电驱动系列：九、 麦克斯韦方程组及边界无磁源磁场的折射定律

9.1 电场与磁场的表示

电场和磁场最开始是作为电现象和磁现象而引入的描述手段，后续才发现电磁场也是物质的一种存在方式，它也有能量及动量等物质运动的基本属性，同时可以与带电物体相互作用；在与带电物体相互作用时，其能量、动量可以相互转化。

在质点动力学中，如果质点初始运动状态已知，且外力给定的情况下，牛顿方程可以唯一的确定后续任一时刻质点的运动状态；同样的，如果电磁场初始时刻的状态已知，且电荷电流的分布和变化也给定的情况下，电磁场的运动方程组可以确定后续任一时刻的电磁场状态，这一方程组即为麦克斯韦方程组。

电磁场的状态包括电场强度E=(Ex，Ey，Ez)和磁场强度B=（Bx，By，Bz）随空间位置（x，y，z）及时间t的变化规律，即求解函数E（t，x，y，z）和B（t，x，y，z），这两个函数确定电磁场的分布及变化规律，基于此即可计算出电磁场对带电物体的作用力、电磁场的能量、能量转化、动量等信息。

9.2 麦克斯韦方程组

真空中的麦克斯韦方程组有很多形式，这里列出其微分形式和积分形式：

上面的方程组结合电磁场对电荷与电流力的作用的洛伦兹力公式：

原则上一切宏观的电磁场问题及其能量转换，都可以使用上面的几个公式解决。

方程9.1描述的是电场特性，与空间中电荷分布的关系，是有源场；式9.3描述的是磁场，磁场是一个无源场；式9.2描述的是磁生电，时变磁场能够感应出电场；式9.4描述的是电生磁，说明电流及时变磁场能够感应出磁场。式9.2及式9.4将电场与磁场联系了起来。

9.3 麦克斯韦方程组的介绍

以下我们对麦克思维方程组的微分形式进行逐一的介绍：

由库伦定律可知，电荷附近的空间存在特殊的物质，在此空间中的电荷将受到力的作用，这种物质成为电场。电场既可以由电荷产生，也可以由变化的磁场产生。

（2）高斯定理

从散度的定义可以看出，它是一个标量，可以理解为场通过包围单位体积闭合面的通量，代表了场源的强度，因此在场源不存在的无源区，各点的散度应为零。

假如某矢量场的散度为0，则称为无源场，否则为有源场。

因此有

这里grad为梯度，标量函数的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，在单变量的实值函数的情况，梯度为其导数。

（4）散度在直角坐标系中计算公式的证明：

图9.1 散度

比如一永磁体以一定速度靠近金属薄板，如图9.2所示，薄板上会激发出涡旋电场，并由电场激发出涡旋电流；电场的旋度为磁感应强度矢量的变化率，方向与之相反。

图9.2 变化的磁场产生的电场

关于旋度的基础概念下面作一下简单介绍（拓展阅读，帮助理解，可跳过）：

矢量的环量是描述矢量涡旋源的参量，若矢量的环量不为零，意味着矢量场中存在一种不同于通量源的源——涡旋源。比如单位正电荷产生电场，则正电荷为产生电场的通量源；通电导线产生磁场，则通电导线为磁场的涡旋源。

图9.3 通量源与涡旋源

在直角坐标系下，式9.32可表示为：

（2）旋度：

（3）旋度的表达式

图9.4 旋度的表达式计算

因此可以认为磁场是无源的（即无磁单极的存在，目前仍被认为是合理的假设），磁感线连接成了一个闭环，没有起点或终点；不同于电场的有源性，电场是由电荷作为起点或终点。

根据电荷守恒定律：电荷既不能被创造，也不会被消灭，它只能从一个物体转移到另外一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分，在任何物理过程中，电荷的代数和是不变的。

电荷转移的过程形成电流，有以下公式：

式9.58或式9.59即为全电流定律，是麦克斯韦在安培环路定理的基础上推广而来的，其积分形式说明任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回路所包围的面内穿过的全部电流的代数和（全部电流的概念在前文全电流定律中有描述，见第六节6.1.3）；微分形式说明电流和变化的电场均能激发磁场，磁场为有旋场，其涡旋源为电流或变化的电场。

9.4边界无磁源时磁场的边界条件

磁场的边界条件及折射定律：

图9.5 磁场的边界条件

根据直角三角形边长关系得：

由此可知，磁力线即使在铁心内接近于与其表面平行，但在气隙中却与表面接近于垂直。

图9.6 铁心与空气的边界