北斗导航的数学原理

2020年6月23日北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射从2000年北斗一号的首星发射到北斗三号的末星入轨二十多年间中国航天人用他们的集体智慧战胜了无数的艰难险阻完成了这一宏伟的航天工程。

今天我们一起来了解北斗定位的数学原理吧！

1957年10月4日，苏联发射了第一颗人造地球卫星。此后，美国科学家在跟踪它的过程中，观察到了多普勒效应：卫星飞向地面接收机时，收到的信号频率升高；而飞离时，频率就降低。一高一低之差就是频率的偏移，简称频移。他们认识到，卫星的运行轨迹可以由卫星通过时所测得的多普勒频移来确定。知道了卫星的轨迹，就能够反推出接收机所在的位置。正是由于这一有趣而科学的发现，揭开了人类利用人造卫星进行高精度、全天候导航定位的新纪元。

我国‬的‬北斗系统建设先后经历了北斗一号、二号、三号系统3个阶段，目前北斗一号4颗试验卫星已全部退役，从北斗二号首颗星起算，中国已发射55颗北斗导航卫星。这些卫星与地面台站组成网络，每隔1～3秒向全球用户播报信息，使地球上任何地方的用户在任何时候均可以利用接收机同时接收到至少4颗卫星的信号。

现在我们通过多普勒效应已经可以确定4颗卫星的位置坐标，其中三颗卫星暂时分别称为A、B、C，卫星和接收机（我们最常用就是“手机”）都有一个时间，通过卫星A、B、C发出以及手机接收到的导航信号时间差乘以电磁波的传播速度，可以计算出用户与卫星A、B、C的距离分别为：La，Lb，Lc。假设用户的位置为Xu，Yu，Zu，这样我们就得到了一个三元二次方程组：

La2=(Xu-Xa)2+(Yu-Ya)2+(Zu-Za)2

Lb2=(Xu-Xb)2+(Yu-Yb)2+(Zu-Zb)2

Lc2=(Xu-Xc)2+(Yu-Yc)2+(Zu-Zc)2

三个方程，三个未知数，即可求解出用户的坐标位置了。为何要接收4颗卫星的信号？考虑到卫星的时钟与手机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，Xu、Yu、Zu和时钟偏差，因而需要引入第4颗卫星，建立4个方程式进行求解。手机往往可以锁住4颗以上的卫星，这时，手机可按卫星的星座分布分成若干组，每组4颗，然后通过算法挑选出误差最小的一组用作定位，从而提高精度。