动力学的问题。

图1 单圆盘刚性支撑转子（左）和单圆盘柔性支撑转子（右）

该模型选自《转子动力学》（钟一谔 1987年）一书，书中给出了左右轴承不同支撑刚度（固支约束刚性支撑、10倍转子刚度系数15710N/mm、转子刚度系数1571N/mm、0.1倍转子刚度系数157.1N/mm）下，详细的理论推导计算，并给出理论解如下：

针对上述问题，在PERA SIM Mechanical中建立模型并验证仿真和理论的误差。

3.2 有限元模型建立和仿真

Step1：如图2示，打开PERA SIM Mechanical，选择模型类型为“结构”，分析类型为“模态分析”，然后点击【创建新模型】按钮，完成新工程的创建，并进入软件主操作界面。

图2 软件开始界面

Step2：软件几何界面中创建线体，线体两点坐标为（0,0,0）和（750,0,0），单位mm.

图3 建立线体

Step3：软件网格界面中定义尺寸为25mm，右键生成网格，即分成30段单元。

图4 网格设置

Step4：在菜单栏中选择“质量点”，选择应用方式为“直接关联”，选择位置（250,0,0）的节点作为点质量的位置，定义质量为0.02ton，质量惯性矩Ixx=144， Iyy=72 ，Izz=72，最后点击“确认”完成点质量的创建。

图5 质量点设置

Step5：在属性提纲树下建立梁单元截面、材料属性并赋予给梁模型。考虑转轴无质量，梁的密度设置为一个较小值。

图6 梁截面定义和材料属性设置

图7 属性赋值

Step6：模态分析任务设置

点击菜单栏上的“任务设置”，进入“任务设置”对话框，打开“转子动力学”和“坎贝尔图”，选择默认得复兰索斯模态（Complex Lanczos）分析方法复输入最大阶数6，点击“确定”完成任务设置。

图8 模态分析任务设置

Step7：模态分析边界设置

点击模型树上的“连接”或者切换到“连接”模块。右键“创建”，进入弹簧建立界面，分别选择线体的两个端点，建立YZ平面内弹簧（等效轴承），弹簧设置如下图所示。本例中设置弹簧刚度为一非常大的值（1.571E9N/mm，为106转子单位刚度），仿真转子两端为刚性支撑。

图9 弹簧加载设置

Step8：模态分析载荷设置

点击菜单栏上的“载荷”，进入“创建载荷”对话框，进入网格选择模式，首先激活网格单元过滤，选择所有的点质量和梁单元。选择梁上两个点定义转轴（通过右手定则，从旋转节点1到旋转节点2确定转子的旋转方向）。旋转速度按照增量方式定义。

图10 转速和转速方向设置

最终模型如下所示：

图11 整体模型示意

Step9：提交计算

点击主菜单、模型树上的“作业”节点或者点击模块选择菜单切换到作业模块。点击主菜单“作业”，在“创建作业”对话框中选择已定义的模态任务。作业创建成功后，可以点击检查模型，然后点击提交计算即可开始转子模态分析。

图12 提交计算

3.3 计算结果分析

计算完毕后，可以在作业模块右键点击加载结果，也可以切换到结果模块，点击“导入”计算完成的结果文件。切换到结果卡片，观察仿真结果。

图13 提取结果

结果菜单栏中点击“坎贝尔图”，在数据视图区域给出前处理设置中7个旋转速度各阶模态结果临界转速表格和坎贝尔图。注意此处PERA SIM版本后处理的旋转速度单位是HZ。且由于复模态分析结果虚部有正负两个相同值，所以模态频率以相同的“对值”出现。

图14 各阶模态结果临界转速表格

图15 坎贝尔图

从临界转速图表可以观察到刚性支撑情况下，计算出的临界转速分别为：37.68HZ（236.63rad/s）、38.838HZ（243.90rad/s）、134.21HZ（842.84rad/s），和理论解237.2rad/s，244.41rad/s，845rad/s的误差在0.5%以内。此外，不同旋转速下的模态频率、实部、虚部以及阻尼系数详细信息列表也可以通过菜单中“转子模态结果信息”导出。

同样的方法，通过更改弹簧刚度求解不同支撑刚度下单盘转子临界转速，整理仿真结果和理论结果对比如下表所示，仿真和理论误差均在0.5%以内。

表1 不同支撑刚度单圆盘转子临界转速理论和仿真对比

4.三维模型转子动力学分析

上述基于梁单元的有限元分析方法，在建立计算模型时对转子系统做出相当程度的简化，这导致计算模型与实际问题可能产生较大的差异，而利用实体单元建模的有限元法则可以直观地对多种复杂转子结构进行高保真仿真，获得原物理问题的准确结果。以下在PERA SIM中，对经典的Nelson-Vaugh三维模型进行转子动力学分析，并和主流CAE软件进行对比。

4.1 模型描述和建立

如图为Nelson-Vaugh三维模型，该模型由一个柔性转子和两个正交异性轴承支撑组成，材料为钢。

图16 Nelson-Vaugh三维模型

PERA SIM中采用低阶实体网格，设置网格尺寸为5mm，生成节点3607个，单元12685个。接触设置为绑定接触。

图17 模型网格

在图18示红线位置处，轴承通过加载Y和Z向弹簧等效，两个方向弹簧刚度均为35030N/mm，约束弹簧加载处四条边X方向自由度。设置分析转速为转速为1RPM/50000RPM/100000RPM，提取前12阶模态，进行转子动力学分析。

图18 轴承刚度加载

4.2 仿真结果分析

以下是PERA SIM求解的campell图计算结果，其临界转速为706.13HZ、718.62HZ、1081.7HZ、1114.7HZ。和主流CAE软件计算结果对比显示，临界转速误差均在4%以内，每个转速下，求解的固有频率误差前六阶在5%以内，高频范围7-12阶误差在10%以内。图20所示为第一转速（1rpm）下，PERA SIM软件和某主流CAE软件前12阶振型图对比，振型几乎无差异。因此，PERA SIM的计算可靠性可以保证。

图19 PERA SIM求解临界转速结果和坎贝尔图

图20 某CAE软件求解临界转速结果和坎贝尔图

图21 PERA SIM和某CAE软件临界转速和频率结果误差对比

图22 PERA SIM求解第一转速下各阶模态振型结果对比

5.结论

本文基于安世亚太自主结构有限元软件PERA SIM Mechanical转子动力学模态分析模块，分别计算了单圆盘转子（简化的梁模型）和实际三维模型转子系统的临界转速，实现了几何建模、网格划分、材料赋予、转速及边界条件设置、临界转速求解到结果后处理的完整分析流程。其中不同支撑刚度下单圆盘转子（简化的梁模型）计算结果和理论进行验证，误差0.5%以内。三维转子系统模型在相同的求解参数的条件下，与某主流CAE有限元软件计算结果对比，发现PERA SIM的临界转速的偏差在4%以内，且不同转速下，每阶低频频率误差在5%以内，高频误差在10%以内，前12阶振型完全一致，能保证较高的计算精度。

作者：上海安世亚太 李桂花

参考文献（References）

[1] 钟一谔. 转子动力学[M]. 清华大学出版社, 1987.