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1引言

由于地球自转角速度的存在、以及地球形状非球对称而微椭,使得对地球自由振荡、固体地球对日月行星作用的响应等研究变得更为繁杂。在研究地球章动或潮汐理论时,常常需要对均匀自转、微椭、弹性、自引力的地球运动方程组积分,并通过选取一组恰当的边界条件来定解。

Dahlen基于动量平衡、牛顿引力定律和应力应变关系给出了线性化的弹性地球的动力学场方程,即Lagrange运动方程和Poisson方程。

Smith在此基础上,对运动方程作广义面球谐函数展开(Generalized Surface Spherical Harmonics expansion, GSSH),利用本征函数的对称性将形变场和应力场分解为球形(poloidal)场和环形(toroidal)场,得到运动方程的标量形式,然后对标量运动方程进行截断,并缩写成简洁的大矩阵形式,从而推导出均匀自转、微椭、弹性、自引力的地球的运动方程组及其截断的标量形式。

目前绝大多数有关非刚体地球的章动和潮汐理论研究都是基于他人给出的运动方程组。

相关科学家给出的弹性地球运动方程是一组常微分方程。常微分方程要定解,即对常微分运动方程组积分时,必须给定一些初值或边界条件,这些边界条件也需相应地展开并截断。对受本征模(尤其是自由核章动模)频率强共振的章动项,合适边界条件的选择显得尤为关键。

有人在一阶扁率近似下同时也给出了一组相应的边界连续条件,但由于其中过程过于繁杂而没有给出具体的推导细节。

为了将这些运动方程组和边界条件推广到二阶扁率精度,以便计算并给出一个更高精度的非刚体地球的章动模型,本文在一阶扁率近似下,从详细推导微椭弹性地球运动的一个边界条件入手,旨在将其数理理论理解清楚。

2基本假设与坐标系

假设地球由固体内核、流体外核、弹性地幔所构成,该球微椭、刚性均匀地自转,处于流体静平衡态(记为HSE)且具有各向同性的弹性连续关系。

由于地球自引力的影响,相对于位移而言并非小量,故在章动及固体潮汐这类全球动力学问题中必须顾及自引力的影响。

章动坐标系VE是空间惯性系与体固系之间的一个中介坐标系,其原点与地球质心重合,其Z轴在惯性空间中指向一个固定不变的方向,即平均的地球形状轴,X和Y轴以常角速度Ω绕Z轴旋转,即VE是一个旋转的坐标系。

VE与体固系三轴之间的Euler角很小,可视为一阶小量,因此在一个较短的时间内,VE适合于考察岁差、章动。

假设未受扰动时(或受一小扰动发生形变前)地球处于HSE态,此时的地球正好与VE固联在一起;当有外力扰动时,地球内部体元的应力为初始应力与外部扰动所致的附加应力之和,附加应力及应变皆为小量;设地球为理想弹性体,应力、应变之间可用广义胡克定律来描述。可以证明,若自转地球近似球状,并且处于HSE,则等密度面是轴向对称的微椭球面。

设P为VE内任一质元,p为该点位矢,形变前(处于HSE状态)该质元密度用ρ(p)表示,相应的引力势场和压力场用ϕ(p)和γ(p)表示。跟踪考察质元P形变前后的状态变化(即Lagrange方法)。

假设给处于HSE状态的地球以一个无限小的扰动,则任一质元P的位置、应力张量、引力势都会发生变化,且这些变化都会与时间t有关。设s(p,t)为P点在t时刻的形变(相对于形变前HSE状态),仍在VE框架内讨论s。

3边界连续条件

在VE的任何参考边界上,相关量应保持连续

另外,在两个固体区之间的任何间断面上，形变场s应保持连续‚   (1e)

其中n ⌒为当地外法向矢量;Γ为满足弹性应力-应变关系的Cauchy应力张量;ϕ1为由于形变所增加的Euler引力势即附加势;ρ、G和4边界连续条件的标量化。

以上各量都是在微椭面上,因为在球形域上讨论方便,现引入一个重要的概念:等效球面(Equivalent Spherical Domain, ESD)。

即将椭球的几何形状微调至球状,除了近边界以外,ESD与VE中微椭球面逐点等价,而在VE中的每一个内、外椭球边界都有一个对应的ESD,其半径等于对应的VE椭球边界的平均半径,在ESD附近的小区域内,质元的性质、平衡潮引力势、流体静态压力场都要求光滑、连续。

设VE中微椭球面上的点P在ESD边界上对应点位矢为r,二者之间关系可由下式表示:

p(r)=r+r ⌒h(r,θ)‚   (2)

其中,r ⌒为当地径向单位矢量。h(r,θ)就是VE中椭球面与ESD上对应等密度面的径向差:

h(r,θ)=-2/3*ε(r)Ρ2(cosθ)‚   (3)

式中,θ为P点处余纬,P2为第一类Legendre函数,即P2(x)=3/2*(x2-1)。ε(r)为P处扁率,在1/400-1/300之间。以后若无特别说明,与ε同量级的量皆认为一阶小量。

因此,上述方程除了边界上以外,都可严格地从椭球面移至ESD上,而不管它们原来是否是严格地或一阶扁率近似。

下面先引入一组正则的球坐标单位基(e ⌒-‚e ⌒0‚e ⌒+)代替传统的球坐标单位基(e ⌒r‚e ⌒θ‚e ⌒φ)‚φ为东经,它们之间的关系如下:

{e ⌒-=(e ⌒θ-ie ⌒φ)/2‚e ⌒0=e ⌒r‚e ⌒+=(-e ⌒θ-ie ⌒φ)/2。   (4)

在ESD上,对标量h、标量附加势场ϕ1、矢量位移场s、二阶张量应力场Γ都可作傅里叶逆变换。经傅里叶变换后的任意量,将有∂t→iω,ω为各圆频率。由GSSH展开公式有:

h(r,Ψ)=∑l=0∞∑m=-llhlm(r)Dm0l(Ψ)‚   (5)sα(r,Ψ,ω)=∑l=0∞∑m=-llslmα(r‚ω)Dmαl(Ψ)‚   (6)(∂rs)α(r,ω,Ψ)=∑l=0∞∑m=-ll∂rslmα(r‚ω)Dmαl(Ψ)‚   (7)

即表示成各圆频率ω正则分量的求和形式。其中Ψ即单位球面上点(θ、φ)的缩记;hml、smαl是半径r的标量函数,分段二次连续可导;α、β未求和。式中Dlmn(Ψ)即GSSH函数,指标l、m、n必须满足下述约束条件:

{0≤l＜∞‚|m|≤l‚|n|≤l。   (8)

另外,还需引入两个函数符号J-square符号和Wigner-3J符号:

在对GSSH函数Dlmn运算时,常会遇到两个GSSH函数的积,可以证明:

Dm′n′l′(Ψ)Dm″n″l″(Ψ)=∑l=|l″-l′||l″+l′|(ll′l″nn′n″mm′m″)Dmnl(Ψ)‚   (9)

其中

(ll′l″nn′n″mm′m″)

就叫J-square符号,它可以写成以下形式:

(ll′l″nn′n″mm′m″)=(2l+1)(-)m+n(ll′l″-nn′n″)(ll′l″-mm′m″)。   (10)

符号(ll′l″-nn′n″)

就是Wigner 3-J符号:

(abcdef)=(-)a-b-fδd+e,-f(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!(a+b+c+1)!×(a+d)!(a-d)!(b+e)(b-e)!(c+f)!(c-f)!∑k(-)kk!(a+b-c-k)!(a-d-k)!(b+e-k)!(c-a-e+k)!(c-b+d+k)!   (11)

其中,若某一个阶乘中参数小于0时,其阶乘积为0;0!=1;∑k表示对所有可取的k值参与运算后再求和,k的取值范围为:使得分母中各阶乘内参数都同时大于或等于0的非负整数。

这些函数符号在量子力学的角动量理论中常用,是可计算量。符号中各量须满足下列条件:

{n=n′+n″m=m′+m″|l′-l″|≤l≤|l′+l″| 。   (12)

4边界连续条件的标量化:

作为一个例子,下面将(1e)式在一阶扁率精度下展开并化成3个标量常微分形式。

首先要在一阶扁率精度下将“s(p)连续”从VE转至ESD,并作Taylor展开

s(p)≡s(r+r ⌒h)=s(r)+h∂rs   (13)

注意到在h(r,θ)的定义式即(2)式中,h是与φ无关的标量,并由GSSH函数性质,则在上面关于h的(5)式中,m必为零,且l必为偶数,并从2开始。若精确至一阶扁率精度,则:

h(r)=h2(r)D002(Ψ)‚   (14)

其中

h2=-2/3[ε(r)+22/21ε2(r)]r   (15)

为一阶扁率量级。

最后在一阶扁率近似下:

f≡s(p)=s(r)+h2(r)D002(Ψ)∂rs(r)。   (16)

由(6)和(7)式,将上式作GSSH展开:

fα=∑l=0∞∑m=-llslmαDmαl+∑l=0∞∑m=-llh2∂rslmαD002Dmαl。   (17)

又由(9)和(12)两式有

D002Dm0l=∑l′=|l-2||l+2|(l′2l000m0m)Dm0l′。   (18)

所以当α=0时,

f0=∑l=0∞∑m=-llslm0Dm0l+∑l=0∞∑m=-llh2∂rslm0∑l′=|l-2||l+2|(l′2l000m0m)Dm0l′=∑l=0∞∑m=-llslm0Dm0l+∑l=0∞∑m=-ll∑l′=|l-2||l+2|(l′2l000m0m)h2∂rslm0Dm0l′=Ι+ΙΙ。   (19)

对公式右边后一部分II,因为当

|m|>l′时,Dl′m0=0 ; (20)

|m|>l时,smαl=∂rsmαl=0 。 (21)

并注意到(8)式,所以对m求和时,m只能等于l或l′。交换l和l′,则

ΙΙ=∑l=0∞∑m=-ll{Dm0l[∑l′=|l-2||l+2|(l2l′000m0m)h2∂rsl′m0]}。   (22)

代入(19)式,则

f0=∑l=0∞∑m=-ll{Dm0l[slm0+∑l′=|l-2||l+2|(l2l′000m0m)h2∂rsl′m0]}。   (23)

此即(1e)式转至ESD上并经GSSH展开后α=0的形式。

同时,对f0也类似(6)式作GSSH展开:

f0=∑l=0∞∑m=-ll(f)lm0Dm0l‚   (24)

则有

(f)lm0=slm0+∑l′=|l-2||l+2|(l2l′000m0m)h2∂rsl′m0。   (25)

另外,根据定义,可以将sml分解成球形径向Uml、球形切向Vml和环形切向Wml 3个分量。类似地,也可将(f)ml分解成球形径向(Uf)ml、球形切向(Vf)ml和环形切向(Wf)ml 3个分量:

{Ulm=slm0‚Vlm=slm++slm-‚Wlm=slm+-slm-。   (26)

{(Uf)lm=(f)lm0‚(Vf)lm=(f)lm++(f)lm-‚(Wf)lm=(f)lm+-(f)lm-。   (27)

那么f的球形径向分量为

(Uf)lm=Ulm+∑l′=|l-2||l+2|(l2l′000m0m)h2∂rUl′m‚   (28)

则可得到下述量应在固态-固态间断面上连续

Ulm+∑l′=|l-2||l+2|(l2l′000m0m)h2∂rUl′m。   (29)

这样便将连续条件(1e)式在一阶扁率精度下,从椭球面上转到了ESD、作GSSH展开、分解成球形和环形3个分量形式,上式即其中的标量形式的球形径向分量。

其余两个关于Vml和Wml分量的连续形式也可完全类似地得到(令α=+、α=-后再组合),即下述量应在固态-固态间断面上连续

Vlm+∑l′=|l-2||l+2|{h2(r)(l2l′+0+m0m)[∂rVl′m∂rWl′m]}[偶奇]‚   (30)Wlm+∑l′=|l-2||l+2|{h2(r)(l2l′+0+m0m)[∂rWl′m∂rVl′m]}[偶奇]‚   (31)

在(30)和(31)式中,最后上下并列标有“偶奇”字样。以(30)式为例,它表示当|l-l′|为偶时,在∂rVml′和∂rWml′中取∂rVml′参与运算;反之,当|l-l′|为奇时,在∂rVml′和∂rWml′中取∂rWml′参与运算。

这样便将(1e)式全部从椭球面上转到了ESD,作GSSH展开、并分解成球形和环形3个分量的标量形式。

5结束语

其他几个在一阶扁率精度下关于应力场和引力势诸量的连续形式尽管比较繁杂,但都可类似地推得。

目前国际上对非刚体地球章动的理论研究及观测已要求我们必须考虑二阶项效应。我们将在后续的文章中讨论在二阶扁率近似下如何推导出所有的边界连续条件,并用以具体计算、给出一个更高精度的非刚体地球的章动模型。

参考文献

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