海韵教育丨小学数学教学中极限思想渗透途径

极限思想为人们提供了从变量的无限变化中研究其变化趋势的数学方法，使人们通过无限逼近的方式在有限中认识无限、在近似中认识精确、 在量变中认识质变成为可能。因而，极限思想在日常生活、生产实践以及各个学科各个方面都具有广泛的应用，也是学生将来学习进一步学习数学必不可少的一种重要的基本思想方法。如何在小学数学教学中适时地渗透极限思想呢？下面结合对教学实践案例的思考，粗浅地谈一些具体途径和做法。

一、认数中渗透

数的认识是小学数学教学中最基础的重要内容，它是其它各领域知识得以生长和展开的基础。从自然数、零到分数、小数、负数等的学习贯穿了小学阶段学习的始终，我们在数的认识教学中，应引导学生立足于已有经验经历从具体到一般的过程，充分利用各种机会让学生体验各类数的无限，感受极限思想，促进学生良好数感的形成。如浙江省温州市教育学院雷子东老师在“分数的意义”教学中，有如下教学片段，很好地运用数轴让学生体会了对应思想和极限思想，具体过程如下：

上述教学片段，教者把分数回归运用于数轴，引领学生从理性的视角，对分数的本质进行深化认识，让学生经历“可以表示无数个分数，分子都是1，分母越大，离0越近”的认识，在发展学生数感的同时，学生真切的体验到分数个数的无限，以及分母越大的分数单位无限逼近0的事实，有效地渗透了极限思想。

二、操作中渗透

数学是研究空间形式与数量关系的科学，主要有两个方向:“数”和“形”，“数”是指数量关系 ,“形”是指空间形式。数与形常常是结合在一起的, 内容上相互联系, 方法上相互渗透, 并在一定条件下互相转化。小学生的思维正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，抽象的概念学生根本无法接受，必须运用直观手段给以外化后在教师的引导下逐步让学生理解掌握，让学生通过操作运用多种感官参与学习活动就是有效的方式之一。在操作活动中，有不少现象与无限有关，教学中应及时地抓住体现“无限”的时机给予引申，让学生领略“无限”的含义，培养学生的极限思想。如一位教师教学“直线、线段、射线”时，设计了一个“在半分钟之内通过一点画射线”的操作活动，其教学反馈过程如下：

师：你画了几条？

生1：4条。

生2：8条。

生3：我画了13条……

师：还有比13条多的吗？

生4：我画了25条。

师：如果在给你更多的时间，你觉得还可不可以多画？

生：能。

教师借助多媒体放大学生的作业纸，让学生画射线，在画到看不清的时候，用课件演示画更多的射线，在充分感知的基础上，引导学生得出了“通过一点可以画无数条射线”的结论。

上述教学过程，教师舍得在“通过一点可以画无数条射线”的具体操作上花时间，在学生画出4条、8条、13条、25条后，没有急于下结论，而是创设“给你更多的时间，你觉得还可不可以多画”的情景，继续演绎动手画射线的操作活动，并借助计算机辅助教学巧妙生动的演示，让学生体验即使画了很多条，还可以再画。使学生对“无限”的感悟水到渠成，极限思想的渗透得到充分体现。

三、推理中渗透

数学思想方法是数学知识不可分割的有机组成部分, 如果说数学教材中的基础知识和基本技能是一条明线的话,那么蕴含在教材中的数学思想方法就是一条暗线。为此，我们在学生掌握基础知识、形成基本技能的过程中，应适时地抓住教学内容中的有利因素,有意识地在知识技能形成或运用的推理过程中加以引导渗透,让学生在归纳与演绎推理过程中感悟极限思想。如 “商不变的性质”教学时，在巩固练习环节，一位教师设计了这样一个练习：在□里填上什么数，使商不变？

反馈时，教师利用最后一小题进行引导，在推理中渗透极限思想，过程如下：

师：这题该怎么填？

生：填4。

师：有不同答案吗?

生：填1。

生：可以填1——9各数。

生：可填任何数，只要相同就可以了。

师：听明白他的意思了吗？

生：0除外。

师：为什么？

生：因为任何除数除以0没有意义。

师：如果老师用a表示这个数，行吗？

上述教学过程针对一个开放性练习题，适度挖掘，适时渗透其中的极限思想，在反馈过程中以最后一小题（56÷□）÷（8÷□）＝7为载体和话题，根据学生的回答引导学生体验“□”里可以填的数是无限的，并及时的加以概括和抽象，用a表示“□”中的数，既巩固了学生对商不变性质的理解，又培养学了生初步的数学归纳推理能力，还在对无限的答案的归纳推理中感悟了极限的数学思想。

四、想象中渗透

极限思想实质上是一种逼近思想，而且是一种无限逼近的思想，灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化难为易，避免一些复杂运算，探索出解决问题的方向或途径。小学阶段有许多数学知识需要利用这种逼近的思想方法进行探索，用逼近的思想方法探索规律与知识的过程也是培养学生极限数学思想的宝贵时机，我们要充分利用这个探索过程，引导学生在“无限接近”的想象思维中，从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变，渗透极限思想。如在“圆的面积”教学中，一位教师的教学过程如下：

师：（出示一个圆）要知道这个圆的面积，怎么办？

生：可以转化成我们学过的图形计算。

师：怎么转化？

生：把圆平均分。

师：（课件把圆平均分成2份）把两个半圆拼在一起还是一个圆啊，转化不成我们学过的图形。怎么回事？

生：平均多分几份。

师：是这样吗？那我们再分得多一些，请大家仔细观察。（课件演示把一个圆平均分割成小扇形，并拼试图成长方形，依次演示平均分成4个、8个、16个的情形）

师：你们发现了什么？

生：分数越来越多，拼成的图形越来越像长方形。

师：我们再来分一分这个圆（课件演示平均分成32份、64份，并拼成近似的长方形）

师：同学们看一看，想一想，如果这样一直分下去，拼下去会怎么样？

生：拼成的图形会变成长方形，因为长方形的长边越来越直了。

师：这些拼成的长方形与原来的圆有怎样的关系？……

圆面积公式的推导，一般都是用无限逼近的思想方法，把圆分割成许多同样的小扇形，再补拼成一个近似的长方形（也可以是梯形、三角形或平行四边形）。当分割的小扇形增多时，每个小扇形的曲边会因逐渐变短而变直，拼成的图形就会越接近于长方形，然而这仅仅是近似的长方形。如何变为准确的长方形呢？上述教学片段及时地让学生“想一想，如果这样一直分下去，拼下去会怎么样？”使学生在想像中体会当圆分割成的小扇形无限增多时，所拼成的长方形便转化成“标准”的长方形了，从而可以准确的求出圆的面积。这一过程非常自然地让学生体会了“无限逼近”的方法，极限思想得到了有效地体验和渗透。

笛卡尔说过:“数学是使人变聪明的一门科学，而数学思想的教学则是传导数学精神、形成世界观不可缺少的条件。”在小学教学中应注意渗透的长期性,应该认识到对学生极限思想的渗透不是一朝一夕的,而是有一个过程，同时其渗透途径也是多样的，必须经过长期循序渐进和多途径的反复体验感悟, 才能使学生的数学思想逐步的得到充实和丰满。

作者：李帮魁（重庆市沙坪坝区教师进修学院）

结构化教学的应用 ￥51.75 购买