门球进球有效性建模及求解

问题描述：某场足球赛甲乙双方对甲方是否进球发生了争论. 甲方射向球门的球被乙方队员从球门线附近踢出, 球碰门框内侧反弹到地面后再反弹出门框区(如下图所示).

从电视画面看出, 球在地面上约有1/3在球门线上, 乙方防守队员的踢球高度约为60厘米, 并可从电视画面上大体读出球从地面上反弹时球运动方向与地面的角度.

试判别: 当该角度在什么范围内应判进球有效? 有关数据及竞赛规则如下: 门框内侧到地面的高度为2.44米, 门框截面为正方形, 门框和球门线的宽度都是12厘米, 足球半径为11厘米, 足球规则为: 球在飞行过程中整体在球门内才判进球有效(上海市2005年初赛).

解 假设球沿折线飞行, 并满足反射定律. 利用镜面对称, 可化为如下图所示的三角形的计算.